Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач управления в экономике с помощью Еxcel. Учебное пособие
.pdf
31
max)(min
1
m
j
jj
xc
m
j
ijij
nibxa
1
,...,2,1,)(
m
j
j
x11
, (2.37)
при которой суммарная доля aij компоненты i, входящей в компоненту j, не
достигала (превышала) максимально (минимально) допустимого количества bi компоненты i в смеси
, (2.38)
и сумма долей xj компонента j не превышала единицы
, (2.39)
а сами доли xj были неотрицательными
xj ≥ 0, j = 1, 2, …, m, (2.40)
m – число исходных компонентов; n – число компонент в смеси.
Рассмотрим постановку и пример решения задачи об оптимальной смеси
углей. Для некоторого технологического процесса требуется уголь с содержанием фосфора и пепла не выше заданных значений 0.03 и 3.25% соответственно. Может быть закуплен уголь трех разных сортов (А, В, С) с различным содержанием фосфора (0.06, 0.04, 0.02%), пепла (2, 4, 3%) и ценой 1т (300, 300,
450 руб.).
Необходимо найти пропорции (доли) xA, xB, xC, в которых следует закупать
уголь разных сортов с минимальной стоимостью за 1т. Сформулируем задачу
оптимизации.
Целевой функцией (2.37) будет суммарная стоимость 1т смеси
f = 300xA + 300xB + 450xC. (2.41)
Запишем ограничения (2.38) по содержанию в смеси фосфора
0.06xA + 0.04xB + 0.02xC 0.03 (2.42)
и пепла
2xA + 4xB + 3xC 3.25, (2.43)
а также граничное условие (2.39)
32
xA + xB + xC 1 (2.44)
и условие неотрицательности (2.40)
xA, xB, xC 0. (2.45)
Требуется определить такие доли углей xA, xB, xC, которые минимизируют
целевую функцию (2.41) и удовлетворяют ограничениям (2.42)-(2.45).
Технология решения задачи на Excel
Заполните данными ячейки А1:Е9 на рис. 2.19.
В ячейку Е15 введите выражение целевой функции. В ячейки С12:С14 введите элементы суммы левой части ограничения (2.42), в ячейки D12:D14 – элементы левой части ограничения (2.43), а в ячейки В15, С15, D15 и Е15 – формулы для вычисления соответствующих сумм в ограничениях (2.44), (2.42),
(2.43) и целевой функции (2.41).
Рис. 2.19
Командой Сервис, Поиск решения откройте окно «Поиск решения» и
введите следующие данные:
Установить целевую ячейку: $Е$15
Равной: минимальному значению
Изменяя ячейки: $B$12:$В$14
33
Ограничения: $B$15=1
Цех
Затраты рабочего времени
Продукт 1
Продукт 2
1 1 2
2 1 3
3 2 3
$С$15<=$E$8
$D$15<=$E$4
и нажмите кнопку Выполнить.
В ячейках В12:В14 появятся результаты решения задачи (рис. 2.20).
Повторите расчет с улучшенным содержанием пепла 3.5% в угле сорта В
и оцените полученный результат.
Рис. 2.20
Самостоятельная работа №1
Решите задачи оптимального распределения ресурсов
симплекс–методом с помощью Excel
Задачи планирования производства
1. Компания ИНТЕРМЕТАЛЛ производит и продает два вида металлопро-
дукции. При продаже каждой единицы продукции типа 1 компания получает
прибыль 120 руб., а при продаже единицы продукции типа 2 – 40 руб. Требования к затратам рабочего времени на производство изделий в трех цехах приводятся в таблице.
Начальники цехов оценили, что на следующей неделе ресурс рабочего
времени составит в цехе 1 – 800 ч, в цехе 2 — 600 ч, в цехе 3 — 2000 ч. Определить количество проданной металлопродукции, максимизирующей прибыль.
34
2. Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С
Вид сырья
Нормы расхода сырья (т)
на 1 т карамели
Общее
кол-во
сырья (т)
А В С
Сахарный песок
0,8
0,5
0,6
800
Патока
0,4
0,4
0,3
600
Фруктовое пюре
0
0,1
0,1
120
Прибыль от реали-
зации 1 т продук-
ции (тыс. руб.)
108
112
126
использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство одной тонны карамели
приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида,
которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели соответствующего вида.
Найти оптимальное сочетание объемов производства карамели (по видам),
обеспечивающее максимальную прибыль от ее реализации. Исследовать, как
изменятся эти объемы при изменении запасов сырья на фабрике.
3. Предприятие производит пиломатериалы и фанеру, используя для
этого еловые и пихтовые лесоматериалы. Для приготовления 2,5 м3 пиломатериалов необходимо израсходовать 2,5 м3 еловых и 7,5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для изготовления 100 м2 фанеры требуется 5 м3 еловых и 10 м3 пихтовых
лесоматериалов. Запасы предприятия составляют 80 м3 еловых и 180 м3 пихтовых лесоматериалов.
Составить задачу нахождения оптимального плана производства предприятия, если по условиям поставок необходимо произвести не менее 10 м3 пиломатериалов и 1200 м2 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 16 ед., а
со 100 м2 фанеры 60 ед.
