Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
Рис. 14
.
Теперь возможны два подслучая. Пусть для начала коэффициент
. Тогда перепишем последнее уравнение в виде
Выполняя замену координат (сдвиг)
.
мы приходим к уравнению
Предполагая, что числа
одного знака, мы всегда сможем
.
привести последнее уравнение к следующему виду (мы сохраняем
сплошную нумерацию типов поверхностей):
7.
.
Эта поверхность называется эллиптическим параболоидом
(рис. 14).
131
Запоминать такие названия можно так: существительное (в дан-
Рис. 15
ном случае «параболоид») соответствует вертикальным сечениям
поверхности (в данном случае парабола), а прилагательное − гори-
зонтальным сечениям поверхности (в данном случае эллипс).
Эллиптический параболоид выглядит как чаша. Если , то
горизонтальными сечениями будут окружности, и наша поверхность
будет параболоидом вращения. Такова форма спутниковых антенн.
Полезно понять, почему для таких антенн выбрана именно форма
параболоида вращения! (Указание: подумайте, где расположен приёмник сигнала у таких антенн.)
Если же числа
8.
.
разных знаков, то уравнение будем таким
Эта поверхность называется гиперболическим параболоидом
(рис. 15). Это одна и самых геометрически красивых поверхностей.
Она называется также седловой поверхностью. Чтобы нарисовать её,
рекомендуется сначала нарисовать параболу
с ветвями
вверх в плоскости (можно назвать её «позвоночником»), и да-
132
лее нарисовать семейство парабол
с ветвями вниз в
плоскостях , параллельных Эти параболы как бы «при-
крепляются» к «позвоночнику» и их можно было бы назвать «рёбрами». В целом получается как бы часть скелета животного.
. Тогда мы будем иметь уравнение
.
Во втором подслучае
После замены переменных придём к уравнению
.
Разбирая последовательно случаи
одинаковых или разных
знаков и, соответственно, знаков (или ), получаем следую-
щие (цилиндрические) поверхности.
9.
10.
11.
12.
13.
– эллиптический цилиндр.
– прямая.
– мнимый эллиптический цилиндр.
– гиперболический цилиндр.
– пара пересекающихся плоскостей.
Наконец, нам остался следующий случай.
Случай III. В точности одно из собственных чисел матрицы
квадратичной формы ненулевое. К примеру, .
Тогда после первой замены и выделения полного квадрата по
первой переменной мы придём к уравнению
.
Возможны два подслучая. Первый подслучай: хотя бы одно из
чисел
или
отлично от нуля. Тогда нам хотелось бы сделать
замену
.
Но эта замена будет в большинстве случаев неортогональной
(величина
, как правило, отлична от 1).
Подкорректируем замену, нормировав её:
133
Полностью замена координат будет иметь вид (замена ортого-
нальная!):
Уравнение поверхности примет вид
Выполняя, при необходимости, замену
.
, приходим к
уравнению
14.
Как очевидно, эта поверхность есть параболический цилиндр, цилиндр над параболой.
И, завершая классификацию, обратимся ко второму подслучаю
.
Уравнение поверхности примет вид
,
а значит, у нас остаётся три типа поверхностей:
15.
– пара параллельных плоскостей.
16. – плоскость.
17.
– пара мнимых параллельных плоскостей.
Итак, мы описали все возможные 17 типов поверхностей второго
порядка в пространстве.
А теперь рассмотрим пример.
Задача 62 (задача № 1045(5) [4]). Найти тип поверхности, её кано-
ническое уравнение и каноническую систему координат, если в некоторой прямоугольной системе координат её уравнение имеет вид
.
134
Составим матрицу квадратичной формы
.
Нам необходимо найти собственные числа и собственные векторы этой матрицы. Проще всего написать характеристическое урав-
нение матрицы следующим образом
.
В данном случае имеем
.
Разумеется, мы не собираемся использовать формулы Кардано
для решения этого кубического уравнения. Попробуем подобрать
хотя бы один целый корень. Как известно, целый корень, если он
существует, должен быть делителем свободного члена. После неко-
торых попыток, начиная с самых простых целых чисел (, ),
находим корень ( . Значит, наш кубиче-
ский многочлен делится на двучлен . Разделим в столбик:
.
Далее преобразуем
Отсюда находим собственные числа , .
Найдём сначала собственный вектор, отвечающий собственному
значению :
,
Возьмём сначала вектор и нормируем его
.
Далее, собственные векторы, отвечающие , перпен-
дикулярны этому вектору.
.
135
Имеем двумерное подпространство, заданное уравнением .
Возьмём вектор
. Тогда третий вектор находится как
.
Имеем матрицу замены
.
Формулы замены следующие:
Подставляя эти формулы в уравнение поверхности, получим
Выделяем полные квадраты:
Выполняем замену
и получаем уравнение
.
