Решение задач нестационарной теплопроводности. Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теплофизика»

3074

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра нанотехнологий

В.И. Дождиков, О.А. Коваленко

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсовой работе по дисциплине «Теплофизика»

Липецк Липецкий государственный технический университет

2015

УДК 536.02(07) Д 612

Рецензент – С.И. Шарапов, кандидат физико-математических наук, доцент

Дождиков, В.И.

Методические указания предназначены для студентов направления

28.03.02 «Наноинженерия» (профиль подготовки «Нанотехнологии и наноматериалы»).

Содержат перечень изучаемых тем и разделов, набор заданий и упражнений.

Табл. 2. Ил. 2.

© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2015

2

Научно-технический прогресс в значительной мере характеризуется увеличением количества энергии, используемой человеком в различных процессах и системах.

Инженерам и исследователям необходимы знания для математического моделирования процессов изменения состояния вещества при реализации различных технологий, при проектировании, расчетах, анализе и оптимизации работы технологических систем. Во многих случаях это связано с решением задач теплообмена. В связи с возрастанием сложности этих задач и возможностью обеспечения исследований и проектирования компьютерной поддержкой все большее распространение получают численные методы их решения.

Цель курсовой работы – сформировать у студентов умения решения задач нестационарной теплопроводности конечно-разностным методом по явной схеме и навыки их применения для решения практических проблем.

3

1. Виды теплообмена

Теплообмен широко распространен в природе и технике. Существует три различных по своей природе элементарных вида теплообмена:

теплопроводность, конвективный и лучистый теплообмен. Газы, жидкости и твердые тела в теории теплообмена рассматриваются феноменологически, то есть как сплошная среда, при этом пренебрегают особенностями микроскопической структуры вещества и дискретным характером его строения.

Теплопроводность в такой сплошной среде с точки зрения молекулярно-кинетических представлений представляет собой перенос энергии вследствие теплового движения и энергетического взаимодействия между микрочастицами (молекулами, атомами, электронами), из которых состоит тело. При этом полагают, что тела гомогенны и изотропны, а размеры объектов исследования достаточно велики по сравнению с расстояниями эффективного межмолекулярного взаимодействия.

Процесс теплопроводности может происходить в однородных и неоднородных сплошных средах. В первых физические свойства в различных точках одинаковы при одинаковых температуре и давлении, в неоднородных средах – различны.

Существует также деление сплошных сред на изотропные и анизотропные. В изотропной среде ее физические свойства не зависят от выбранного направления, в анизотропной среде свойства являются функцией направления.

Различают также однофазные и многофазные сплошные среды. В

однофазной среде свойства изменяются в пространстве непрерывно. В

многофазной среде, состоящей из ряда однофазных частей, на границах раздела свойства изменяются скачками. Следовательно, теплообмен в однофазных и многофазных системах протекает по-разному.

4

В газах перенос энергии теплопроводностью осуществляется путем диффузии молекул и атомов. В жидкостях и диэлектриках перенос теплоты путем теплопроводности осуществляется за счет распространения упругих волн колеблющихся атомов и молекул. Теплопроводность в чистом виде, как правило, встречается только в твердых телах. В металлах перенос энергии в основном осуществляется путем диффузии свободных электронов, а роль упругих колебаний кристаллической решетки является второстепенной.

Следует указать, что в жидкостях и газах чистая теплопроводность может быть реализована при выполнении условий, исключающих перенос тепла конвекцией.

Феноменологические законы носят весьма общий характер, а роль конкретной физической среды учитывается коэффициентами, определяемыми опытным путем, среди которых коэффициент теплопроводности играет основную роль.

Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела (или системы тел) температура неодинакова. В общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле сопровождается изменением температуры как в пространстве, так и во времени.

2. Задачи теплопроводности

Основной задачей теплопроводности является определение температурного поля в теле. Температурное поле есть совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени.

Температурное поле может быть нестационарным и стационарным. В

первом случае считается, что поле изменяется во времени:

5

во втором – нет:

где t – температура тела; x,y,z – координаты точки в системе; τ – время.

