Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач управления в экономике с помощью Еxcel. Учебное пособие
.pdf
21
2.3. Задача с целочисленными переменными
4321
,,, xxxx
21x
14
3
x
1800f
16
1
g
67
2
g, 150
3
g
Задачи с переменными – целыми числами, называемые задачами целочисленного программирования, решаются так же, как и задачи линейного программирования.
Для получения целочисленных значений переменных
их мож-
но округлить или дополнить требованием целочисленности условия, которые
были введены для задачи линейного программирования. Округлите переменные
и
и левые части ограничений
, и на листе автоматически пересчитаются целевая функция
,
(рис. 2.12).
Рис. 2.12
Теперь для округления переменных воспользуйтесь требованием целочисленности. В окне “Поиск решения” нажмите кнопку Добавить, в поле Ссылка
на ячейку введите адрес ячейки $B$3, откройте кнопкой список, выберите оп-
цию Целое и нажмите кнопку Добавить. Повторите ввод требования целочисленности для остальных переменных, расположенных в ячейках C3, D3, E3.
После ввода требования целочисленности последней переменной в ячейке
Е3 вместо кнопки Добавить нажмите кнопку ОК. В окне «Поиск решения» с
введёнными данными нажмите кнопку Выполнить и получите оптимальное целочисленное решение (рис. 2.13).
22
Решение
х1 х
2
х
3
х
4
f
Нецелочисленное
1.67
0
14.33
0
1820
Округлённое
2 0 14 0 1800
Целочисленное
1 1 14 0 1810
j
x
1
j
x
0
j
x
1
ijk
x
0
ijk
x
Рис. 2.13
Сравнительные данные для нецелочисленного, округленного и целочисленного решений приведены в табл. 2.2, из которой видно, что округление даёт
меньшее значение целевой функции, чем при целочисленном решении.
Таблица 2.2
2.4. Задача с двоичными переменными
Частным случаем задачи определения целочисленных переменных являются задачи, в которых искомые переменные
могут принимать два значения:
0 или 1. Такие переменные называются двоичными. Распространенными задачами с булевыми переменными являются задачи выбора вариантов из числа заданных, например:
1) в модели размещения производственных объектов
ется решение разместить завод в пункте j, и
, если решено завод в
, если принима-
данном пункте не размещать;
2) в модели маршрутизации
пункт j, и
в противном случае.
, если дорога k ведет из пункта i в
23
Рассмотрим задачу о ежегодном выделении средств или капиталовложени-
Вариант
Прибыль,
тыс. руб.
Вложения по годам, тыс. руб.
1 2 3 4 5
1. Модернизация
конвертеров
4 000
1 000
500
2 000
1 000
0
2.Увеличение числа
колпаковых печей
7 000
3 000
2 000
1 000
1 000
1 000
3. Создание цеха
металлочерепицы
8 000
1 000
2 000
2 700
2 000
1 000
4. Реконструкция
прокатных станов
10 000
2 000
1 000
4 000
2 000
2 000
Имеющиеся средства
5 000
4 500
7 000
4 000
3 000
1
i
x
0
i
x
max10000800070004000
4321
xxxxf
50002000100030001000
4321
xxxx
45001000200020005000
4321
xxxx
ях с целью максимизации прибыли.
В качестве конкретного примера приведем данные, которые поступили совету директоров компании “Центрсталь” (табл. 2.3). Совету директоров предстоит выбрать несколько вариантов из предложенных.
Таблица 2.3
Если принимается решение о модернизации конвертеров, прибыль составит 4 000 000 руб. Этот проект требует выделения средств 1 000 000 руб. в первый год, 500 000 руб. во второй год и т.д. Всего совет директоров принял решение о выделении 5 000 000 руб. в году 1, 4 500 000 руб. в году 2 и т.д.
