Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
Отсюда Значит, одна из инвариантных плоскостей имеет
уравнение
Пусть теперь . Тогда, как мы видели, соответствую-
щие собственные векторы
образуют двумерное подпро-
странство, задаваемое условием .
При этом свободный член выражается из равенства
или .
Значит, соответствующие инвариантные плоскости имеют уравнения
(значения параметров произвольны при условии ):
или, эквивалентно,
.
Мы видим пучок плоскостей, проходящих через прямую
Это равносильно
.
Вычитая из всех частей этой цепочки единицу, получим эквивалентно
. Кстати, это одна из найденных нами инва-
риантных прямых!
Окончательно имеем: инвариантными плоскостями является
плоскость и все плоскости пучка плоскостей,
проходящих через прямую
.
Задача решена.
101
ТЕМА 6. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ
6.1. Канонический вид уравнения кривой,
приведение к каноническому виду
До сих пор мы изучали прямолинейные задачи аналитической
геометрии. Базовыми объектами были: прямые на плоскости и
плоскости в пространстве. Они задаются в координатах, соответственно, уравнениями
и .
Теперь приступим к изучению простейших искривлённых объектов, для начала, на плоскости. Пусть искривлённый объект на плос-
кости (кривая) задаётся в координатах простейшим нелиней-
ным уравнением – уравнением второй степени:
, (63)
где хотя бы одно из чисел , ,
отлично от нуля.
Определение. Геометрическая фигура на плоскости (мно-
жество точек) называется кривой второго порядка, если в неко-
торой аффинной системе координат на плоскости она зада-
ётся уравнением (63) второй степени (есть хотя бы один ненуле-
вой член второй степени).
Покажем вначале корректность определения. А именно, если
задаётся уравнением типа (63) в некоторой аффинной системе координат, то она будет задаваться уравнением такого же типа и в любой
аффинной системе координат. Действительно, если задаётся
уравнением (63) в некоторой аффинной системе координат , то
в любой другой аффинной системе координат она будет за-
даваться следующим образом. Выразим старые координаты
произвольной точки через новые координаты :
(64)
Подставляя эти выражения в (63), мы получим некоторое уравнение, не выше второй степени, которое представляет собой усло-
вие вхождения точки плоскости в кривую в терминах новых ко-
ординат . Осталось только понять, почему не могут исчезнуть
все члены второй степени после приведения подобных. В самом де-
102
ле, если бы это случилось, то, производя обратный переход от коор-
динат к координатам (который осуществляется по
формулам аналогичным (64)), мы получили бы, что и в изначальной
системе координат фигура задавалась бы уравнением первой сте-
пени. Противоречие.
Итак, кривая в любой аффинной системе координат задаётся
уравнением вида (63). Далее мы будем рассматривать только де-
картовы прямоугольные системы координат для того, чтобы сохранить геометрические размеры и параметры исследуемых кривых.
Покажем, что для любой кривой второго порядка существует такая
декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение
кривой выглядит наиболее просто.
Эта система координат называется канонической системой коорди-
нат, а это простейшее уравнение – каноническим уравнением кривой.
Рассмотрим далее алгоритм нахождения канонической системы
координат и канонического уравнения кривой. Первым шагом будет
устранение из уравнения кривой члена (разумеется, если
этот член ненулевой: , иначе необходимости в этом шаге
нет). Для этого существует два пути.
Первый путь – рассмотреть поворот системы координат на
некоторый неизвестный угол (при сохранении начала коорди-
нат ). Базисные векторы повёрнутой системы координат
имеют вид:
,
.
Поэтому формулы перехода имеют вид:
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим новый коэффициент
.
Будем искать такой угол , чтобы . Имеем квадратное
уравнение относительно :
.
Дискриминант этого уравнения
(поскольку ).
103
Выбирая любой из двух этих корней, мы найдём искомый угол
(второй корень для будет иметь вид
ветствует углу
; по сути, это та же система координат с
, что соот-
точностью до переобозначения осей).
