Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач управления в экономике с помощью Еxcel. Учебное пособие
.pdf
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ю.И. КУДИНОВ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ
В ЭКОНОМИКЕ С ПОМОЩЬЮ EXCEL
Учебное пособие
Липецк 2010
ББК 65.050
К 050
Рецензенты:
кафедра компьютерного и математического моделирования
Тамбовского государственного университета
им. Г.Р. Державина;
Д-р физ.-мат. наук, проф. Курбатов В.Г.
Кудинов Ю.И.
К 050 Решение задач управления в экономике с помощью Еxcel [Текст]: учебное
пособие / Ю.И. Кудинов. – Липецк: Издательство ЛГТУ, 2010. – 92 с.
ISВN 978-5-88247-444-6
В учебном пособии рассматриваются модели линейных и нелинейных за-
дач управления и методы их решения с помощью Excel. Линейные модели
представлены задачами планирования производства сетевыми и транспортными задачами.
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей.
Ил. 42. Табл. 11. Библиогр.: 8 назв.
ББК 65.050
К 050
Печатается по решению редакционно-издательского совета ЛГТУ
ISВN 978-5-88247-444-6
© Кудинов Ю.И., 2010
© Липецкий государственный
технический университет, 2010
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................ 4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПТИМИЗАЦИИ ................................................. 5
1.1. Постановка задачи оптимизации ............................................................. 5
1.2. Классификация математических моделей .............................................. 7
1.3. Этапы работ при принятии оптимальных решений .............................. 8
2. ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВА ........................ 10
2.1. Оптимальное распределение ресурсов ................................................. 11
2.2. Выполнение плановых показателей ...................................................... 19
2.3. Задача с целочисленными переменными .............................................. 21
2.4. Задача с двоичными переменными ....................................................... 22
2.5. Задача оптимального раскроя ................................................................ 25
2.6. Задача оптимального смешения ............................................................ 30
Самостоятельная работа №1 ......................................................................... 33
3. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ ........................................................................... 46
3.1. Классическая транспортная задача ....................................................... 46
3.2. Сетевая транспортная задача ................................................................. 52
3.3. Задача нахождения кратчайшего пути .................................................. 55
3.4. Задача о назначениях .............................................................................. 59
3.5. Задача управления запасами .................................................................. 65
Самостоятельная работа №2 ......................................................................... 69
4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ............................................. 81
4.1. Основные понятия ................................................................................... 81
4.2. Задача о минимизации функции ............................................................ 83
4.3. Максимизация функции методом эволюционного поиска ................. 87
Самостоятельная работа №3 ......................................................................... 91
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................... 93
4
ВВЕДЕНИЕ
Пособие посвящено основным принципам моделирования, которые можно
применить к широкому спектру задач управления в экономике. Формализация и
решение моделей экономических задач осуществляется с помощью электронной таблицы Excel. Пособие состоит из четырех глав.
В первой главе даются основные понятия линейных и нелинейных задач
оптимизации.
Вторая глава посвящена решению линейных задач оптимального планирования производства. К ним относятся задачи оптимального распределения ресурсов, целочисленной оптимизации, с двоичными переменными, оптимального раскроя и смешения.
В третьей главе рассматриваются модели транспортных задач. В начале
формулируется и решается классическая сбалансированная и несбалансированная транспортная задача. Затем приводятся такие версии транспортной задачи,
как сетевая транспортная задача, задача нахождения кратчайшего пути, задачи
о назначениях и управления запасами.
Содержание четвертой главы связано с применением методов нелинейного
программирования (Ньютона) и генетического алгоритма для решения нелинейных задач оптимизации.
Важно подчеркнуть, что в конце второй, третьей и четвертой глав помещено большое число задач управления, предназначенных для самостоятельной работы студентов.
Пособие предназначено для приобретения практических навыков решения
задач управления студентами экономических специальностей и слушателями
курсов повышения квалификации.
5
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПТИМИЗАЦИИ
)(
m
bbbb ,...,,
21
n
xxx ,...,,
21
),(=
21 n
x,...,xxx
)(1xg
)(2xg
)(xg
m
ii
bxg ≤)(
0 ≥
j
x
jj
dx ≥
jjj
Dxd ≤ ≤
1.1. Постановка задачи оптимизации
Решение задачи управления предприятием предполагает достижение некоторой цели (максимальной прибыли, заданной производительности) с минимальными затратами ресурсов (труда, сырья, оборудования, денежных средств,
природных ресурсов и т.п.). Другими словами, имеет место задача оптимизации, которая формулируется следующим образом.
Через
готовлении n видов продукции в количестве
вектора
единиц первого ресурса,
обозначается набор ресурсов, используемых при из-
, представленных в виде
. Пусть на изготовление продукции x тратится
единиц второго ресурса и т.д. и
единиц m-
го ресурса.
Очевидно, что количество ресурсов должно удовлетворять ограничениям
(ОГР)
, i = 1, 2, …m. (1.1)
Количество j-ого вида продукции xj должно быть неотрицательным
, (1.2)
т.е. в общем случае подчиняющееся односторонним
(1.3)
или двусторонним
, j = 1, 2, …n, (1.4)
граничным условиям (ГРУ), где Dj и dj – верхний и нижний пределы изменения
переменной xj.
При известном выражении целевой функции (ЦФ) прибыли f(x), зависящей
от количества выпускаемой продукции x, можно записать в математической
форме задачу максимизации прибыли (минимизации себестоимости или выпуска заданного количества продукции)
6
ЦФ:
maxxf →)(
mibxg
ii
,1=,≤ )(
jjj
Dxd ≤ ≤
nj ,1=
(min, const);
ОГР:
ГРУ:
,
; (1.5)
.
Количество переменных n определяет размерность задачи оптимизации.