4. Фирма выпускает радиоприемники трех различных моделей: А, В, С.
Каждое изделие указанных моделей приносит доход в размере 8, 15, 25 ед., соответственно. Необходимо, чтобы фирма выпускала за неделю не менее 100
35
приемников модели А, 150 модели В и 75 модели С. Каждая модель характери-
Показатель
Культура
Капуста
Картофель
Травы
Затраты труда, чел.-дн.
50
30
10
Затраты органических удобрений, т
20
15
10
Выход валовой продукции, усл. ед.
100
800
200
зуется определенным временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки. Так, в частности, в расчете на 10
приемников модели А требуется 3 ч для изготовления деталей, 4 ч – на сборку и
1 ч – на упаковку. Соответствующие показатели в расчете на 10 приемников
модели В равны 3,5; 5 и 1,5, а на 10 приемников модели С— 5; 8 и 3. В течение
недели фирма может израсходовать на производство деталей 150 ч, на сборку
200 ч и на упаковку 60 ч. Составить задачу и найти оптимальный производственный план.
5. Сельскохозяйственное предприятие имеет 850 га пашни, 15 000 т орга-
нических удобрений, 50 000 чел.-дн. труда. Характеристики затрат ресурсов и
выход валового продукта в денежном выражении на 1 га при выращивании трех
культур (капусты, картофеля и многолетних трав на сено) приведены в таблице.
Требуется:
а) составить модель задачи нахождения оптимального плана сочета-
ния посевов культур, максимизирующего валовую продукцию в денежном
отношении;
б) найти оптимальный план при условии, что площадь, занимаемая мно-
голетними травами, должна быть не менее 100 га.
Задача с целочисленными переменными
6. Завод может производить четыре вида изделий А, В, С и D в произволь-
ных комбинациях. По технологии каждое изделие обрабатывается четырьмя
машинами (время обработки в минутах в пересчете на кг готовой продукции
показано в таблице). Каждая машина может работать 60 ч в неделю. Изделия
36
могут продаваться по следующим ценам: А —90, В —70, С —60, D —50 за
Ресурсы
Нормы расхода ресурсов
на единицу изделия
Объем ресурсов
А В С
Сталь, кг
10
70
10
57 000
Цветные металлы, кг
20
50
10
49 000
Токарные станки, станко-ч
300
400
100
560 000
Фрезерные станки, станко-ч
200
100
100
340 000
Прибыль, тыс. руб.
3 8 2
один кг. Переменные затраты на оплату труда составляют 20 руб. в час для машин 1 и 2 и 30 руб. в час для машин 3 и 4. Материальные затраты составляют
40 руб. на каждый кг продукции А и 10 руб. на каждый кг продукции В, С и D.
Сформулируйте и решите задачу линейного программирования, максимизирующую прибыль при заданном максимальном спросе для каждого вида продукции.
7. Для изготовления трех видов изделий (А, В и С) фабрика расходует в ка-
честве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве.
На изготовлении указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки. В
таблице приведены объем ресурсов, которыми располагает предприятие, и
нормы расхода перечисленных ресурсов на единицу изделия.
Кроме того, в последней строке таблицы указана прибыль предприятия от
продажи единицы каждого изделия. Определить план выпуска продукции, при
котором будет получена максимальная прибыль.
8. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудова-
нием, необходимыми для производства любого из четырех видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы каждого вида товара,
прибыль, получаемая предприятием, а также объем ресурсов указаны в таблице. Определить оптимальный ассортимент при условии, что товаров 1 вида выпустят не более 10 ед., 2 вида не менее 8 ед., а 3 и 4 видов не менее 10 ед.
37
Ресурсы
Затраты ресурсов на
единицу товара
Объем ресур-
сов
1 2 3
4
Сырье, кг
3 5 1 4 600
Рабочая сила, чел.
21
10
12
30
4000
Оборудование, станкочас
10
14 8 16
16000
Прибыль на единицу товара, руб.
30
25
50
50
9. Небольшая мебельная фабрика изготавливает и реализует три типа столов: А,
Модель
Изготовление
частей, ч
Сборка, ч
Окраска, ч
Удельная при-
быль, руб.
А
3
4 5 25 В 1
2 5 20 С 4
5 4 50
Неокрашенные
столы С
4
5 0 30
Ресурс рабочего
времени
150
200
300
В и С. При изготовлении каждого стола необходимо затратить определенное
время на производство составных частей, сборку и покраску. Фабрика может
продать все собранные столы. Кроме того, модель С можно продавать без покраски. Мебель изготавливает несколько рабочих на условиях неполной занятости, поэтому время, затраченное на изготовление столов, может от недели к
неделе меняться. Используя данные таблицы, определить ассортимент выпускаемой продукции, максимизирующий прибыль на следующей неделе.
10. Для реконструкции машиностроительного предприятия было представ-
лено на выбор 10 проектов, каждый из которых характеризуется четырьмя агрегированными показателями и ежегодной ожидаемой прибылью, представленными в таблице.
