Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие

преподавания аналитической геометрии на первом курсе механико­математического факультета Новосибирского государственного университета. Акцент делается на том, чтобы научить студентов­первокурсников подходам к решению геометрических задач, уме­нию вырабатывать стратегию и искать нестандартные способы рас­суждения.

математик XVII в. Рене Декарт. Он также знаменит как философ, и одной из его амбициозных целей была разработка универсального метода решения проблем (трактат «Рассуждение о методе»). Разу­меется, такого волшебного метода не существует, но Декарт пре­успел в нахождении универсального метода решения задач элемен-

тарной геометрии на плоскости или в пространстве. Если мы вспом­ним «школьный» Евклидов подход к решению задач геометрии, то можно отметить как раз отсутствие универсальности – как правило, каждая задача требует индивидуального подхода, необходимо дога­даться (и это нельзя формализовать!), какие дополнительные по­строения надо выполнить, какие теоремы и формулы использовать. Это вызывает объяснимые сложности у школьников. Казалось бы, аналитический подход Декарта решает эту проблему: достаточно вполне формальным способом записать все данные задачи, все гео­метрические объекты в некоторой системе декартовых координат, затем в дело вступает (легко формализуемая) «алгебраическая ма­шина» (а в наш компьютерный век – программа автоматических ал­гебраических вычислений!), и остаётся лишь геометрически проин­терпретировать полученный алгебраический результат. Может быть, хватило бы двух-трёх семинаров для описания «перевода» и «обратного перевода» между языком геометрии и языком алгебраи­ческих выкладок? Но дело заключается в том, что, как и в случае Евклидова подхода, аналитико-геометрический подход к задачам требует творческого, вариативного математического мышления – в зависимости от выбранного пути решения задачи, объём подсчётов может отличаться во много раз, а иногда некоторые пути подсчёта могут быть практически нереализуемыми (человеком) за разумное время. Поскольку мы хотим научить студентов решать задачи вруч­ную, не прибегая к компьютерной алгебре, этот момент очень ва­жен. Таким образом, при решении каждой задачи по аналитической геометрии мы преследуем дополнительную цель – не просто найти какое-нибудь решение, а разыскать наиболее короткое решение. Очень часто эта краткость коррелирует с эстетическим измерени­ем – самое короткое решение, как правило, и самое красивое (хотя, конечно, понятие красоты в математике едва ли поддаётся формали­зации). Часто красота решения связана с учётом некоторой симмет­рии задачи.

Студенты со школы знают определение вектора (на плоскости или в пространстве) как направленного отрезка, т. е. отрезка, одна из граничных точек которого названа началом вектора, а другая – концом. Что это даёт по сравнению с рассмотрением обычных от­резков? Самое главное − то, что с направленными отрезками можно производить алгебраические операции: сложение двух векторов и умножение вектора на (вещественное) число. Тем самым, совокуп­ность векторов превращается в некоторую алгебраическую систему, внутри которой вычисления можно производить быстро и эффек­тивно. Важно, что в некоторых рамках сложение векторов и умно­жение векторов на числа подчиняется всем привычным правилам и законам сложения и умножения чисел.

на фиксированная «точка наблюдения» О, то для любой точки Р

плоскости или пространства вектор 

вектора точки Р.

Ясно, что при фиксированной точке наблюдения каждая другая точка однозначно определяется своим радиус-вектором. Задачу 1 можно переформулировать так: выразить радиус-вектор середины отрезка через радиус-векторы его концов.

Обратим внимание, что число  может быть и отрицательным (когда М лежит на продолжении отрезка, и, стало быть, векторы  и 

зок АВ в отношении  , считая от точки А (числа   положи-

тельные). Для данной формулировки возникает и соответствующий

полезный вариант задачи 2 (назовём этот вариант задачей 󰇜.

Теперь очевидно, что нам надо умножить равенство (3) на  и

прибавить к равенству (2). Получим

вим на минуту, что мы не знаем из школьного курса геометрии, что все три медианы пересекаются в одной точке. В силу формул (1)