Данную задачу можно описать моделью целочисленного линейного программирования (ЦЛП) с двоичными переменными. Такая модель называется
двоичной моделью ДЦЛП. Пусть переменная
и
в противном случае. Тогда модель ДЦЛП примет следующий вид:
, если проект i принимается,
(2.19)
при ограничениях
, (2.20)
, (2.21)
24
70004000270010002000
4321
xxxx
40002000200010001000
4321
xxxx
3000200010001000
432
xxx
0
j
x
4321= ,,,i
, (2.22)
или 1,
. (2.25)
, (2.23)
, (2.24)
Технология решения задачи на Excel
Заполните рабочий лист ДЦЛП на рис. 2.14 в соответствии с поставленной
задачей (2.19) – (2.25).
Рис. 2.14
В ячейке F5 запишите выражение целевой функции, в ячейках B4:E4 –
значения прибыли, в ячейках B7:E11 – вложения по годам, в ячейках F7:F11 –
выражения левых частей ограничений, а в ячейках G7:G11 – значения правых
частей ограничений.
По аналогии с задачей оптимального распределения ресурсов командой
Сервис, Поиск решения откройте окно “Поиск решения” и введите следующие параметры:
Установить целевую ячейку: $F$5
равной: максимальному значению
25
Изменяя ячейки: $B$4:$E$4
04x
Ограничений: $B$4:$E$4=двоичное
$F$7:$F$11<= $G$7:$G$11
Нажмите кнопку Выполнить и получите решение задачи ДЦЛП (рис. 2.15).
Рис. 2.15
Из таблицы на рис. 2.15 видно, что проект 4 (Реконструкция прокатных
станов) следует отвергнуть, т.к.
.
2.5. Задачи оптимального раскроя
Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала
следует раскраивать и при каком способе концевые остатки минимальны.
Решение задачи оптимального раскроя проводится в два этапа. На первом
этапе определяются рациональные способы раскроя материала. На втором —
решается задача линейного программирования для определения интенсивности
использования рациональных способов раскроя.
В задачах рациональных способов раскроя материала рассматриваются так
называемые рациональные (парето-оптимальные) способы раскроя. Предполо-
26
жим, что из единицы материала можно изготовить заготовки нескольких видов.
n,1
mj ,1
n,1
n,1
q,1
mj ,1
min
1
mj
j
xf
Способ раскроя единицы материала называется рациональным (паретооптимальным), если увеличение числа заготовок одного вида возможно только
зa счет сокращения числа заготовок другого вида.
Пусть i – индекс вида заготовки, i
цы материала,
, aij – количество (целое число) заготовок вида i, получен-
, j – индекс способа раскроя едини-
ных при раскрое единицы материала способом j.
Приведенное выше определение рационального способа раскроя может
быть формализовано следующим образом.
Способ раскроя ν называется рациональным (парето-оптимальным), если
для любого другого способа раскроя j из соотношений aij > aiν, i
соотношения aij = aiv, i
.
Введем следующие обозначения:
k – индекс вида заготовки, k
j – индекс способа раскроя единицы материала,
;
:
следуют
aij – количество заготовок вида i (целое число), полученных при раскрое
единицы материала i способом j;
bi – число заготовок вида k в комплекте, поставляемом заказчику;
d – количество материала;
х
– количество единиц материала, раскраиваемых по способу j (интенсив-
j
ность использования способа раскроя);
cj – величина отхода, полученного при раскрое единицы материала по способу j;
у – число комплектов заготовок различного типа, поставляемых заказчику.
Модель А раскроя с минимальным расходом материалов
; (2.26)
27
mj
jij
xa
1
n,1
mj ,1
min
1
j
m
j
j
xcf
m
j
ijij
bxa
1
n,1
mj ,1
maxy
m
j
j
dx
1
ybxa
m
j
ijij
1
n,1
mj ,1
, i
; (2.27)
xj ≥ 0,
; (2.28)
где (2.26) – целевая функция – число используемых материалов; (2.27) – ограничения, определяющие количество заготовок, необходимое для выполнения
заказа.
Специфическими для данной области приложения модели линейного
программирования являются ограничения вида (2.27).