Задачи с двоичными переменными
38
Агрегированный
показатель
проекта
Варианты проектов
Объемы
доступных
ресурсов
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
Затраты труда,
нормочас
50
80
30
40
80
70
50
20
40
50
300
Затраты энергии, тыс. кВт
4 4 2 5 5 2 3 6 6 3 24
Расходы на
материалы,
млн. руб.
3 2 4 5 3 2 4 2 2 3 20
Финансовые
средства,
млн. руб.
7 5 9 6 4 3 7 2 4 5 30
Ожидаемая
прибыль,
млн. руб.
9 8 8,5
8,8 9 8 9 8,7
8,9
8
Варианты
Производство кабельных изделий по годам
Затраты за 3
года
Кабель
Провод силовой
Провод обмоточный
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1
6,9
8,0
10,37
44
53
2,8
3,0
4,0 8 1557
2
7 7 8,6
25 - - 3 18
20
1399
3
7
7,8
8,7
30 - - 6 18
20
1034
4
19
23
28 - - - 13
15
18
2822
5
16
18
22 - - - 16
18
21
3044
6
- - - - 864
950 - - - 364
Потребность
15
17
25
20
300
450
10
15
10
-
При выборе проектов необходимо учесть ряд ограничений технологического характера:
• одновременно может быть реализовано не более семи проектов;
• пятый и восьмой проекты взаимно исключают друг друга;
• первый проект может быть реализован лишь при условии реализации
второго;
• четвертый проект может быть реализован лишь при условии реализа-
ции хотя бы одного из двух проектов: либо третьего, либо десятого.
Выбрать проекты для реконструкции предприятия, обеспечивающие максимальную ожидаемую прибыль. Каков размер этой прибыли?
11. Объединение кабельной промышленности состоит из трех заводов.
Номенклатура выпускаемых изделий включает три позиции: кабель силовой,
провод для осветительных установок, провод обмоточный.
39
При планировании развития объединения на три года разработаны 3 вари-
Мероприятие
Трудовые
ресурсы
(чел.-дни)
Финансовые
ресурсы (млн.
руб.)
Производ-
ственные
площади (м2)
Экономиче-
ский эффект
(млн.руб.)
Закупка станков с
ЧПУ
350
400
130
13 000
Текущий ремонт
250
90
3 000
Монтаж транспортного конвейера
100
60
300
8 000
Установка
рельсового крана
200
300
150
12 000
Ввод системы контроля качества
130 - 150
2 500
Разработка автоматизированной системы
управления
800
500
100
15 000
анта (1-3) для завода 1; 2 варианта (4-5) — для завода 2 и один (6) — для завода
3. (В таблице все данные в условных единицах.)
Требуется выбрать варианты для включения в план развития объединения,
обеспечивающие удовлетворение заданной потребности в кабельных изделиях
и реализуемые с минимальными затратами. Каковы эти затраты?
12. Руководство завода предполагает провести комплекс организационно-
технических мероприятий по модернизации производства. Перечень возможных мероприятий приведен в таблице. На реализацию всех мероприятий завод
может выделить:
• трудовых ресурсов — 1 300 чел.-дней,
• финансовых ресурсов — 800 млн. руб.,
• производственных площадей — 700 м2.
Какие мероприятия следует провести, располагая этими ресурсами, чтобы
общий экономический эффект был максимальным? Какова величина этого эффекта? Какой объем выделяемых ресурсов останется неиспользованным при
реализации найденного варианта?
40
Изменится ли решение задачи, если завод выделит на модернизацию 1
Наименование изделия
А1
А2
A3
А4
А5
Объем заказа (шт)
350
250
400
150
150
Варианты
завода 1
Варианты
завода 2
Варианты
завода 3
Варианты
завода 4
Наименование
изделия
1 2 3 1 2 1 2 3 1
2
А1
100
200
200
50
80 - -
100
100
50
А2
200
100
150 - -
200
250
100
40
60
A3
300
250
200
120
100
100
50
500
60
100
А4
100
50
100
100
50 - - - 50
-
А5
50
100
80
-
-
100
100
80
150
100
Объем финансирования (млрд.
руб.)
12
16
14 7 9
16
15
17 5 8
млрд. руб.? Изменится ли решение задачи, если завод полностью удовлетворит
потребности модернизации в производственных площадях и трудовых ресурсах
при прежнем финансировании?
13. В регионе работают 4 химических завода. Им предложено принять уча-
стие в конкурсе по размещению госзаказа на производство изделий пяти
наименований в объемах, приведенных в таблице.
Каждый из заводов представил несколько вариантов годовой производственной программы по выполнению госзаказа и соответствующие финансовые
условия.
Задачи оптимального раскроя
14. Для нарезки заготовок длиной 20, 25 и 30 см используются прутки дли-
ной 75 см. Требуется за смену нарезать следующее количество заготовок: длиной 20 см — 300 шт., длиной 25 см — 270 шт., длиной 30 см — 350 шт. Из одного прутка можно нарезать заготовки различной длины. Количество заготовок,
которые можно нарезать из одного прутка по различным вариантам разрезки,
приведено в таблице. При каждом варианте разрезки будут оставаться концевые остатки, величины которых также приведены в таблице.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]