Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение задач управления в экономике с помощью Еxcel. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Важное свойство двойственной задачи заключается в том, что

∑

1=mi

Ресурс

Знак

Наличие

Прибыль

120

130

max

Труд 1 1 1 1

Сырьё 6 5 4 3

110

Финансы

4 6 10

100

4,1j

3,1=i

max f = min fд. (2.7)

Если последнюю формулу записать для наглядности в форме

max f =

то видно, что двойственная переменная zi является коэффициентом при bi и, следовательно, показывает, как изменится целевая функция при изменении ресурса bi на единицу. В литературе по оптимизации двойственные переменные принято называть двойственными оценками. В отчетах Excel двойственная оценка называется теневой ценой.

2.1. Оптимальное распределение ресурсов

Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию первого x1, второго x2, третьего x3 и четвертого x4 типов, для изготовления которой требуются следующие ресурсы: труд, сырье и финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимого для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Вводятся обозначения, необходимые для составления математической модели:

xj – количество выпускаемой продукции j-го типа,

bi – количество располагаемого ресурса i-го вида,

;

aij – норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа; cj – прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.

По аналогии с моделью линейной задачи оптимизации (2.1)-(2.3) записы-

4,1,0  jx

.3,1,0  iz

вается математическая модель задачи оптимального распределения ресурсов

f = 60x1 + 70x2 + 120x3 + 130x4  max, (2.8) 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4  16, (2.9) 6x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4  110, (2.10) 4x1 + 6x2 + 10x3 + 13x4  100, (2.11)

(2.12)

и двойственная ей

fд = 16z1 + 110z2 + 100z3  min, (2.13)

1z1 + 6z2 + 4z3  60, (2.14) 1z1 + 5z2 + 6z3  70, (2.15) 1z1 + 4z2 + 10z3  120, (2.16) 1z1 + 3z2 + 13z3  130, (2.17)

(2.18)

Здесь zi – теневые (двойственные) переменные.

Технология решения задачи на Excel

Решение задачи оптимального распределения ресурсов (2.8) - (2.12) на Excel состоит из трёх этапов: ввода данных, решения задачи и анализа результа- тов.

Ввод данных

Необходимые данные из табл. 2.1 и функции из (2.8) - (2.12) введите на рабочий лист Excel согласно форме, представленной на рис. 2.1.

2.1.1. В ячейке F6 запишите выражение целевой функции, а в ячейках

F9:F11 – левые части ограничений, которые реализованы на основе стандарт- ной функции =СУММПРОИЗВ().

Рис. 2.1

В ячейки В6:Е6 введите коэффициенты целевой функции (2.7), в ячейки

В9:Е11 – коэффициенты ограничений (2.9) – (2.11), а в ячейки Н9:Н11 – значения располагаемых ресурсов (правые части ограничений (2.9) – (2.11)).

2.1.2. Командой Сервис, Поиск решения откройте диалоговое окно По-

иск решения (рис. 2.2) и заполните его данными. В поле Установить целевую ячейку щелчком левой клавиши мыши установите курсор и, выделяя ячейку F6 на рабочем листе, введите в поле адрес целевой функции $F$6.

Рис. 2.2

Аналогичным образом установите курсор в поле Изменяя ячейки и, выделяя на листе ячейки В3:Е3, введите их адреса $B$3:$E$3 в это поле. Переведите переключатель Равной в положение максимальному значению.

Чтобы ввести ограничения $B$3>=$B$4, $C$3>=$C$4, $D$3>=$D$4, $E$3>=$E$4, реализующие граничные условия (2.12), в окне Поиск решения нажмите кнопку Добавить, и на экране появится диалоговое окно Добавление ограничения (рис. 2.3)

2.1.3. Начните с первого ограничения $B$3>=$B$4. Установите курсор в поле Ссылка на ячейку и, выделяя на листе (рис. 2.1) ячейку В3, введите ее адрес $B$3 в это поле.

Рис. 2.3

Кнопкой-стрелкой откройте список и выберите в нем знак >=. В поле

Ограничение установите курсор и, выделяя на листе ячейку В4, введите ее адрес $B$4 в это поле и нажмите кнопку Добавить.

2.1.4. Повторяя действия п.2.1.3, введите остальные ограничения $C$3>=$C$4, $D$3>=$D$4, $E$3>=$E$4, реализующие граничные условия.