Второй путь для достижения той же цели (а именно, устранения
члена ) более общий – позже его будет нетрудно перенести
на случай поверхностей второго порядка в пространстве. Однако
этот путь не столь элементарен – он потребует некоторых знаний из
высшей алгебры, а именно, понятий собственных чисел и собственных векторов. Вначале запишем уравнение (63) в матричном виде.
Введём вектор-столбец
координат точки плоскости. Эта
точка лежит на кривой второго порядка тогда и только тогда, ко-
гда выполнено равенство (63) в компактном матричном виде:
. (65)
Симметричную матрицу
мы назовём мат-
рицей квадратичной формы, символ означает транспонирование
матриц, а вектор-столбец
будем называть столбцом ли-
нейных коэффициентов (точнее, их половинок – по некоторым при-
чинам, которые будут ясны дальше, удобно писать член с ко-
эффициентом 2). Эквивалентность равенств (65) и (63) проверяется
простым вычислением.
Предположим теперь, что мы перешли к новым координатам
, которые мы запишем в новый вектор-столбец
. Они
связаны по формуле
,
где матрица – матрица перехода между новым и старым ба-
зисами. Если мы подставим это выражение в (65), то нетрудно ви-
деть, что новая матрица квадратичной формы будет иметь вид (с
учётом свойства транспонирования матриц
):
.
Вспомним, что наши системы координат теперь – только прямо-
угольные декартовы. Поэтому матрица перехода между двумя
104
ортонормированными базисами является ортогональной, что озна-
чает равенство
.
Наша цель – найти такую ортогональную матрицу чтобы мат-
рица стала бы диагональной (это и означает исчезнове-
ния члена, содержащего ):
.
Перепишем это равенство в следующем виде, умножив её слева
на матрицу :
Запишем матрицу в виде объединения двух столбцов и
(66)
.
:
Вспоминая определение умножения матриц, видим, что (66) равносильно двум равенствам
,
. (67)
Равенство для ненулевого вектора-столбца означает,
по определению, что вектор – собственный вектор матрицы ,
принадлежащий собственному значению .
Записывая это равенство в виде , мы видим, что
матрица должна быть вырожденной, т. е. её определитель
должен быть нулевым (детали см. в курсе высшей алгебры [6]):
. (68)
Это равенство – характеристическое уравнение для матрицы .
Её корни – собственные числа матрицы.
Ещё раз посмотрев на равенства (67), мы видим, что матрица
должна быть такова, что её столбцы – собственные векторы матри-
цы квадратичной формы.
Итак, пусть мы имеем кривую второго порядка , записанную в
некоторой прямоугольной системе координат в виде (63). Для
конкретики возьмём кривую из задачи 807(1) задачника [4]:
. (69)
Первое, что мы должны сделать – составить матрицу квадра-
тичной формы:
.
105
(Чтобы запомнить, куда ставить коэффициенты при квадратичных
членах, позиции в матрице обозначаем так:
Самое главное здесь – не забыть поделить коэффициент из
члена пополам. Логика для запоминания здесь такая: коэффи-
циенты 5 и 8 при квадратах переменных используются в матрице
только один раз (на главной диагонали матрицы), поэтому их делить
пополам не надо, а вот на коэффициент 4 «претендуют» две позиции в матрице вне диагонали, поэтому его надо поделить «почестному» пополам. Составляем характеристическое уравнение
матрицы :
.
Его удобно сразу написать в виде:
,
где
– след матрицы (сумма её элементов на главной
диагонали).
В нашем случае получим уравнение
Применяя теорему Виета, находим подбором корни
; .
Теперь нам необходимо найти собственные векторы, соответствующие этим собственным числам. Начнём с собственного числа
. Уравнение для соответствующего собственного вектора
имеет вид
или
.
Более конкретно,
Иными словами,
Разумеется, два эти уравнения линейно зависимы (ведь матрица
вырожденная, её определитель равен нулю по определению
собственного числа). Нам нужен вектор единичной длины. Для этого выберем сначала какой-нибудь вектор попроще, например,
106
.
Теперь остаётся нормировать этот вектор, т. е. поделить вектор
на его длину; получая вектор
.
