Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
Ясно, что параллельность плоскостей и
вию
или
.
Итак, необходимое условие параллельности и
Нетрудно видеть, что это условие достаточно для параллельности.
Если обратиться к случаю совпадения плоскостей и
вновь получаем, что направляющие векторы
плоскости
плоскости
, и мы вновь получаем
также являются направляющими для
равносильна усло-
имеем вид:
.
.
, то мы
и
Мы вновь имеем уравнения
Плоскости и
совпадают. Взяв произвольную точку
, мы находим:
Отсюда получаем
или
.
Окончательно имеем
.
Нетрудно видеть, что это условие не только необходимое, но и
достаточное для совпадения плоскостей и
(поскольку если
данные пропорции выполнены, то уравнения плоскостей пропорциональны и плоскости совпадают).
Наконец, у нас остаётся случай пересечения плоскостей и
(по прямой). Критерий для этого случая
или
.
1. Обратимся теперь к проблеме взаимного расположения пря-
мых. Пусть и –прямые в пространстве
, задаваемые пара-
метрически как
61
Имеются следующие варианты взаимного расположения этих
прямых: параллельны, совпадают, пересекаются или скрещиваются.
Параллельность можно выяснить просто. Во-первых, направля-
ющие векторы прямых и должны
быть коллинеарны:
.
Эти же пропорции справедливы для случая совпадения прямых.
Как отличить параллельность от совпадения? Геометрически очевидно, что прямые совпадают, когда дополнительно вектор
,
соединяющий начальные точки прямых, должен быть коллинеарен
векторам и , что выражается в виде:
.
Если в этой цепочке равенство нарушается хоть где-то, то прямые параллельны. Два остальных случая соответствуют случаю не-
коллинеарности векторов и . Теперь необходимо различить слу-
чаи пересекающихся и скрещивающихся прямых. Если прямые пересекаются, они лежат в одной плоскости, и поэтому векторы
, и компланарны. Это условие можно
выразить алгебраически в виде равенства нулю определителя
.
Если же данный определитель не равен нулю, то прямые скрещиваются. Если читатель не знаком ещё с теорией определителей,
то можно действовать и по-другому, а именно, непосредственно
проверить, имеют ли прямые и
общие точки. При этом надо
избежать распространённой среди новичков ошибки, а именно, записи уравнений для возможной общей точки
прямых в виде
(42)
62
Ошибка, разумеется, состоит в том, что параметр для каждой
прямой – свой. Если использовать аналогию из механики, то задание прямой в виде
связано с представлением прямой как траектории равномерного
прямолинейного движения точки в пространстве со скоростью
где – параметр времени.
и с начальной точкой
В этом контексте соотношения (42) означают, что соответствующие материальные точки, двигающиеся вдоль прямых, в некото-
рый момент времени столкнутся (окажутся в одной точке про-
странства). К счастью, если две дороги пересекаются, то две машины, двигающиеся вдоль них, не обязательно столкнутся. В большинстве случаев они окажутся на перекрёстке в разные моменты
времени и
общей точки
. Таким образом, правильная система для возможной
такова:
(43)
Это три уравнения относительно двух неизвестных и . Как
правило, система (43) не имеет ни одного решения, что соответствует тому, что две случайно выбранные прямые в пространстве, скорее всего, не пересекаются. Итак, решив систему (43), мы и выясним, пересекаются ли наши прямые или скрещиваются.
3.4. Перпендикулярность прямых и плоскостей
Вначале нам необходимо решить следующую задачу (система
координат в данном разделе всегда прямоугольная декартова):
Задача 35. Дана плоскость .
Доказать, что вектор перпендикулярен плоскости П.
(Утверждение вполне аналогично соответствующему факту для
прямой и вектора .)
63
Для доказательства нужно убедиться, что вектор
перпендику-
лярен любому вектору, лежащему в плоскости П. Этот вектор мы
построим в виде , где .
Вводя координаты и , напишем
Вычитая эти равенства, получим
.
Поскольку система координат прямоугольная декартова, это
означает, что .
Значит, вектор
перпендикулярен плоскости П.