Аналогичным образом введите ограничения $F$9<=$H$9, $F$10<=$H$10, накладываемые на ресурсы (2.9), (2.10). После ввода последнего (2.11) ограничения $F$11<=$H$11 вместо кнопки Добавить нажмите кнопку ОК.

Таким образом в окно Поиск решения (рис. 2.2) будут введены ограни-

чения.

Решение задачи

2.1.5. Для задания необходимых параметров оптимизации нажатием кнопки

Параметры откройте окно Параметры поиска решения (рис. 2.4).

Рис. 2.4

В этом окне оставьте неизменными установленные по умолчанию Макси-

мальное время: 100 сек, выделяемое на поиск решения (возможно до 9 часов), Предельное число итераций: 100, Относительная погрешность: 0,000001, Допустимое отклонение: 5%, переключатели в положении линейная, прямые, Ньютона.

Установите флажок Линейная модель, чтобы обеспечить применение сим-

плекс-метода, и нажмите кнопку ОК.

2.1.6. В окне Поиск решения нажмите кнопку Выполнить. На экране по-

явится диалоговое окно Результаты поиска решения (рис. 2.5) с информацией «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимизации выполнены», подтверждающей успешное решение задачи оптимального распределения ресурсов, и количественные результаты (значения переменных, ограничений и целевой функции), приведенные на рис. 2.6.

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Из рис. 2.6 видно, что оптимальным решением являются значения пере-

менных

x1 = B3 = 10, x2 = C3 = 0, x3 =D3 = 6, x4 =E3 = 0.

При этом максимальная прибыль составляет

Microsoft Excel 9.0 Отчет по результатам

Рабочий лист: [Решение задач.xls]ЛП1

Отчет создан: 17.09.2008 17:44:04

Целевая ячейка (Максимум)

Ячейка

Имя

Исходно

Результат

$F$6

Коэфф. ЦФ Переменные

1320

Изменяемые ячейки

Ячейка

Имя

Исходно

Результат

$B$3

Значение Х1 0 10

$C$3

Значение Х2 0 0

$D$3

Значение Х3 0 6

$E$3

Значение Х4 0 0

Ограничения

Ячейка

Имя

Значение

Формула

Статус

Разница

$F$9

труд (g1), левая часть

$F$9<=$H$9

связанное

$F$10

сырьё (g2), левая часть

$F$10<=$H$10

не связан.

$F$11

финансы (g3), левая часть

100

$F$11<=$H$11

связанное

$B$3

Значение Х1

$B$3>=$B$4

не связан.

$C$3

Значение Х2

$C$3>=$C$4

связанное

$D$3

Значение Х3

$D$3>=$D$4

не связан.

$E$3

Значение Х4

$E$3>=$E$4

связанное

f = F6 = 1320,

а количество использованных ресурсов: труда = F9 = 16, сырья = F10 = 84, финансов = F11 = 100.

Анализ оптимального решения

Анализ оптимального решения начинается после успешного решения зада-

чи, когда на экране появляется диалоговое окно Результаты поиска решения (рис. 2.5). С его помощью можно подготовить три типа отчетов: по результатам (опция Результаты), по устойчивости (опция Устойчивость), по пределам (опция Пределы).

2.1.7. Подготовьте отчет по результатам. Для этого в списке Тип отчета выделите опцию Результаты и нажмите кнопку ОК. Курсором щелкните на ярлычке Отчет по результатам 1 и откройте отчет по результатам (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Отчет состоит из трех таблиц.

Microsoft Excel 9.0 Отчет по устойчивости

Рабочий лист: [Решение задач.xls]ЛП1

Отчет создан: 17.09.2008 18:16:05

Изменяемые ячейки

Результ.

значение

Нормир.

стоимость

Целевой

коэффициент

Допустимое

увеличение

Допустимое

уменьшение

Ячейка

Имя

$B$3

Значение Х1

10 0 60

$C$3

Значение Х2

-10

1E+30

$D$3

Значение Х3

6 0 120

13,333

$E$3

Значение Х4

-20

130

1E+30

Ограничения

Результ.

значение

Теневая

цена

Ограничение,

правая часть

Допустимое

увеличение

Допустимое

уменьшение

Ячейка

Имя

$F$9

труд (g1), левая часть

3,54

$F$10

сырьё (g2), левая часть

84 0 110

1E+30

$F$11

финансы (g3), левая

часть

100

В первой таблице (Целевая ячейка) приводятся сведения о целевой функ-

ции: исходное значение (в графе «Исходно») и оптимальный результат (в графе «Результат»).

