Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
зададим координатами этих точек: D , B , где числа и
Рис. 4
лежат в интервале (0,1).
Поскольку точка Q – середина , в силу формулы (3) выражаем
её координаты Q
NМ – будет иметь координаты
. Аналогично точка R – середина отрезка
.
Теперь нам необходимо найти координаты точки С, которая по-
лучается пересечением прямых ВМ и . Их уравнения выводим из
формулы (14):
,
.
Решая полученную систему уравнений, находим координаты
точки С
. Вычисляем координаты точки P, середины
диагонали :
P
.
Теперь у нас есть координаты всех трёх интересующих нас точек P,
Q, R. Чтобы доказать, что они лежат на одной прямой, достаточно
доказать коллинеарность некоторой пары векторов с началом и концом
в этих точках. Удобнее всего начало брать в точке R, так как у неё са-
мые простые координаты. Итак, докажем, что векторы и колли-
неарны. Координаты любого вектора, очевидно, вычисляются как координаты его конца минус координаты его начала. Значит,
21
Преобразуя координаты вектора
В итоге получаем
, находим
.
.
. Векторы и коллинеарны, и,
тем самым, точки P, Q, R лежат на одной прямой. Теорема Гаусса
доказана.
1.3. Скалярное произведение векторов
Основная идея аналитической геометрии состоит в применении
алгебры к геометрии. Пока что мы ввели понятие вектора и ввели
следующие операции: сложение и умножение векторов на число
(скаляр). Теперь мы будем умножать друг на друга два произвольных вектора. Но результатом будет не вектор, а число. Обозначаем
скалярное произведение двух векторов и через
также обозначается как
дение
геометрически определяется как
).) Напомним, что скалярное произве-
. (Иногда оно
. Са-
мое главное − это произведение обладает многими (но не всеми!)
привычными свойствами произведения:
1) коммутативность: для любых векторов и
2) дистрибутивность: для любых век-
торов , и
также скалярное произведение векторов естественным образом сочетается с умножением на скаляры:
3)
для любых векторов и
и любого веще-
ственного числа
отметим следующее важное свойство:
4) для любого вектора , причём тогда и толь-
ко тогда, когда
Ясно, что
Отметим и такое свойство: ненулевые векторы и
.
.
перпенди-
кулярны тогда и только тогда, когда . Удобно считать, что
22
нулевой вектор перпендикулярен любому вектору. Тогда указанное
свойство можно формулировать без оговорки о том, что векторы
ненулевые.
В задачах важно и такое правило вычисления скалярного произведения в декартовой прямоугольной системе координат:
скалярное произведение векторов и
равно
.
Это правило можно сформулировать так: в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов равно сумме
произведений соответствующих координат этих векторов.
Доказательство очень простое. Запишем по определению координат величины:
Используя ортонормированность базиса
и
(т. е.
.
−
символ Кронекера) и свойства скалярного произведения 1−3, получим
.
Что и требовалось доказать.
Заметим, что в произвольной аффинной системе координат формула для скалярного произведения будет гораздо сложнее (она получается аналогичным вычислением):
где
− так называемые метрические коэффициенты
,
аффинной системы координат.
Задача 7. Доказать следующее свойство параллелограмма: сум-
ма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин всех его
сторон.
Пусть – произвольный параллелограмм. Надо доказать,
что
.
Используем векторы и скалярное произведение. Запишем
и
.
23
Используя свойства 1 и 2, получаем (ввиду равенства длин про-
Рис. 5
тивоположных сторон параллелограмма):
+ 2
.
Утверждение доказано.
Рассмотрим теперь интересную задачу № 136 из задачника [4].
Задача 8 ([4]). Найти сумму векторов, являющихся ортогональ-
ными проекциями заданного на плоскости вектора на стороны
равностороннего треугольника АВС (рис. 5).