Это каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
136
Найдём расположение канонической системы координат. Начало
системы координат
.
Базисные векторы будут такими (преобразование сдвига не меняет векторы осей координат):
,
,
.
Задача полностью решена.
7.3. Использование инвариантов для изучения поверхностей
второго порядка в пространстве
Как и в случае кривых второго порядка на плоскости, иногда в
задаче требуется определить лишь тип поверхности и её каноническое уравнение, а расположение поверхности относительно исходной системы координат находить не нужно. Аналогично случаю
кривых, на помощь приходят инварианты. Их определение полностью аналогично соответствующему определению для кривых. Первые три инварианта также получаются из инвариантности характеристического многочлена матрицы квадратичной формы поверхности
. Мы уже отмечали, что
.
Поэтому мы приходим к инвариантам
,
.
Алгебраически мы видим, что
равно сумме всех главных ми-
,
норов матрицы порядка .
Также как и для кривых, для поверхностей определитель расши-
ренной матрицы
137
является инвариантом
.
Этих четырёх инвариантов уже достаточно для исследования
первых восьми типов поверхностей. В самом деле, вычисляя инва-
рианты для уравнения поверхности, заданного в исходной
прямоугольной системе координат, мы немедленно составим уравнение для нахождения собственных чисел:
.
Разумеется, решение этого уравнения в общем случае непросто –
формулы Кардано довольно сложны и требуют использования комплексных чисел для нахождения всех трёх (вещественных!) корней.
Как правило, мы стараемся подобрать какой-то корень (чаще всего
целый) и далее, выделив соответствующий линейный множитель,
решить элементарное квадратное уравнение.
Очевидно, что типы 1–8 поверхностей соответствуют случаю
всех ненулевых собственных чисел
или ровно двух нену-
левых с дополнительным условием на коэффициент при (а имен-
но,
).
Если все , то это равносильно тому, что (по теореме
Виета). В этом случае после замены координат уравнение поверхности приведётся к виду
и нам остаётся лишь подсчитать свободный член . Как и для кри-
вых, это делается с помощью инварианта «определитель расширенной матрицы».
А именно, имеем в силу инвариантности
Откуда получим
.
и теоремы Виета,
.
Если же ровно два собственных числа ненулевые (скажем,
), то тогда наше кубическое уравнение имеет один нуле-
вой корень и поэтому остальные легко находятся из квадратного
уравнения. После замены координат, поверхность будет задаваться
уравнением (
:
.
138
.
и тот
Нам остаётся подсчитать через инварианты коэффициент
Для этого вновь пригодится инвариант
. В данном случае,
(Использовали теорему Виета
факт, что .)
Отсюда находим
. Здесь можно выбрать любой
удобный знак (для того, чтобы быстрее получить каноническое
уравнение).
Для остальных типов поверхностей 9–17 рассмотренных четырёх
инвариантов уже будет недостаточно. Как и в случае кривых, на помощь приходят полуинварианты.
Они определяются из аналогичного равенства (это почти характеристический многочлен расширенной матрицы, только мы не вы-
читаем из последнего нижнего элемента главной диагонали):
Выражения ,
будут полуинвариантами уравнения. Рас-
.
крывая левую часть, можно найти, что
.
Как видно,
, так что этот коэффициент нам уже
,
,
известен, и он является полноценным инвариантом. Для запомина-
ния формул мы можем заметить, что полуинвариант
«окаймлённым» аналогом инварианта
.
является
Как и для кривых, полуинварианты «выдерживают» замены координат, сохраняющие начало координат, и, вообще говоря, изме-
.
139
няются при остальных заменах. Но есть некоторое «счастливое исключение»:
Теорема Моденова (теорема 2 [с. 416, 5]).
1. Если в некоторой ортогональной системе координат поверх-
ность записывается уравнением, не содержащим одну из перемен-
ных, то полуинвариант
является полноценным инвариантом для
данной поверхности (выдерживает все ортогональные замены).
2. Если же в некоторой ортогональной системе координат по-
верхность записывается уравнением, не содержащим две перемен-
ные, то оба полуинварианта и
будут инвариантами.
Предположим теперь, что ровно два собственных числа ненуле-
вые (скажем, ), при этом
Тогда уравнение по-
верхности примет вид
.
Числа
уже вычислены через инварианты. Остаётся найти
свободный член . При этом ясно, что и этот инвариант не
поможет нам в нахождении . Но по теореме Моденова
является
инвариантом, который мы вычисляем на основе исходного уравнения поверхности. С другой стороны, из формул и уравнения выше
мы находим значение
Значит,
.
Далее, пусть ровно одно собственное число ненулевое (скажем,
), но при этом уравнение поверхности приводится к виду
.
Это параболический цилиндр.
Число находится легко: . По теореме Моденова [5],
будет инвариантом.
Находим в данном случае
.
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]