Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач управления в экономике с помощью Еxcel. Учебное пособие
.pdf
61
Результатом решения задачи (3.36)—(3.39) является матрица х*= {
*
ij
x
mjn
i
ijij
xc
1 1
min
m
j
ij
nix
1
,1,1
n
i
ij
mjx
1
,1,1
,0
ij
x
mjni ,1,,1
Бригада
Объект
1 2 3
4
№1
30
40
50
60
№2
36
41
52
58
№3
28
44
49
57
№4
35
39
49
63
},
компоненты которой являются целыми числами.
Оптимальный план задачи о назначениях (3.36)—(3.39) можно представить
в визе квадратной матрицы назначений, в каждой строке и в каждом столбце
которой находится одна единица.
Когда в задаче о назначениях число рабочих не равно числу работ, то возникает несбалансированная задача о назначениях.
Пусть число рабочих равно n, а число работ т, причем п > т. Тогда модель
задачи о назначениях примет вид
, (3.40)
, (3.41)
, (3.42)
. (3.43)
Здесь неравенство (3.42) означает, что некоторый рабочий i не получит работы, поскольку i – ая сумма может стать равной нулю, т. к. переменные xij являются двоичными.
Рассмотрим пример задачи о назначениях. Строительной фирме
«Спецстрой» необходимо выполнить бетонные работы на 4 строящихся объектах. В фирме имеется 4 бригады бетонщиков, которые могут выполнить эту работу. Сроки (в рабочих днях) выполнения работ каждой бригадой приведены в
табл. 3.1.
Таблица 3.1
62
Требуется распределить бригады по объектам таким образом, чтобы суммарный срок выполнения всех работ был минимальным.
Поскольку количество бригад и объектов одинаково, то имеем сбалансированную задачу о назначениях.
Составим математическую модель сбалансированной задачи. Определим
16 двоичных переменных хij (i и j изменяются от 1 до 4), которые будут равны
1, если бригада i назначается на объект j, и 0, если бригада i не назначается на
объект j. Если принять за стоимости назначений сij сроки выполнения работ
каждой бригадой, которые приведены в табл. 3.1, то целевую функцию можно
записать так:
f = 30х11 + 40x12 + 50x13 + 60х14 + 36х21 + 41х22 + 52х23 + 58х24 + 28х31 +
+ 44x32 + 49х33 + 57х34 + 35x41 + 39х42 + 49х
+ 63х44. (3.44)
43
Теперь запишем ограничения. Поскольку задача сбалансированная, то имеем
8 ограничений – равенств, представляющих суммы по столбцам (3.37)
x11 + x12 + x13 + x14 = 1, (3.45)
x21 + x22 + x23 + x24 = 1, (3.46)
x31 + x32 + x33 + x44 = 1, (3.47)
x41 + x42 + x43 + x44 = 1 (3.48)
и по строкам (3.38) матрицы назначений
x11 + x21 + x31 + x41 = 1, (3.49)
x12 + x22 + x32 + x42 = 1, (3.50)
x13 + x23 + x33 + x43 = 1, (3.51)
x14 + x24 + x34 + x44 = 1. (3.52)
Теперь рассмотрим пример несбалансированной задачи о назначениях.
Пусть подключилась пятая бригада, которая выполнит работу на первом объекте за 29 рабочих дней, на втором – за 40 дней, на третьем – за 48 дней и на четвертом – за 59 рабочих дней. Количество бригад стало больше количества объектов, поэтому имеем несбалансированную задачу о назначениях. Добавлением
пятой строки в табл.3.1 получается табл. 3.2 сроков выполнения работ.
63
Таблица 3.2
Бригада
Объект
1 2 3
4
№1
30
40
50
60
№2
36
41
52
58
№3
28
44
49
57
№4
35
39
49
63
№5
29
40
48
59
Определяем уже 20 двоичных переменных x
(i изменяется от 1 до 5, j из-
ij
меняется от 1 до 4), которые будут равны 1, если бригада i назначается на объект j и 0, если бригада i не назначается на объект j. Целевую функцию можно
записать так:
f = 30х11 + 40x12 + 50x13 + 60х14 + 36х21 + 41х22 + 52х23 + 58х24 + 28х31 + 44x32 +
+ 49х33 + 57х34 + 35x41 + 39х42 + 49х
+ 63х44 + 29x51 + 40x52 + 48x53 + 59x54. (3.53)
43
Задача несбалансированная, поэтому имеем 5 ограничений – неравенств
(суммы переменных по столбцам)
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 1, (3.54)
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 1, (3.55)
x31 + x32 + x33 + x44 ≤ 1, (3.56)
x41 + x42 + x43 + x44 ≤ 1, (3.57)
x51 + x52 + x53 + x54 ≤ 1 (3.58)
и 4 ограничения - равенства (суммы переменных по строкам)
x11 + x21 + x31 + x41 + x51= 1, (3.59)
x12 + x22 + x32 + x42 + x52 = 1, (3.60)
x13 + x23 + x33 + x43 + x53 = 1, (3.61)
x14 + x24 + x34 + x44 + x54 = 1, (3.62)
которые завершают постановку задачи.