Пусть – прямая на плоскости, – вектор на плоскости. Опреде-
ляем ортогональную проекцию вектора на прямую как
вектор
, где ортогональная проекция точки на пря-
мую (основание перпендикуляра, опущенного из на прямую ),
а − ортогональная проекция точки на прямую . Нетрудно видеть, что вектор
не зависит от выбора начальной точки , от
которой мы откладываем вектор .
Первое, что необходимо сделать, это вывести формулу для
в терми-
нах и направляющего вектора прямой . Для этого отложим вектор
от некоторой точки прямой . Тогда и
24
вектор
перпендикулярен прямой , а значит, и вектору . При этом
Напишем условие перпендикулярности в виде
условие эквивалентно
.
. Это
или . От-
сюда, с учётом свойств скалярного произведения, получаем
.
Наконец, ортогональная проекция вектора запишется как
. (15)
Следует предостеречь от каких бы то ни было сокращений в
формуле (15) – они там невозможны. В этом смысле при вычислениях, в которых фигурирует скалярное произведение, нельзя забывать, что мы перемножаем не обычные числа, а векторы.
Отметим, что формула (15) существенно упрощается в частном
случае, когда направляющий вектор имеет единичную длину.
В этом случае
. (16)
Теперь вернёмся к исходной конфигурации задачи. Очевидно,
что без ограничения общности мы можем считать, что равносторонний треугольник АВС из условия имеет единичные длины сторон.
Обозначим , , . Тогда имеем
при этом векторы , , имеют единичную длину и попарные углы
между ними равны 120°.
Обозначим через , ортогональные проекции вектора на
соответствующие прямые, соответствующие сторонам треугольника
АВС.
Имеем в силу (16)
, .
Отсюда искомая сумма проекций выражается как
+ .
Наша цель – выразить эту сумму через . Первое, что имеет
смысл сделать – это исключить вектор
. Имеем
.
Собирая коэффициенты при векторах ,
и используя свойства
скалярного произведения, получаем
,
25
. (17)
А теперь самый интересный момент: как сделать так, чтобы в этой
формуле остался только вектор , а векторы и
исчезли? Предлага-
ется абсолютно парадоксальный способ, напоминающий жертву фер-
зя в шахматах: сначала мы, наоборот, исключим вектор !
Для этого выразим вектор через векторы и как их линейную
комбинацию
(18)
для некоторых чисел . (Фактически мы рассмотрели аффинную
систему координат с базисными векторами и при этом числа
– координаты вектора в этой системе координат.)
Подставляя выражение (18) в (17) и используя очевидные равенства
и
,
получим
И вот сюрприз: внезапно векторы и
опять собрались вместе в
.
вектор !
Итак, ответ в задаче очень красивый − он не зависит от располо-
жения треугольника АВС, а зависит лишь от вектора :
.
Интересно было бы рассмотреть аналогичную задачу для пра-
вильного -угольника: будет ли ответ по-прежнему зависеть только
от вектора , и каков будет ответ? (Скажем, для квадрата задача
тривиальна, и ответ очевиден: сумма равна 2. Попробуйте дока-
зать, что в общем случае ответ будет равен
! Отметим, что на
втором курсе обучения, когда вы изучите комплексный анализ, эта
задача может вам показаться гораздо более простой.)
Задача 9. Пусть – равносторонний треугольник, – произ-
вольная точка плоскости или пространства, – центр описанной
около окружности, – её радиус. Доказать, что
.
26
Применим технику скалярного произведения векторов. Квадраты
длин отрезков заменяем скалярными квадратами векторов:
.
Раскрывая квадраты по свойствам скалярного произведения, получаем
= 3
+
+2 .
Сумма векторов в последней скобке равна нулевому вектору, по-
скольку точка является одновременно и точкой пересечения ме-
диан треугольника и, значит, по формуле (6) получаем
.
, так как – центр описанной
Далее
окружности. В итоге получаем
.
Что и требовалось доказать. Согласитесь, насколько это решение
красиво и коротко, по сравнению с различными элементарными рассуждениями или с вычислением в прямоугольной системе координат.
