Решение задач нестационарной теплопроводности. Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теплофизика»

где qс – плотность теплового потока на поверхности тела; х, y, z – координаты точек на поверхности тела (системы).

Для одномерной задачи это выражение выглядит так:

на поверхности тела.

Это выражение описывает тепловой баланс на границе тела: равенство тепловых потоков, приходящих к границе тела и уходящих от нее.

Впростейшем случае плотность теплового потока на всей поверхности

иво времени остается постоянной qс = const и тогда

Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.

5.3. Граничные условия третьего рода

Это условие характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой, когда задаются температура окружающей среды tж и

описание процесса теплообмена на границе тела в виде закона Ньютона– Рихмана:

где α – коэффициент теплоотдачи; tc, tж – температуры поверхности тела и окружающей среды соответственно.

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей

11

поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Граничное условие третьего рода, как и граничное условие второго рода, задается в виде уравнения теплового баланса на границе тела.

Например, для описания граничных условий в случае одномерной теплопроводности

где индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела.

Коэффициент теплоотдачи зависит от большого числа факторов.

Однако при решении многих задач коэффициент теплоотдачи принимают постоянным α = const.

Представление о порядке величин коэффициента теплоотдачи для различных случаев конвективного теплообмена на границе тела дает табл. 1.

Таблица 1

Значение коэффициентов теплоотдачи

Минимальные значения коэффициента теплоотдачи соответствуют свободной конвекции на воздухе, максимальные – кипению и конденсации.

5.4. Граничные условия четвертого рода

Эти условия характеризуют теплообмен при идеальном контакте одного тела с другим. При этом предполагается, что температуры поверхности обоих тел в точках контакта одинаковы.

12

В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков,

проходящих через поверхность соприкосновения:

где λ1, λ2 – коэффициенты теплопроводности первого и второго тела

тела на их поверхности в точке контакта соответственно.

Дифференциальное уравнение совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности. Эта задача разрешается аналитическим, численным или экспериментальным методом.

6. Метод конечных разностей

Аналитические решения, полученные путем непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точке системы в любой момент времени. Однако для решения многих (особенно многомерных) задач с переменными значениями

λ, с и ρ и зависимостью qv от координат и времени, переменными и нелинейными граничными условиями получить решение дифференциального уравнения теплопроводности с помощью точных аналитических методов не удается.

Поэтому в настоящее время существует много различных приближенных методов расчета теплопроводности, которые приводят к удовлетворительным для инженерной практики результатам. Наибольшее распространение из этих приближенных методов получили численные методы. Эти методы используют явные и неявные конечно-разностные аппроксимации дифференциального уравнения теплопроводности.

13

При численном решении задачи этими методами нельзя получить решение во всех точках некоторой области пространства. Приближенное решение может быть найдено лишь в некотором конечном множестве точек пространства в определенные моменты времени.

При численном решении дифференциальное уравнение заменяют его конечно-разностным аналогом. С этой целью область непрерывного изменения аргумента заменяют дискретной областью и вместо дифференциального оператора используют так называемый разностный оператор уравнения. После этого приближенное численное решение дифференциального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Из численных методов решения задач теплопроводности в настоящее время наиболее ценным и широко используемым является метод конечных

разностей (МКР).

Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются приближенными соотношениями между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций.

При построении дискретных аппроксимаций краевых дифференциальных задач стремятся достичь хорошего качества аппроксимации и получения устойчивого решения используемых для такой аппроксимации алгебраических систем уравнений.

Таким образом, при использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Аппроксимируя

(заменяя) частные производные дифференциального уравнения конечными разностями, получают систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры как локальной характеристики в каждом узле

14

сетки. Каждый узел представляют центром слоя тела, который имеет температуру, равную температуре узла. Для получения замкнутой системы линейных алгебраических уравнений используют разностное представление начальных и граничных условий. Затем эту систему решают численными методами с помощью ЭВМ.

Для решения могут быть использованы разностные уравнения,

составленные как по явной, так и неявной конечно-разностной схеме.

Принципы использования явной схемы конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения теплопроводности рассмотрим на примере решения этим способом задачи теплопроводности через бесконечную пластину, для чего достаточно использования одномерного варианта этого уравнения

В уравнении (25) частные производные от температуры t по времени τ и

от температуры t по координате х заменим их приближенными значениями, а

соответствующие дифференциалы – конечными приращениями х и Δτ или шагами сетки вычислений соответственно по координате и по времени:

Величины δ( х), δ( х2), δ(Δτ) являются параметрами, определяющими различие между производными и аппроксимирующими их алгебраическими выражениями в виде конечных разностей. При стремлении к нулю х и Δτ эти величины также стремятся к нулю, то есть чем меньше выбранные шаги х и

Δτ, тем значение конечно-разностной аппроксимации ближе к значению производной. Учитывая это обстоятельство, выбирают достаточно малые

15

значения х и Δτ, что позволяет пренебречь значениями δ( х), δ( х2), δ(Δτ) в

уравнениях (26) – ( 28).

Таким образом, в результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями дифференциальное уравнение теплопроводности можно преобразовать в алгебраическое уравнение, которое связывает значение температуры в определенной i-точке пространства в рассматриваемый (n+1)-момент времени с температурами в этой и соседних точках в предыдущий n-момент времени:

Следовательно, это уравнение можно использовать для определения температур tn+1i в рассматриваемый момент времени во внутренних точках тела:

Так как это уравнение связывает четыре смежные в пространстве и во времени температуры, эта явная схема называется четырехточечной (рис. 1).