Технология решения задачи на Excel
На рис. 3.9 показано табличное представление модели сбалансированной
задачи о назначениях в Excel на рабочем листе «ЗН1».
64
Рис. 3.9
В ячейки B5:E8 (рис. 3.9) введите матрицу c
сроков выполнения работ из
ij
табл. 3.1, в ячейки B12:Е15 – левые части ограничений (3.45)-(3.48), в ячейки
B12:Е15 – правые части ограничений (3.45)-(3.48), равные 1, в ячейки
B16:Е16 – левые части ограничений (3.49)-(3.52), а в ячейки B16:Е16 – правые
части ограничений (3.49)-(3.52), равные 1. Искомые переменные находятся в
ячейках B12:Е15, а выражение целевой функции – в ячейке F1.
Командой Сервис, Поиск решения откройте окно "Поиск решения" и заполните его следующими данными:
Установить целевую ячейку: $F$16
Равной: минимальному значению
Изменяя ячейки: $B$12:$E$15
Ограничения: $B$12:$Е$15=двоичное
$B$16:$Е$16=$B$17:$Е$17
$F$12:$F$15=$G$12:$G$15
На рис. 3.10 показано окно «Поиск решения», заполненное исходными
данными.
65
Рис. 3.10
Повторите действия п.2.1.5 из раздела 2, нажмите кнопку Выполнить в
окне "Поиск решения", после чего получите решение задачи, представленное на
рис. 3.11.
Рис. 3.11
Найденное решение показывает, что первую бригаду надо отправить на
объект 3, вторую бригаду на объект 4, третью бригаду на объект 1 и четвертую
на объект 2. Общая продолжительность всех работ составит 175 рабочих дней.
Самостоятельно решите несбалансированную задачу о назначениях (3.53)(3.62), используя данные табл. 3.2.
3.5. Задача управления запасами
Модели управления запасами применяются для оптимального распределения запасов материалов, финансов, трудовых ресурсов и пр. при переходе от
одного временного периода к следующему. Рассматриваемый пример – это
классическая детерминированная «однопродуктовая» модель управления запа-
66
сами. Она называется детерминированной, поскольку предполагается, что в
Месяц
поставки
Январь
Февраль
Март
Апрель
Спрос, шт
100
200
180
300
Месяц
производства
Январь
Февраль
Март
Апрель
Выпуск, шт
50
180
280
270
ij
x
начале временного периода 1 известен спрос (количество заказов, которые
необходимо удовлетворить) для всех последующих временных периодов.
Сформулируем задачу производства с запасами. Завод переходит на производство новых изделий в течение четырех месяцев. Оценки спроса на изделия
в каждом месяце приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
В каждый месяц спрос можно удовлетворить за счет:
• избытка изделий, произведенных в предшествующие месяцы;
• изделий, произведенных в текущем месяце;
• изделий, произведенных в последующие месяцы для погашения невы-
полненных ранее заказов.
Объем производства меняется в каждом месяце, что связано с внутризаводскими условиями (см. табл. 3.4).
Таблица 3.4
Затраты на изготовление одного изделия составляют 4 руб. Произведенное,
но не поставленное в текущем месяце потребителю изделие, влечет за собой
дополнительные издержки за хранение в размере 0.5 руб. за каждый месяц хранения. Изделие, выпускаемое в счет невыполненных заказов, облагается штрафом в размере 2 руб. за каждый месяц недопоставки.
рю, 2 – февралю, 3 – марту и 4 – апрелю), а j=1, 2, 3, 4 – месяц поставки. В ка-
честве содержимого изменяемых ячеек будем использовать
Задачи такого типа также относятся к классу «транспортных задач».
Пусть i определяет месяц производства изделия (i=1 соответствует янва-
-количество из-
67
делий, произведенных в i-ый и поставленных в j-ый месяц. Определите мат-
.),(24
,),(5.04
,,4
jiеслиji
ijеслиji
jiесли
Месяц
производства
Месяц потребления
Программа
выпуска
изделий
Январь
Февраль
Март
Апрель
Январь
4
4,5 5 5,5
50
Февраль
6 4 4,5 5 180
Март
8 6 4
4,5
280
Апрель
10 8 6 4 270
Месяц
производства
Месяц потребления
Программа
выпуска
изделий
Январь
Февраль
Март
Апрель
Январь
х
11
х
12
х
13
х
14
50
Февраль
х
21
х
22
х
23
х
24
180
Март
х
31
х
32
х
33
х
34
280
Апрель
х
41
х
42
х
43
х
44
270
Спрос
100
200
180
300
11
x
12
x
13
x
14
x
21
x
22
x
23
x
24
x
31
x
32
x
33
x
41
x
42
x
43
x
44
x
11
x
21
x
31
x
41
x
рицу стоимости производства и хранения изделий по формуле:
cij =
Результаты расчета для i,j=1, 2, 3, 4 можно представить в табл. 3.5
Таблица 3.5
В таком же виде определите программу производства изделий в табл. 3.6.