Обобщим теперь предыдущую задачу.
Задача 10. На плоскости задан правильный n-угольник. Рас-
смотрим подвижную точку на плоскости. Для какой точки зна-
чение суммы квадратов расстояний от этой точки до вершин многоугольника наименьшее?
Пусть …– заданный правильный многоугольник. Тогда
.
Здесь – центр окружности, описанной вокруг нашего n-угольника,
– её радиус.
Обозначим
. (19)
Как мы помним, в случае правильного треугольника, сумма (19)
равнялась нулевому вектору. Оказывается, эта сумма равна нулево-
27
му вектору для любого . Покажем это с использованием обобщён-
ной идеи симметрии. Подвергнем левую и правую части равенства
(19) повороту
Итак,
. Отсюда выводим
вокруг точки на угол
=
(никакой ненулевой век-
. Получим
=
тор не может переходить в себя при таком повороте).
Значит,
.
Мы видим, что интересующая нас сумма квадратов расстояний не
меньше , причём равенство достигается только для точки .
Итак, наименьшее значение суммы квадратов расстояний достигает-
ся для центра многоугольника и равно
.
Рассмотрим ещё одну задачу № 137 из задачника Моденова и
Пархоменко [4].
Задача 11 ([4]). Пусть – радиус окружности, описанной около
правильного n-угольника. Требуется вычислить:
1) сумму квадратов длин всех сторон и диагоналей этого n-
угольника, выходящих из данной его вершины;
2) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого
n-угольника.
Обозначим через – центр описанной окружности, через ,
, …,
– вершины -угольника. Для решения п. 1 вычислим сумму
.
Действуем аналогично предыдущей задаче:
.
.
28
Раскрываем квадраты и получаем
. (20)
Для вычисления суммы векторов в скобках сделаем её более
симметричной, включив в неё ещё один вектор
. Тогда мы по-
лучим рассмотренный выше вектор
Значит,
. Подставим это выраже-
.
ние в (20). Имеем
) =
. (21)
Итак, первая часть задачи решена. Для решения второй части запи-
шем равенство типа (21) раз для каждой из вершин
:
( .
Складывая эти равенств и учитывая, что каждый квадрат дли-
ны диагонали или стороны участвует дважды, получаем ответ для
второй части задачи:
сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей правильно-
го n-угольника равна
.
Заметим, что получить этот результат элементарными методами,
к примеру, с использованием теоремы косинусов было бы непросто – для этого надо сначала вывести неочевидную формулу для
суммы косинусов типа
.
29
ТЕМА 2. ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Задание прямых на плоскости
Пусть прямая на плоскости. Имеется несколько способов за-
дания этой прямой.
1. Векторное параметрическое уравнение.
Введём точку наблюдения на плоскости. Тогда, как мы знаем,
любая точка однозначно задаётся её радиус-вектором .
Рассмотрим начальную точку на прямой с радиус-вектором
Любой ненулевой вектор коллинеарный прямой (т. е. вектор,
лежащий на прямой, параллельной или совпадающей с ), называ-
ется направляющим вектором прямой . Тогда, очевидно, точка
лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор
коллине-
арен вектору , что равносильно равенству
для некоторого числа .
Значит, радиус-вектор должен удовлетворять соотношению
+ .
Соотношение
назовём векторным параметрическим уравнением прямой.
+ (22)
2. Скалярное параметрическое задание прямой.
Если, помимо точки , мы введём базис
,
, то получим аф-
финную систему координат . Каждая точка тогда задаётся
своими координатами согласно формуле
Подставляя эту формулу и аналогичную для
нивая коэффициенты при
,
, получим следующие уравнения
+
.
в (22) и прирав-
(23)
Они называются скалярными параметрическими уравнениями
прямой. При этом имеется важное ограничение
3. Каноническое уравнение прямой.
Перепишем уравнения (23) в виде
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]