Решение задачи (1.5), удовлетворяющее всем ограничениям (1.1) и граничным условиям (1.4), называется допустимым.
Решение задачи в значительной степени зависит от числа переменных n и
ограничений m. Возможны три вида отношений между n и m: n < m, n = m, n >
m, которые мы и рассмотрим.
1. Неравенство n < m. Например, при n =1, m = 2 система уравнений:
x1 + 3 = 6,
x1 – 2 = 4
не имеет решения.
2. Равенство n = m. Например, при n =2, m = 2 в системе уравнений:
2x1 + 3x2 = 4,
4x1 + 5x2 = 5
обеспечивается необходимое условие решения системы линейно-независимых
уравнений. Здесь только одно решение и не всегда оптимальное.
Линейно-зависимое уравнение образуется умножением левой и правой части другого уравнения на постоянное число или сложением нескольких уравнений. Так, система линейно-зависимых уравнений, в которой второе уравнение
получено умножением первого на 2,
2x1 + 3x2 = 4,
4x1 + 6x2 = 8,
решения не имеет.
3. Неравенство n > m. Например, при n =2, m = 1 уравнение
3x1 + 4x2 = 12
дает бесчисленное множество решений, среди которых можно выбрать опти-
мальное или допустимое.
7
Если рассмотреть ограничения-неравенства, то их можно записать
mi ,1=
gi(x1,…, хn) bi,
в виде равенств с дополнительными переменными yi, т.е.
gi(x1,…, хn) + yi = bi,
Тогда общее число N переменных xj, yi будет больше числа уравнений m,
т.к.
N = n + m.
Следовательно, система (1.6) имеет бесчисленное множество решений. Отсюда следует, что система, состоящая из любого числа ограниченийнеравенств, имеет бесконечное множество решений.
Таким образом, условие n > m – это основное требование для задач оптимизации.
. (1.6)
1.2. Классификация математических моделей
Математической моделью называются математические зависимости, об-
разующие задачу оптимизации. Рассмотрим классификацию математических
моделей по виду исходных данных, искомых переменных и используемых зависимостей.
Исходными данными для математической модели являются: целевая функ-
ция f(x), левые gi(x) и правые bi части ограничений. Если известны точные зна-
чения исходных данных, то последние называются детерминированными, в
противном случае – случайными.
Искомые переменные могут быть непрерывными и дискретными. Непре-
рывные переменные в заданных ограничениями интервалах могут принимать
любые значения. Дискретные переменные имеют только заданные значения.
Целочисленными являются дискретные переменные, которые принимают только целые значения.
Зависимости между переменными (целевые функции и ограничения) мо-
гут быть линейными или нелинейными.
8
Линейными называются зависимости, в которые переменные входят в пер-
Исходные данные
Искомые
переменные
Зависимости
Классы задач
Детерминированные
Непрерывные
Линейные
Линейного
программирования
Детерминированные
Целочисленные
Линейные
Целочисленного
программирования
Детерминированные
Непрерывные,
целочисленные
Нелинейные
Нелинейного программирования
вой степени, и с ними выполняются только действия сложения и вычитания.
Остальные зависимости являются нелинейными. Комбинации исходных
данных, искомых переменных и зависимостей между переменными образуют
различные классы задач оптимизации (табл. 1.1), решаемых разными методами.
Таблица 1.1
1.3. Этапы работ при принятии оптимальных решений
Основные этапы работ при принятии оптимальных решений следующие:
1. Выбор задачи оптимизации.
2. Содержательная постановка задачи заключается в словесном выделе-
нии и анализе элементов математической модели: исходных данных,
искомых переменных, ограничений и целевой функции.
3. Составление математической модели – это формализация элементов
математической модели в виде линейных и/или нелинейных зависимостей.
4. Сбор исходных данных предполагает предварительный анализ и уточ-
нение используемых данных.
5. Решение задачи осуществляется определенным методом с учетом ха-
рактеристик элементов модели из табл. 1.1.
9
6. Анализ решения осуществляется при постановке задачи и после полу-
чения оптимального решения.
Вначале проводится вариантный анализ с целью выяснить, как влияют на
решение задачи параметры, структура ограничений и целевой функции, а также
исходные данные. В эту группу задач анализа – решения по заказу – входят за-
дачи, целью которых является решение задач оптимизации при заданных значениях переменных, левых значений ограничений, целевой функции.
Затем полученное решение анализируется на оптимальность, устойчи-
вость и совместимость с заданными пределами.
10
2. ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВА
max→
∑
1mj
jj
xcf
i
n
j
jij
bxa
1
,,1,,1,≤ ≤ 0 mjniDx
jj
n
j
ijij
bxa
1
m
i
ii
zb
1
min
j
m
i
iij
cza
1
n,j,m,i,z
i
1=1=0≥
Задачи определения оптимального плана производства являются задачами
линейной оптимизации, решаемыми с помощью симплекс-метода. В их число
входят задачи оптимального распределения ресурсов, выполнения плановых
показателей, с целочисленными и двоичными переменными.
Линейная задача определения оптимального плана производства является
частным случаем задачи оптимизации (1.5) и записывается следующим образом:
, (2.1)
, (2.2)
(2.3)
где n – число выпускаемых видов продукции; m – количество используемых
производственных ресурсов; aij – величина ресурса i, затрачиваемого на выпуск
единицы продукции вида j; cj – прибыль от выпуска и реализации единицы
продукции вида j; bi – количество имеющегося ресурса i; xj – переменная – объём выпускаемой продукции вида j.
Выполнение плановых показателей заключается в задании величины искомой переменной
xj = Dj
или используемого ресурса
.
Исходной задаче (2.1) – (2.3) соответствует двойственная
fд =
, (2.4)
, (2.5)
. (2.6)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]