Во второй таблице (Изменяемые ячейки) приводятся исходные (в графе

«Исходно») и полученные в результате решения задачи (в графе «Результат») значения переменных x1, x2, x3, x4.

Третья таблица (Ограничения) отображает результаты оптимального ре-

шения, касающиеся ограничений и граничных условий.

2.1.8. Для получения отчета по устойчивости приведите данные на рис. 2.6 к исходным (рис. 2.1), т.е. удалите значения xj в ячейках В3:Е3. Коман-

дой Сервис, Поиск решения откройте окно Поиск решения и нажмите кнопку Выполнить, в результате повторится решение задачи и откроется окно Результаты поиска решения (рис. 2.5). В списке Тип отчета выделите опцию

Устойчивость и нажмите кнопку ОК. Щелчком на ярлычке Отчет по устой- чивости откройте содержимое отчета на рабочем листе (рис. 2.8).

Отчет по устойчивости содержит две таблицы.

Рис. 2.8

В первой таблице (Изменяемые ячейки) приводятся следующие значения

4,1j

переменных:

 результаты решения задачи (графа «Результ. значение»);  нормированная стоимость, т.е. дополнительные двойственные пере-

менные vj,

, которые показывают, насколько изменяется целевая

функция при принудительном включении единицы этой продукции в оптимальное решение;

 коэффициенты целевой функции (графа «Целевой коэффициент»);  предельные значения приращения коэффициентов cj целевой функции

(последние две графы), при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Во второй таблице приводятся значения ограничений:  значения используемых (графа «Результ. значение») и заданных (графа

«Ограничение, правая часть») ресурсов;

 теневая цена, т. е. двойственные оценки zi, которые показывают, как

изменится целевая функция при изменении ресурсов на единицу;

 значения приращения ресурсов Δbi (последние две графы), при которых

сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Руководствуясь действиями п. 2.1.8, получите отчёт по пределам, приве-

дённый на рис. 2.9.

Отчёт показывает, в каких пределах может меняться выпуск продукции,

вошедшей в оптимальное решение, при сохранении его структуры:

 приводятся значения хi в оптимальном решении (графа «Значение»);  даются нижние и верхние пределы изменения хi и соответствующие

значения целевой функции (в графах «Целевой результат»). Так, значение f = 720 получено при нижнем пределе х1 = 0 и оптимальном х3 = 6, т.е.

f = c1 х1 + c3 х3 = 60 × 0 +120 × 6 = 720.

Microsoft Excel 9.0 Отчет по пределам

Рабочий лист: [Решение задач.xls]ЛП1

Отчет создан: 17.09.2008 19:47:25

Ячейка

Целевое

имя

Значение

$F$6

Коэфф. ЦФ Пере-

менные

1320

Ячейка

Изменяемое

имя

Значение

Нижний

предел

Целевой

результат

Верхний

предел

Целевой

результат

$B$3

Значение Х1

10 0 720

1320

$C$3

Значение Х2

0 0 1320

1320

$D$3

Значение Х3

6 0 600

1320

$E$3

Значение Х4

0 0 1320

1320

Рис. 2.9

,xx

Самостоятельно решите двойственную задачу (2.13) – (2.18) и проверьте

выполнение равенства (2.7).

2.2. Выполнение плановых показателей

В задачах выполнения плановых показателей пользователь задает значение

тех величин, которые требуются в оптимальном решении. Такие задачи чаще всего бывают двух видов:

 назначение величин искомых переменных;  назначение величин используемых ресурсов.

Назначение величин искомых переменных

Такое назначение означает, что выпуск некоторых видов продукции,

например

должен быть плановым или заданным.

Перейдите к таблице на рис. 2.4 и в ячейки B4 и C4 введите соответству-

ющие значения 4 и 2, как нижние границы.

Выполните команду Сервис, Поиск решения. Вместо неравенств $B$3>=$B$4, $C$3>=$C$4 введите равенства $B$3=$B$4, $C$3=$C$4 и запустите симплекс-метод на выполнение. Результаты решения представлены в таблице на рис. 2.10.

Рис. 2.10

150

b

67.11x

33.14

x

Назначение величин используемых ресурсов

В исходной таблице на рис. 2.1 увеличьте величину финансов до повторите решение, результаты которого приведены на рис. 2.11.

Рис. 2.11

Следует отметить, что некоторые переменные приобретают нецелочислен-

ные значения

, которые в значительном числе случаев яв-

ляются неприемлемыми, что приводит к необходимости решать задачи целочисленного программирования.

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]