Задача 36. Дана плоскость
и прямая
Найти необходимые и достаточные условия перпендикулярности
плоскости П и прямой .
Ясно, что в силу предыдущей задачи, что прямая перпендику-
лярна плоскости П тогда и только тогда, когда направляющий век-
тор
прямой коллинеарен вектору
.
Задача 37. Даны две плоскости
Найти необходимые и достаточные условия их перпендикулярности.
Как мы знаем из курса стереометрии, две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда прямые, соответственно им перпендикулярные, перпендикулярны между собой, иными словами,
когда их нормальные векторы
и
перпендикулярны. Это можно выразить через скалярное произведение как
.
64
Задача 38. Найти точку, симметричную точке
отно-
сительно плоскости
.
Симметричная точка строится следующим образом: сначала
мы находим ортогональную проекцию точки на плоскость П,
далее продолжаем отрезок за точку
ка
.
ещё на одну длину отрез-
Для нахождения точки начнём двигаться от точки в направлении нормального вектора
плоскости П.
Уравнения этого движения таковы (параметрические уравнения
прямой):
Чтобы найти момент «приземления» на плоскость П, подставим
эти выражения для в уравнение плоскости П:
или
Отсюда находим точку
Точка является серединой отрезка
как , находим
.
. Обозначая координаты
.
Значит,
.
3.5. Углы между прямыми и плоскостями
1. Нахождение угла между двумя прямыми не вызывает никаких
затруднений. Если и – направляющие векторы прямых, то оче-
65
видно, что искомый угол либо равен углу между векторами и ,
если он острый, либо является дополнительным до 180°, если он
тупой. В любом случае, для косинуса искомого угла между пря-
мыми мы получаем
(44)
Это выражение легко вычисляется в декартовой прямоугольной
системе координат.
2. Теперь рассмотрим угол между прямой и плоскостью .
Пусть задаётся как
,
а плоскость задаётся как .
Напомним, что угол между прямой и плоскостью определяется
как угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на плос-
кость. Если – искомый угол, то очевидно, что он равен
,
где – угол между нашей прямой и прямой, перпендикулярной к
плоскости.
Направляющим вектором последней прямой является вектор
.
В силу формулы (44) получаем
.
Окончательно имеем
. (45)
3. Наконец, рассмотрим вопрос о нахождении угла между двумя
плоскостями
Вспомним из курса элементарной стереометрии, что искомый
угол равен углу между двумя прямыми, соответственно, перпендикулярными нашим плоскостям. Направляющие векторы этих пря-
мых −
и
. Следовательно,
66
(46)
Важное замечание: в числителе формулы (46) не стоит забывать
о модуле. Запомнить это просто: угол должен быть острым, и значит, косинус должен быть положительным!
3.6. Пучок плоскостей
Рассмотрим вначале ещё один вариант задания прямой в про-
странстве – в виде пересечения двух плоскостей
:
(47)
Разумеется, мы должны потребовать, чтобы эти две плоскости не
совпадали и не были бы параллельны. Условие для этого:
или
. (48)
Поставим теперь такой вопрос: описать все плоскости
,
которые проходят через прямую .
Рассмотрим первый путь. Вначале преобразуем представление
(47) к параметрическим уравнениям прямой . Для этого заметим,
что в силу (48) систему (47) можно либо разрешить относительно
, либо относительно , соответственно. В первом случае мы
получим параметрические уравнения в виде
Иными словами, мы берём в качестве параметра. Во втором
случае в качестве параметра возьмём .
Далее, в общем случае, если прямая задаётся как
то условие того, что плоскость содержит
прямую запишется как
,
что эквивалентно двум условиям
67
Однако это описание неявное.
Имеется более красивое описание. А именно, совокупность плос-
костей, проходящих через данную прямую (эта совокупность
называется пучком плоскостей), задаётся в виде
где . (49)
,
В самом деле, во-первых, при каждой паре значений , где
, уравнение (49) задаёт некоторую плоскость. (Мы имеем
линейное неоднородное уравнение относительно ,, причём хотя
бы один коэффициент при , отличен от нуля. Действительно,
если бы все эти три коэффициента равнялись нулю, то мы имели бы
т. е.