Собственный вектор , принадлежащий значению , нахо-
дится легко. Из высшей алгебры следует, что для симметричной
матрицы собственные векторы, отвечающие разным собственным
значениям, перпендикулярны. Поэтому единичный собственный
вектор, принадлежащий значению , имеет вид
.
В самом деле, для вектора
очевидный перпендикулярный
ему вектор – это . (В прямоугольной декартовой системе, ра-
зумеется – это очевидно из их скалярного произведения.)
Итак, матрица перехода к новой прямоугольной декартовой системе имеет вид
Напишем формулы пересчёта координат одной и той же точки в
старой и новой системе координат:
(70)
Для нахождения уравнения нашей кривой в новой системе координат, подставим эти выражения в уравнение (69). И здесь нас ожидает сюрприз: члены второй степени подсчитывать не нужно (хотя
это была бы самая трудоёмкая часть вычислений). В самом деле,
новая матрица
квадратичной формы имеет диагональный вид
107
, что означает, что квадратичная форма в новых координа-
тах будет иметь вид
.
Остаётся «вручную» вычислить линейную часть .
Для минимизации выкладок, удобно написать
и подсчитать «по столбикам»
В итоге получим уравнение кривой в новых координатах:
.
Теперь мы переходим ко второму шагу алгоритма – выделению
полных квадратов. Важная деталь: сначала нужно вынести за скобки
коэффициенты при квадратах переменных. Получим:
Производим замену переменных (которая отвечает сдвигу, параллельному переносу системы координат):
Получим уравнение
или каноническое уравнение
.
Мы видим, что наша кривая – эллипс с полуосями 3 и 2.
108
Остаётся третий и заключительный шаг алгоритма: выяснить
расположение нашего эллипса относительно исходной системы ко-
ординат , что равносильно тому, что мы определим координаты
точки и исходные координаты векторов
и
. Прой-
дёмся по цепочке от конца в начало и напишем (штрихи в верхних
индексах обозначают систему координат, относительно которой
пишутся координаты точки ):
Найти исходные координаты векторов
и
несложно. Заме-
тим, что формулы пересчёта координат векторов получаются из
формул пересчёта координат точек, если убрать из этих формул
свободные члены (без переменных) – это следует из того, что координаты вектора равны разности координат конца и начала.
В результате имеем
,
.
Иными словами, можно утверждать, что наша кривая – эллипс с
полуосями 3 и 2, с центром симметрии в точке относительно
исходной системы координат, большая полуось которого направлена вдоль вектора
, а малая – вдоль вектора
.
Задача полностью решена.
6.2. Классификация кривых второго порядка на плоскости
по их каноническим уравнениям
Пусть кривая второго порядка задана уравнением
.
Обозначаем ,
формы
– собственные числа матрицы квадратичной
.
Тогда после ортогонального преобразования уравнение кривой
примет вид
.
109
Рассмотрим первый случай: оба собственных числа отличны от
нуля. Тогда мы можем выделить в последнем уравнении два полных
квадрата
.
(В изменённом свободном члене учтена «компенсация» за до-
бавление последних квадратов в скобках.) Отсюда имеем новое
уравнение
(71)
с новыми переменными
Геометрически эти формулы означают параллельный сдвиг системы координат.
Какие же кривые получаются в данном случае?
Пусть, во-первых, числа ,
имеют одинаковые знаки. При этом
возможны три подслучая, описывающие первые три типа кривых:
1) число отлично от нуля и имеет противоположный знак по
сравнению с
. Перенося его в правую часть и деля на него обе
части, приходим к следующему каноническому уравнению (двойной штрих у переменных не пишем):
,
в котором считаем, что (если это не так, можно выполнить
дополнительную замену переменных
).
Данное уравнение описывает эллипс с полуосями ( –
бóльшая полуось);
2) число отлично от нуля и имеет тот же знак, что и
Тогда мы, очевидно, придём к каноническому уравнению мнимого
эллипса:
.
Как множество точек на вещественной плоскости, это пустое
множество. Непустым оно становится при расширении её до ком-
.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]