Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие
.pdf
Замечание: величина цены игры ν = 3 удовлетворяет требованию
выгодности смешанной стратегии и для Получателя, и для Плательщика, α < ν < β.
Итеративный метод Брауна–Робинсон
Метод фиктивного разыгрывания Брауна–Робинсон позволяет
получить приближенную смешанную стратегию игроков на основе учета частоты выбора ими чистых стратегий во вспомогательной
процедуре псевдорозыгрыша. Основная идея – выбор наиболее выгодных решений на основе информации, интегрально содержащей
результаты аналогичных предыдущих выборов.
Многократное взаимодействие игроков рассматривается как
последовательность отдельных актов, называемых партиями. В каждой партии игроки применяют какую-нибудь одну из конечного
множества возможных стратегий, выбирая ее на основе обобщения
всех данных о партиях, разыгранных до данной, и подбирая с учетом своих интересов. Поведение игроков корректируется на каждом
следующем шаге.
Предлагается такой порядок действий:
1. Первая партия разыгрывается, исходя из равной вероятности
применения противником любой из его стратегий. Каждый игрок
подбирает такую свою чистую стратегию, чтобы получить наилучший для себя результат (математическое ожидание) при равновероятном выборе стратегий противника, и этот выбор используется для
«затравки» псевдорозыгрыша.
2. По всем предыдущим партиям для обоих игроков рассчитыва-
ется частотность применения их чистых стратегий.
3. Вычисленные частотности принимаются в качестве прибли-
женной оценки вероятности применения этих стратегий (т. е. в качестве приближенного решения игры), затем вновь производится
выбор наиболее выгодных чистых стратегий противников при данном допущении.
4. Следующая партия разыгрывается в выбранных чистых стра-
тегиях.
5. Осуществляется повтор всех действий, начиная с п. 2 (при уве-
личенном количестве разыгранных партий).
Сходимость приближенных решений обеспечивается теоремой,
доказательство которой основано на свойствах ограниченных функций. При большом количестве «выгодных» решений влияние редких
случайных «невыгодных» шагов на усредненные показатели убывает,
31
и существует некоторая окрестность оптимального решения, которая
совсем исключает возможность использования неактивной стратегии
и невыгодных шагов. Таким образом, рассчитанная по предыдущим
партиям частотность применения неактивных стратегий монотонно
убывает, приближаясь к нулю. Этот факт позволяет выдвигать правдоподобные гипотезы о составе множества активных стратегий, используемых игроками, а верификацию таких гипотез удобно проводить аналитическими методами, рассмотренными выше.
Так как при достаточно большом количестве партий влияние от-
дельного результата на усредненные частотности применения чистых
стратегий слабеет, однотипные решения о выборе чистых стратегий
принимаются удлиняющимися сериями. Частотности применения
активных стратегий варьируются около оптимальных значений, демонстрируя в пределах серии то монотонное возрастание, то убывание. Поэтому рекомендуется рассматривать результаты геометрически возрастающих количеств шагов итерации 20, 40, 80, 160...
Достоинства метода Брауна–Робинсон состоят в его идеологи-
ческой прозрачности, ясной алгоритмизации и ориентации на программную реализацию, в возможности достаточно быстро сделать
существенные выводы о множестве активных стратегий игроков и
перейти к аналитическим методам работы.
Тактика боевых действий
Некоторая территория разделена противниками. Два полководца
враждующих сторон считают полезным захват всего плацдарма (полученное при этом преимущество оценивается как эквивалент четырех рот живой силы) и принимают решение о тактике ведения боевых
действий, выбирая между «наступлением», «обороной» и «отступлением». Взаимное отступление, взаимная оборона или наступление
при отступлении противника сохраняют силы сторон. Уничтожение
обороняющегося противника требует двукратного преимущества в
живой силе (использованные сторонами подразделения существенно пострадают и не будут способны вести дальнейшие боевые действия). Во встречном наступлении потери наступающих сторон будут
равными. Сторона А способна сконцентрировать на данном участке
фронта до четырех рот, сторона В – до трех рот. Требуется предсказать тактические решения сторон.