Модель В раскроя с минимальными отходами
, i
; (2.29)
; (2.30)
xj ≥ 0,
; (2.31)
где (2.29) – целевая функция – количество отходов при раскрое материала;
(2.30) –огра- ничения, определяющие количество заготовок, необходимое для
выполнения заказа.
Модель С раскроя с учетом комплектации
f =
xj ≥ 0, y ≥ 0,
; (2.32)
; (2.33)
, i
; (2.34)
; (2.35)
где (2.32) – целевая функция – количество получаемых комплектов (с учетом
заготовок различных видов); (2.33) – ограничения по количеству материала;
28
(2.34) –ограничения, определяющие число заготовок, необходимое для форми-
Длина
заготовки
(см)
Способы раскроя
1 2 3 4 5
120
1 1 0 0 0
100
1 0 2 1 0
70
0 1 0 1 3
Отходы
0
30
20
50
10
рования комплектов.
Общими для всех задач являются условия неотрицательности переменных
(2.28), (2.31), (2.35).
Рассмотрим пример задачи раскроя материалов. При изготовлении парников используется материал в виде металлических стержней длиной 200 см. Этот
материал разрезается на стержни длиной 120 см, 100 см и 70 см. Для выполнения заказа требуется изготовить 80 стержней длиной 120 см. I20 стержней длиной 100 см и 102 стержня длиной 70 см (табл.2.4).
Таблица 2.4
Эта задача относится к задачам раскроя с минимальным расходом материалов (модель А). Тогда хj — число единиц материала, раскраиваемых по способу k. Получаем модель линейного программирования, которая заключается в
минимизации общего количества используемого материала
f = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 → min; (2.36)
1 x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 ≥ 80; (2.37)
1 x1 + 0x2 + 2x3 + 1x4 + 0x5 ≥ 120; (2.38)
0 x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 3 x5 ≥ 102; (2.39)
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0. (2.40)
Технология решения задачи на Excel
Заполните рабочий лист на рис. 2.16 в соответствии с поставленной задачей (2.36) – (2.40).
29
Рис. 2.16
В ячейке G15 запишите выражение целевой функции (2.36), в ячейках
B5:F8 – способы раскроя из табл. 2.4, в ячейках B12:F14 – члены левых частей
ограничений (2.37)-(2.39), в ячейках G12:G14 – выражения левых частей ограничений (2.37)-(2.39).
Командой Сервис, Поиск решения откройте окно “Поиск решения”
(рис. 2.17)
Рис. 2.17
и введите следующие параметры:
Установить целевую ячейку: $G$15
равной: минимальному значению
30
Изменяя ячейки: $B$15:$F$15
Ограничений: $B$15:$F$15>=0
$G$12:$G$14>=$H$12:$H$14
Повторите действия п.2.1.5 из раздела 2, нажмите кнопку Выполнить и по-
лучите решение задачи (рис. 2.18).
Рис. 2.18
Таким образом, для выполнения плана требуется изготовить: 80 заготовок
длиной 120 см и 80 заготовок длиной 100 см первым способом, 40 заготовок
длиной 100 см третьим способом, 102 заготовки длиной 70 см пятым способом.
2.6. Задачи оптимального смешения
Важный класс прикладных оптимизационных задач образуют задачи о
смесях. Такие задачи возникают при выборе наилучшего способа смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь
должна иметь определенные свойства, которые определяются свойствами исходных ингредиентов. Как правило, известны стоимостные характеристики
компонентов и искомую смесь требуется получить с наименьшими затратами.
Задачи оптимального смешения встречаются во многих отраслях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая промышленность, фармакология,
сельское хозяйство и др.). Например, необходимо составить кормовой рацион
скота на животноводческих фермах или разработать рецептуру шихты на металлургическом производстве. Рассмотрим модель оптимального смешения.
Пусть даны стоимость cj единицы исходного компонента j = 1, 2, …, m и его
доля xj в смеси. Тогда задачей оптимального смешения будет минимизация
суммарных затрат (максимизация прибыли)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]