, что
противоречит условию.)
К тому же эта плоскость заведомо содержит прямую : если точ-
ка , то её координаты
удовлетворяют уравнениям
И, значит, координаты точки удовлетворяют уравнению плос-
кости (49).
Наоборот, докажем, что любая плоскость, содержащая прямую ,
может быть записана в виде (49). Пусть . Нам нужно найти
такие значения параметров , для которых уравнение (49) задаёт
плоскость . Возьмём любую точку
на прямой . Подберём теперь такие значения
плоскость с уравнением (49) содержит точку
, не лежащую
для которых
:
Очевидно, достаточно взять
Заметим, что эти числа
не равняются одновременно нулю
(в противном случае, точка лежала бы на прямой ).
Наконец, плоскости и совпадают, поскольку и та, и другая
содержат прямую и точку
, не лежащую на ней (а такая плос-
кость существует только одна!).
Итак, наша плоскость задаётся уравнением вида (49).
68
ТЕМА 4. ОРИЕНТАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА,
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
4.1. Ориентация векторного пространства
Мы переходим к качественно новому понятию по сравнению со
школьным курсом геометрии – ориентация пространства. Это понятие связано с таким новым для первокурсника разделом геометрии как топология – топология занимается изучением тех свойств
их непрерывных деформациях. (Шуточным примером является то,
что для тополога нет разницы между чашкой и бубликом!)
Итак, пусть – конечномерное векторное пространство размер-
ности . Это означает, что все базисы
этого простран-
ства состоят ровно из векторов. Базисов в данном пространстве
бесконечно много. Обозначим через множество всех базисов .
Нетрудно видеть, что если в базисе
немного «поше-
велить» каждый из векторов, то получившиеся векторов будут по-
прежнему образовывать базис. Мы можем рассматривать процессы
непрерывной деформации базисов во времени:
(Для простоты возьмём промежуток времени )
.
Важное замечание: при деформации, в каждый момент време-
ни, набор векторов
(т. е. в данной ситуации оставаться линейно независимым)!
должен оставаться базисом
Возникает вопрос: всегда ли возможно непрерывно продеформи-
ровать один базис
в другой базис
?
Оказывается, что ответ отрицательный. В некоторых случаях
имеется непреодолимое «топологическое» препятствие. И вот какое.
Рассмотрим процесс деформации базиса
где все зависимости
непрерывны и в начальный момент
Разложим теперь каждый из векторов
:
в виде
,
по базису
69
(образуется квадратная матрица , в -м
столбце которой стоят коэффициенты разложения вектора
базису
; в аналитической геометрии векторы, как прави-
по
ло, представляются вектор-столбцами; данная матрица – это матри-
ца перехода от базиса
к базису
).
Очевидно, что – единичная матрица, и что мат-
рица изменяется непрерывно. А значит, и её определитель
изменяется непрерывно. Заметим, что всегда
(равенство
нулю определителя означало бы линейную зависимость столбцов,
что невозможно, так как в каждый момент набор векторов
должен быть линейно независимым). Поскольку
и непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, сохраняет свой
знак (теорема Коши из курса анализа), мы видим, что
в
каждый момент. Отсюда следует, что если определитель матрицы
перехода от базиса
к базису
отрицатель-
ный, то непрерывно продеформировать первый базис ко второму,
оставаясь в множестве базисов, невозможно.
Более сложное утверждение (доказательство которого мы не будем обсуждать) состоит в том, что наоборот, если определитель
матрицы перехода от базиса
к базису
по-
ложителен, то такая деформация возможна.
Определение. Два базиса
и
назы-
ваются одинаково ориентированными, если первый можно
непрерывно продеформировать ко второму, оставаясь во множе-
стве базисов , что равносильно тому, что определитель матри-
цы перехода от первого базиса ко второму положителен.
Нетрудно показать, что отношение одинаковой ориентированно-
сти на является отношением эквивалентности, и что разбивается
ровно на два класса одинаково ориентированных между собой базисов. Если, основываясь на произвольном выборе, назвать базисы одного из этих классов положительно ориентированными, а базисы
другого – отрицательно ориентированными, то говорят, что на
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]