32
Игровые стратегии стороны А (оборона силами двух рот гаранти-
рует сохранение позиций даже при наступлении противника всеми
его силами, наступление силами одной роты бессмысленно во всех
случаях, кроме отступления противника):
А1 – отступить, сохраняя силы при любом решении противни-
ка (но теряя плацдарм при обороне или наступлении противника);
А2 – оборонять позицию силами одной роты, перебросив осталь-
ные силы на другой участок;
А3 – оборонять позицию силами двух рот;
А4 – наступать силами трех рот, оставляя одну роту в обороне по-
зиций;
A5 – наступать всеми силами (4 роты).
Игровые стратегии стороны В (наступление силами одной роты
бессмысленно во всех случаях, кроме отступления противника):
В1 – отступить, сохраняя силы при любом решении противни-
ка (но теряя плацдарм при обороне или наступлении противника);
В2 – оборонять позицию силами одной роты, перебросив осталь-
ные силы на другой участок;
В3 – оборонять позицию силами двух рот, перебросив остальные
силы на другой участок;
В4 – оборонять позицию силами трех рот;
В5 – наступать силами двух рот, оставляя одну роту в обороне по-
зиций;
В6 – наступать всеми силами (3 роты).
Матрица выигрышей имеет вид (учитываются потери в живой
силе, а возможность беспрепятственно занять весь плацдарм учитывается как выигрыш 4 ед.):
В1 В2 В3 В4 В5 В6
А1 (0; 0) (0; 4) (0; 4) (0; 4) (0; 4) (0; 4)
А2 (4; 0) (0; 0) (0; 0) (0; 0) (-1; 2) (-1; 2)
А3 (4; 0) (0; 0) (0; 0) (0; 0) (-1; -2) (2,5; -3)
А4 (4; 0) (2; -1) (-3; -1,5) (-3; -1,5) (-3; -2,5) (1; -3)
А5 (4; 0) (2; -1) (-4; -2) (-4; 2) (-4; -3) (1; -3)
Считая урон, нанесенный противнику, эквивалентным получению собственного выигрыша, находим разности между выигрышами сторон (т. е. платежную матрицу антагонистической
игры).
33
В1 В2 В3 В4 В5 В6
А1 0 -4 -4 -4 -4 -4
А2 4 0 0 0 -3 -3
А3 4 0 0 0 1 5,5
А4 4 3 -1,5 -1,5 -0,5 4
А5 4 3 -2 -6 -1 4
Формализация завершена. Сразу можно заметить, что стратегии
А1 и В1 «отступить» доминируются ближайшими альтернативными
стратегиями – оставить одну роту в обороне (так как потери, которые противник понесет в случае его наступления, превосходят собственные потери каждой стороны). Также стратегии А5 и В6 «наступать всеми силами» доминируются стратегиями «наступать, выделив
силы для обороны». Упрощенная платежная матрица имеет вид:
В2 В3 В4 В5
А2 0 0 0 -3
А3 0 0 0 1
А4 3 -1,5 -1,5 -0,5
Так как верхняя и нижняя цены игры совпадают, игра имеет решение «в чистых стратегиях»: обе стороны, вероятно, будут уверенно
обороняться на данном участке фронта, «связывая» силы друг друга.
Камень, ножницы, бумага
Два игрока одновременно предъявляют соответствующую комбинацию. «Камень» тупит «ножницы», «ножницы» режут «бумагу»,
«бумага» оборачивает «камень», т. е. «камень» выигрывает у «ножниц», но проигрывает «бумаге», «ножницы» выигрывают у «бумаги», но проигрывают «камню», «бумага» выигрывает у «камня», но
проигрывает «ножницам». При одинаковых комбинациях розыгрыш происходит повторно.
Каждый игрок имеет три стратегии: АК, АН, АБ и ВК, ВН, ВБ Сумму
выигрыша возьмем равной одной условной единице. Тогда платежная матрица имеет следующий вид.
34
В
А
К
А
Н
А
Б
К
0 1 -1
-1 0 1
1 -1 0
В
Н
В
Б
Решение игры (смешанная стратегия) очевидно из симметрии
задачи: каждую стратегию обоим игрокам рекомендуется применять
в 1/3 всех случаев, при этом средний выигрыш будет приближаться
к нулю. Верхняя и нижняя цены игры реализуются при применении
любой стратегии.