Таблица 3.6
транспортной задачи
и спросу
Запишите ограничения по предложению (объемам производства) как и для
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= 50, (3.63)
= 180, (3.64)
+ х34 = 280, (3.65)
+
+
= 270 (3.66)
= 100, (3.67)
68
12
x
22
x
32
x
42
x
13
x
23
x
33
x
43
x
14
x
24
x
44
x
414
1i j
ijij
xcf
ij
с
+
+
+
= 200, (3.68)
+
+
+
+ х
34
+
+
= 180, (3.69)
= 300, (3.70)
и целевую функцию
, (3.71)
которую следует минимизировать.
Технология решения задачи на Excel
Начните заполнение рабочего листа согласно рис. 3.12. В ячейках F11:F14
запишите функции суммирования по по ячейкам строк, образующие левые части ограничений по предложению (3.63)-(3.66), в ячейки B16:E16 функции
суммирования по ячейкам столбцов, образующие левые части ограничений по
спросу (3.67)-(3.70), а в ячейку F15 – выражение целевой функции (3.71).
Продолжая заполнение рабочего листа (рис. 3.13), в ячейки B4:E7 введите
рассчитанные коэффициенты
Командой Сервис, Поиск решения откройте окно «Поиск решения» и
введите следующие данные:
Установить целевую ячейку: $F$15
Равной: минимальному значению
Изменяя ячейки: $B$11: $E$14
Рис. 3.12
из табл. 3.5.
69
Ограничения: $B$11:$E$14>=0
$B$15:$E$15=$B$16:$E$16
$F$11:$F$14=$G$11:$G$14
Повторите действия п.2.1.5 из раздела 2, нажмите кнопку Выполнить и
результат появится в ячейках B11:E14.
Рис. 3.13
Самостоятельная работа №2
Решите с помощью Excel сбалансированные и несбалансированные транс-
портные задачи симплекс – методом.
Классические транспортные задачи
1. Завод имеет три цеха А, В С, и четыре склада № 1, 2, 3, 4. Цех А произ-
водит 30 тысяч штук изделий, цех В – 40 тысяч штук изделий, цех С – 20 тысяч
штук изделий. Пропускная способность складов за то же время характеризуется
следующими показателями: склад № 1 – 20 тысяч штук изделий, склад № 2 – 30
тысяч штук, склад № 3 – 30 тысяч штук, склад № 4 – 10 тысяч штук. Стоимость
перевозки из цеха А соответственно в склады № 1, 2, 3, 4 за одну тысячу штук
изделий 2, 3, 2, 4 руб.; из цеха В за одну тысячу изделий соответственно равна
70
3, 2, 5, 1 руб., а из цеха С – соответственно 4, 3, 2, 6 руб. Составьте модель
7 3 8
К
1
5 4 6
К
4 5 9 К
3
6 2 5
К4
О1
О2
О3
транспортной задачи и, при котором расходы па перевозку изделий были бы
наименьшими.
Определите оптимальный план перевозки изделий:
а) в условиях избытка, когда цех А производит 35 тысяч штук изделий,
цех В – 50 тысяч штук изделий, цех С – 30 тысяч штук изделий;
б) в условиях дефицита, когда цех А производит 25 тысяч штук изделий,
цех В – 30 тысяч штук изделий, цех С – 15 тысяч штук изделий.
2. На трех складах А, В, С находится сортовое зерно соответственно 10, 15,
25 т, которое надо доставить в четыре пункта: пункту № 1 – 5 т, № 2 – 10 т,
№ 3 – 20 т и № 4 – 15 т. Стоимость доставки одной тонны со склада А в указанные пункты соответственно равна 8, 3, 5, 2 руб.; со склада В: 4, 1, 6, 7 руб. и со
склада С: 1, 9, 4, 3 руб. Составьте модель транспортной задачи и определите
оптимальный план перевозки зерна в четыре пункта, минимизирующий стоимость перевозок. Определите оптимальный план перевозки зерна в четыре
пункта:
а) в условиях избытка, когда на трех складах А, В, С находится сортовое
зерно, соответственно 15, 20, 30 т;
б) в условиях дефицита, когда на трех складах А, В, С находится сортовое
зерно, соответственно 3, 5, 15 т.
3. Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет четыре карьера К1, К2, К3, К4. Производительность карьеров равна соответственно 160, 120,
190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики: О1, О2, О3, мощности которых соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц. Транспортные затраты (в тыс. руб.)
на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики указаны в следующей табл.:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]