При описании температурного поля вдоль координаты х по результатам расчетов температуры в узлах считают, что распределение температуры между узлами можно представить в виде линейной функции. Допускается аппроксимация полученной дискретной функции в узлах гладкой непрерывной функцией, обеспечивающей распределение температур между узлами, близкое к линейному.

При использовании граничных условий первого рода узловой точке границы тела на расчетном шаге по времени присваивают значение температуры в соответствии с заданной функцией, описывающей изменение температуры поверхности тела во времени, или присваивают постоянное значение при условии неизменности температуры на границе тела.

16

В случае использования граничных условий второго рода температуру для граничного узла можно определить из уравнения

где qcn – значение плотности теплового потока на границе тела в n-момент времени.

Первое слагаемое левой части этого уравнения выражает плотность теплового потока к поверхности неограниченной плоской стенки, второе – плотность теплового потока от узла 1 к узлу 2 тела (тело нагревается, в случае охлаждения меняются знаки членов уравнения). Правая часть уравнения учитывает изменение энтальпии массы тела, соответствующей толщине слоя стенки 0,5 х, за малый промежуток времени Δτ. Учет изменения энтальпии для граничного полуслоя необходим с точки зрения закона сохранения энергии в этом полуслое при реализации теплообмена на границе тела. Для внутренних точек этот закон соблюдается, так как он использовался при выводе дифференциального уравнения теплопроводности.

Отсюда можно определить температуру на границе тела в рассматриваемый (n+1)-момент времени:

При использовании граничных условий третьего рода температуру для граничного узла тела можно определить из подобного уравнения

где αn – значение коэффициента теплоотдачи на границе тела в n-момент времени.

Здесь первое слагаемое левой части выражает плотность теплового потока, переносимого путем конвекции от среды с температурой tж к

поверхности неограниченной плоской стенки, второе – плотность теплового потока, переносимого теплопроводностью от граничного узла 1 к узлу 2 тела.

17

Правая часть уравнения также описывает изменение энтальпии граничного слоя стенки толщиной 0,5 х за малый промежуток времени Δτ.

Отсюда

Решение задачи определения температурного поля при нестационарном одномерном процессе теплопроводности с помощью этих алгебраических уравнений конечно-разностной аппроксимации состоит из поэтапного выполнения следующих процедур.

Сначала необходимо разбить пластину по толщине на (N–1) равных промежутков, т.е. построить конечно-разностную сетку с N узлами сетки по толщине (рис. 1). Таким образом определяют расчетный шаг сетки разбиения тела по толщине (по пространственной координате х):

где L – толщина пластины; N – число точек сетки разбиения.

Рис. 1. Шаблон явной четырёхточечной разностной схемы

18

Затем определяют величину расчетного шага по времени Δτ. Очевидно,

что чем меньше величины Δx и Δτ, тем точнее результаты расчетов. Кроме того, важно соотношение между этими величинами, так как оно влияет на устойчивость конечно-разностной схемы, то есть на отличие полученного с ее помощью решения от аналитического точного решения.

Сравнение точного и численного решений показывает, что расчеты по явной схеме конечно–разностной аппроксимации при условии

Левая часть выражения является числом Фурье в отношении процесса теплопроводности в границах шага по времени и шага по координате.

Следовательно, значение Δτ следует выбирать таким, чтобы оно удовлетворяло условиям устойчивости, то есть максимально допустимый шаг по времени должен удовлетворять неравенству

Таким образом, если уменьшить выбранный шаг по координате в 2 раза, то шаг по времени необходимо уменьшить в 4 раза, если в 5 раз, то шаг по времени уменьшится в 25 раз.

В общем случае это условие выглядит следующим образом:

19

где k – коэффициент, определяющий соотношение между шагами расчета по координате и по времени. Обычно принимают значения k в диапазоне 2 …4,

определяя таким образом запас решения по его устойчивости.

Для граничного узла при граничных условиях третьего рода наибольший допустимый шаг по времени зависит не только от коэффициента температуропроводности а и шага по координате Δx, но и от коэффициентов теплоотдачи α и теплопроводности λ:

Определив значения шагов по времени Δτ для внутренних точек и для точек на границе тела, выбирают из них наименьший шаг для расчетов по явной схеме конечно-разностной аппроксимации.

Затем необходимо определить количество расчетных шагов по времени,

исходя из заданного значения периода времени исследования процесса τк:

Дискретное множество {xi} (i=1, N) называется пространственной сеткой, дискретное множество {τn} (τ=0, τk) – временной сеткой, а дискретное множество Ψ(xi, τn) – пространственно-временной сеткой. Очевидно, что информация о температуре в точках (узлах) пространственно–временной сетки описывается матрицей размером k×N. Эта совокупность приближенных значений температуры в узлах и называется разностным решением.

Во многих случаях исследуемая пластина имеет на обеих ее границах одинаковые граничные условия, что соответствует, например, помещению этой пластины в определенную среду вертикально. В этом случае условия теплообмена с окружающей средой на обеих поверхностях пластины одинаковы. Одинаковые условия на обеих границах пластины могут быть созданы искусственно, как, например, при реализации определенной технологии получении продукта путем охлаждения или нагрева заготовки

20