Возможна альтернативная формулировка условия этой игры. У
двух игроков – по три карты: «Камень», «Ножницы», «Бумага». Они
кладут по одной карте перед банкиром, который открывает карты и
выдает выигрыш. Игра является справедливой.
Срочная продажа
Фирма, торгующая кондитерскими изделиями, имеет возможность закупить некоторое количество товара (коробками) и продавать его в течение дня, имея прибыль от разницы в закупочной
(оптовой) и розничной цен, но весь нераспроданный за день товар
должен быть утилизирован. Спрос на товар подчиняется дискретному закону распределения.
X 1 2 3 4 5 6
P(X) 0,1 0,2 0,25 0,2 0,2 0,05
Закупочная цена – 2 у. е. за коробку, выручка при розничной
продаже – 3 у. е. за тот же объем товара. Требуется определить оптимальное количество закупаемого товара.
Данная игра является игрой «с природой», так как действия одной из сторон определены лишь вероятностью проявления. Возможные стратегии активного игрока – закупать от ноля (это соответствует отказу от деятельности) до шести коробок товара в день.
Величина выигрыша определяется как разность между выручкой и
затратами на закупку товара:
X
P(X)
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
0,1 0,2 0,25 0,2 0,2 0,05
0 0 0 0 0 0
3 – 2 3 – 2 3 – 2 3 – 2 3 – 2 3 – 2
3 – 4 6 – 4 6 – 4 6 – 4 6 – 4 6 – 4
3 – 6 6 – 6 9 – 6 9 – 6 9 – 6 9 – 6
3 – 8 6 – 8 9 – 8 12 – 8 12 – 8 12 – 8
3 – 10 6 – 10 9 – 10 12 – 10 15 – 10 15 – 10
3 – 12 6 – 12 9 – 12 12 – 12 15 – 12 18 – 12
35
Таким образом, получаем матрицу выигрышей.
X 1 2 3 4 5 6
P(X) 0,1 0,2 0,25 0,2 0,2 0,05
0
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
-1 2 2 2 2 2
-3 0 3 3 3 3
-5 -2 1 4 4 4
-7 -4 -1 2 5 5
-9 -6 -3 0 3 6
Решение задачи осуществляется с помощью приемов, описанных
в разделе 1.2, и предоставляется читателю в качестве упражнения.
36
< <<
12
...
k
xx x
ω= /
ii
mn
Математическая статистика – одно из направлений прикладной
математики, занимающееся обработкой данных наблюдений и экспериментов с целью изучения объективно существующих закономерностей и взаимосвязей.
Пусть необходимо изучить совокупность однородных объектов
относительно некоторого признака, характеризующего эти объекты. Данная совокупность называется генеральной совокупностью.
Если число объектов (объем) генеральной совокупности достаточно большое, то из нее случайным образом выбираем ограниченное
число объектов для изучения, называемое выборочной совокупностью, или выборкой.
Пусть произведена выборка объема n из генеральной совокупности, причем значение x1 наблюдалось m1 раз, значение x2 – m2 раз,…,
значение x
– mk раз (
k
сываем в таблицу, называемую статистическим рядом (распределением) выборки.
). Результаты наблюдений запи-
антами, mi – частотами наблюдений,
частотами наблюдений, k – числом разрядов. Для иллюстрации
статистического ряда строим полигон относительных частот, т. е.
ломаную, последовательно соединяющую точки (xi, ωi).
ектов выборки строим интервальный статистический ряд (распределение) выборки.
x
i
m
i
ω
i
В таблице xi называются вари-
x
1
m
1
ω
1
x
2
m
2
ω
2
ω
… x
… m
… ω
k
k
k
– относительными
ω
k
ω
1
x
1
xx
k
В случае изучения непрерывно распределенного признака объ-
37
+1
(, )
iixx12
(, )xx
23
(,)xx
…
+1
(, )
kk
xx
( )
+1,ii
xx
= +2(1 log )k Int n
a
12
, ,...,
n
xx x
1
( ,..., )
nn
ax x
1
( ,..., )
nn
ax x
m
i
ω
i
Здесь диапазон наблюдений разбиваем на интервалы
m
1
ω
1
m
2
ω
2
… m
… ω
k
k
(желательно одинаковой длины h, рекомендацию по их количеству k можно найти с помощью формулы Стерджесса
), а mi –
число наблюдений, попавших в соответствующий интервал. В качестве иллюстрации рисуем гистограмму – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями (xi, x
b
b
2
b
1
x
x
1
2
) и высотами bi = ωi /h.
