Решение задач нестационарной теплопроводности. Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теплофизика»

(исходного материала) с целью создания одинаковых условий формирования продукта.

В этих случаях, исходя из симметричности процесса теплообмена относительно центральной оси пластины (рис. 2), задачу теплопроводности решают только для участка от центральной оси до одной из поверхностей пластины, то есть для половины толщины пластины. Поэтому расчетный участок имеет длину L/2. Его разбивают на (N–1) равных промежутков шириной Δx, задав N узлов сетки разбиения этого участка. Для расчета температуры на одной из границ – на поверхности пластины – используют уравнения (17), (32) и (34) в зависимости от заданных граничных условий.

Для расчета температуры на другой границе участка – в центре пластины – вводят дополнительный (N+1)-узел по толщине на расстоянии Δx от N-узла разбиения, лежащего на оси по другую сторону от расчетной области.

Рис. 2. Разностная схема с симметрией процесса теплообмена

Вследствие симметричности процесса теплопроводности при одинаковых условиях теплообмена на границах пластины распределение

21

температур по толщине пластины симметрично, и поэтому температура в

(N+1)-узле равна температуре в (N–1)-узле. И в этом случае температура в

N-узле на оси симметрии на следующем временном слое рассчитывается по обычной формуле (30) для определения температур во внутренних точках, то есть используется обычный четырехточечный шаблон.

7.Методика выполнения курсовой работы

1.Исходя из требований по точности решения задачи теплопроводности, задают число узлов сетки разбиения пластины N по толщине L и определяют шаг по координате Δx по формуле (35). Узлы нумеруют, начиная от поверхности пластины.

При симметричных условиях теплообмена на границах пластины в качестве расчетной области используют половину толщины пластины L/2.

При этом полученную таким образом расчетную область расширяют за счет введения дополнительного (N+1)-узла за осью симметрии пластины.

2. Определяют расчетный шаг по времени Δτ. Выполнение этой процедуры необходимо, так как явная разностная схема является условно устойчивой и требует, как показано выше, определенного соотношения между шагами по координатам и по времени. Для этого определяют значения шагов по времени Δτ для внутренних точек по формуле (40) и, если заданы граничные условия третьего рода, для точек на границе тела по формуле (41).

Для проведения расчетов выбирают из них временной шаг с наименьшим значением Δτ.

3.Определяют количество расчетных шагов по времени k по формуле (42).

4.Для момента времени τ = 0 (для начального временного слоя)

определяют значения температур для всех точек разбиения пластины по координате х, то есть для всех узловых точек от i = 1 до i = N (в случае симметричного теплообмена до i = (N+1)) Для этого используют заданные

22

начальные условия однозначности. В случае постоянства начальной температуры по толщине пластины заданное значение просто присваивают всем узлам начального временного слоя.

5. Определяют значения температуры для внутренних узловых точек разбиения тела от i = 2 до i = (N – 1) в следующий момент времени Δτ по формуле (30) и на границах тела (для узлов i = 1 и i = N) по формулам (17), (32) и (34) в зависимости от рода граничных условий. При этом используют заданные физические условия однозначности: плотность ρ, коэффициент теплопроводности λ и теплоёмкость материала исследуемого тела с.

В случае симметричности теплообмена пластины с окружающей средой на границе пластины температуру определяют по формулам (17), (32) и (34) в

зависимости от рода граничных условий только для узла i = 1. А по формуле

(30) определяют значения температуры для внутренних узловых точек от i = 2

до i = N, а (N + 1)-узлу присваивают значение температуры в (N – 1)-узле.

6. По такому же алгоритму определяют температуры в узловых точках разбиения для следующего момента времени 2Δτ (для следующего временного слоя), используя температуры в узлах предыдущего временного слоя. Эту процедуру повторяют далее для каждого временного слоя nΔτ

вплоть до последнего расчетного момента kΔτ.

В результате таких расчетов находят с помощью численного метода оценку нестационарного температурного поля в пластине заданной толщины

L в течение заданного времени τк.

7. Расчет полностью повторяют для других заданных вариантов граничных условий.

23

8. Пояснительная записка к курсовой работе

Курсовая работа заключается в определении нестационарного температурного поля в бесконечной пластине при нескольких вариантах задания граничных условий.

Пояснительная записка к курсовой работе включает в себя:

1.Титульный лист.

2.Содержание.

3.Описание варианта задания.

4.Алгоритм решения задачи нестационарной теплопроводности конечно-разностным методом по явной схеме.

5.Блок-схему программы расчета.

6.Программу расчета (на языке высокого уровня, в Excel, с помощью языков известных интегрированных пакетов – по заданию преподавателя).

7.Результаты расчетов в виде таблиц, графиков изменения температуры по толщине пластины в различные моменты времени (5

графиков), графиков изменения температуры в центре пластины, на ее поверхности, в точке, находящейся на равном расстоянии от центра и поверхности пластины (3 графика), для каждого из вариантов задания граничных условий. Преподаватель задает значение времени исследования процесса τк.

8.Сравнительный анализ полученных результатов и выводы.

9.Библиографический список.

24

Таблица 2

Варианты заданий

25

Окончание табл. 2

В этой таблице L – толщина пластины; λ, с, ρ – соответственно коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность материала пластины; t0 – начальная температура пластины, ГУ–1, ГУ–2, ГУ–3 –

граничные условия первого, второго и третьего рода соответственно.

Теплофизические параметры материалов, приведенные в табл. 2, взяты из учебника по инженерной теплопередаче: Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи. – Москва: Мир, 1983. – 512 с.

26