Всоответствии с этим и процесс теплопроводности рассматривают как стационарный или нестационарный.

Впрактике решения задач теплопроводности определяют параметры различных вариантов температурных полей. Самыми распространенными являются следующие. Это, например, уравнение двухмерного температурного поля для нестационарного режима:

уравнение одномерного температурного поля для нестационарного режима:

Перечисленные выше виды нестационарных температурных полей являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений теплопроводности.

В общем случае требуется найти решение для определения параметров трехмерного температурного поля в исследуемой системе. Для этого случая дифференциальное уравнение теплопроводности выглядит следующим образом:

6

температуропроводности, м2/с; с – удельная массовая теплоемкость вещества,

Дж/(кг·К); ρ – его плотность, кг/м3; qv – объемная плотность равномерно распределенных источников тепла в системе, Вт/м3:

Коэффициент теплопроводности λ является основным физическим параметром, определяющим передачу тепла теплопроводностью. Он численно равен количеству теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу изотермической поверхности при температурном градиенте,

равном единице. В общем случае коэффициент теплопроводности зависит от температуры, давления и рода вещества. Для многих материалов с достаточной для практики точностью зависимость коэффициента теплопроводности от температуры можно принять линейной.

Коэффициент температуропроводности а также является физическим параметром вещества. Он характеризует скорость изменения температуры в процессах нестационарной теплопроводности. Если коэффициент теплопроводности λ характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности а является мерой теплоинерционных свойств тела. Скорость изменения температуры в любой точке тела при нестационарной теплопроводности будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности. Поэтому выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в теле с большим коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью вследствие больших значений коэффициента

7

температуропроводности. Напротив, жидкости и газы, обладающие малыми коэффициентами температуропроводности, характеризуются большой тепловой инерционностью.

При отсутствии внутренних источников теплоты дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

Для двухмерного случая

Если же необходимо описать распространение тепла в однородном стержне или через бесконечную пластину, то достаточно решить одномерное уравнение теплопроводности

Знакомство с принципами использования численных методов решения проведем на примере решения одномерного уравнения теплопроводности.

3. Условия однозначности

Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление теплопроводности в самом общем виде, то есть описывает целый класс явлений теплопроводности. С целью решения задачи теплопроводности для конкретного случая необходимо составить систему уравнений, где, помимо дифференциального уравнения теплопроводности, должны быть уравнения,

описывающие конкретные особенности рассматриваемого процесса, и, кроме того, должны быть заданы физические свойства вещества. Все это называется условиями однозначности, или краевыми условиями.

8

Условия однозначности включают в себя:

–геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в

которых протекает процесс;

–физические условия, характеризующие физические свойства тела (λ,

с, ρ);

–начальные условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;

–граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

4. Начальные условия

Начальные условия описывают температурное поле в исследуемом теле в начальный момент времени. Для решения объемных задач начальные условия задают в виде функции

Эти функции должны быть известны, так как эти уравнения входят в систему уравнений нестационарной теплопроводности для исследования изменения температурного поля в исследуемом конкретном теле при заданных условиях теплообмена с окружающей средой.

5. Граничные условия

Особое внимание при решении задач теплопроводности уделяется заданию граничных условий. Это связано с тем, что посредством функций,

9

описывающих граничные условия, задается управление процессом теплопроводности, что во многих случаях является практической задачей теплообмена.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

5.1. Граничные условия первого рода

Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени протекания исследуемого процесса:

tc=f (x, у, z, τ), (16)

где tc – температура на поверхности тела; х, у, z – координаты точек на поверхности тела.

Количество пространственных координат, входящих в это уравнение,

зависит от размерности решаемой задачи. Так, для одномерной задачи это выражение выглядит так:

где xс является постоянной величиной – координатой точки на поверхности тела.

В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов

прогнозирования температурного поля в теле при теоретически обоснованных оптимальных распределениях температуры на его поверхности.

5.2. Граничные условия второго рода

В этом случае задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:

10