i+1
xxkx
k+1
Чтобы изучить некий признак генеральной совокупности, необходимо знать распределение, которое имеет этот признак, следовательно, нужно оценить параметры распределения. Оценкой
параметра распределения генеральной совокупности называется
численное значение неизвестного параметра a, определенное по
конечной выборке
удовлетворять трем требованиям: несмещенность, эффективность,
состоятельность.
1. Оценка
купности называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению параметра a.
2. Несмещенная оценка
ральной совокупности называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди несмещенных оценок параметра a.
. Статистические оценки должны
по выборке объема n генеральной сово-
по выборке объема n гене-
38
3. Оценка
1
( ,..., )
nn
ax x
1
( ,..., )
kn
ax x
→∞n
xx
∑∑
11
kk
ii
σ=
вв
D
≤ 30n
1
sD
()
по выборке объема n генеральной совокуп-
ности называется состоятельной, если вероятность значительного отклонения
от параметра a стремится к нулю при
Для выборки объема n из генеральной совокупности оценкой
математического ожидания случайной величины является выбороч-
ная средняя
n
1
=
.
∑
i
n
=
1
i
Используя данные статистического ряда выборки, выборочную
среднюю удобнее рассчитывать по формуле
.
1
= = ω
x xm x
ii ii
n
= =
,
где k – число разрядов. Оценкой дисперсии случайной величины
служит выборочная дисперсия
n nk
11
() .
= − = − = ω−
D xx x x x x
∑ ∑∑
в
i i ii
nn
1 11
= = =
i ii
2 22 2 2
Тогда выборочное среднеквадратическое отклонение
является оценкой среднеквадратического отклонения. Однако выборочная дисперсия является смещенной оценкой, поэтому для
небольшого объема выборки (
) ее исправляют с тем, чтобы
получить несмещенную оценку
n
2
n=−
,
в
которая называется исправленной выборочной дисперсией, соответсвтенно, s – исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение.
В математической статистике важную роль играют оценки начальных и центральных моментов. Напомним, что теоретическим
начальным моментом порядка s случайной величины X называют математическое ожидание величины X
M MX=
s
s
( ).
s
В частности, M
математическое ожидание и дисперсия случайной величины X.
= M(X) и
1
M M DX−=
2
21
, где M(X) и D(X) –
39
Эмпирический начальный момент порядка s определяется по фор-
11
ss
Mxx
xM
( )
**
21
( )
( )
−sX MX
11
ss
=
в*2
Dm
муле
nk
1
Аналогично
*
= = ω
∑∑
s i ii
n
ii
= =
*
=
1
и
= −
в
.
2
.DM M
Центральным моментом порядка s случайной величины X называют математическое ожидание величины
m M X MX
= −
( )
s
( )
s
.
В частности, m2 = D(X). Эмпирический центральный момент по-
рядка s определяется по формуле
nk
1
*
m xx xx
= −=ω−
( ) ( )
∑∑
s i ii
n
ii
= =
.
Аналогично
.
Центральный момент третьего порядка m3 служит для характеристики скошенности распределения. Для этого вводится коэффици-
ент асимметрии случайной величины
m
3
As X =
( )
.
3
σ
Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю (например,
для нормального и равномерного закона). Оценкой асимметрии
служит асимметрия эмпирического распределения
*
m
*
3
As =
Центральный момент четвертого порядка m
.
3
σ
в
служит для харак-
4
теристики островершинности распределения. Для этого вводится
эксцесс случайной величины
m
4
Ex X = −
( )
3.
4
σ
Для нормального закона эксцесс равен нулю. Его оценкой служит эксцесс эмпирического распределения
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]