Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
=.
Записывая это соотношение без параметра , получаем канониче-
ское уравнение прямой:
. (24)
Отметим, что в этом соотношении возможен нуль в знаменателе
(одной из двух дробей). (Только не говорите об этом школьникам!)
Согласно (23), это означает, что и числитель этой дроби равен нулю.
(То есть, в виде исключения мы разрешаем выражение
.)
4. Общее уравнение прямой.
Перепишем (24) в виде
или
(25)
где и
.
Это уравнение называется общим уравнением прямой. (При этом
важное условие: )
Почему оно называется «общим»? Дело в том, что привычное
«школьное» уравнение прямой описывает не все прямые
(оно не общее!): а именно, пропущены прямые , парал-
лельные оси OY. Именно поэтому мы почти никогда не будем использовать это «школьное» уравнение.
Важное следствие. Для прямой с общим уравнением
одним из направляющих векторов будет вектор .
Было бы не совсем логически корректно использовать для обоснования этого следствия уравнение (24), так как мы должны исходить из общего уравнения нашей прямой. Возьмём произвольную
точку с координатами на прямой . Это означает, что её ко-
ординаты удовлетворяют общему уравнению:
.
Отложим вектор
от этой точки . Конец вектора бу-
дет в точке , и эта точка будет лежать на данной пря-
мой, так как
,
31
что и доказывает тот факт, что – направляющий вектор
прямой .
Важно подчеркнуть, что в этом утверждении система координат – произвольная аффинная.
Задача 12. Найти уравнение прямой, проходящей через точки
и
(система координат аффинная).
Решение очевидно: возьмём в качестве направляющего вектора
и в качестве начальной точки
Тогда запишем каноническое уравнение искомой прямой в виде:
. (26)
2.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
Задача 13. Найти необходимые и достаточные условия того,
что прямые и
, заданные, соответственно, уравнениями
и
1) параллельны, 2) совпадают, 3) пересекаются (в одной точке).
1. Пусть прямые и
векторы
Обозначим
и
. (Нуля быть не может, иначе ,
параллельны. Тогда их направляющие
коллинеарны. Это означает, что
или
.
что невозможно.) Тогда уравнение первой прямой запишется в виде
или
.
Поскольку эта прямая параллельна прямой ,
имеем
. (Иначе прямые совпадут.)
Итак, если прямые параллельны, то
Верно и обратное. Если
В самом деле, обозначая
, то прямые параллельны.
, имеем
.
. Вновь
уравнение первой прямой запишется как
.
32
И эта прямая параллельна прямой , ибо в
противном случае существовала бы их общая точка :
Но тогда
, противоречие.
Вывод: прямые и
2. Пусть прямые и
щие векторы
и
.
параллельны тогда и только тогда, когда
совпадают. Тогда снова их направляю-
. (27)
коллинеарны. Имеем
.
Тогда уравнение первой прямой запишется в виде
.
А эта прямая совпадает с прямой Рассматривая
любую точку на первой прямой (а значит, и на второй),
получаем
И, значит,
и
Обратное утверждение очевидно, так как если
.
.
,
то уравнения прямых пропорциональны, и значит, задают одно и
тоже множество точек – прямые совпадают.
Вывод: прямые и
совпадают тогда и только тогда, когда
. (28)
3. Критерий того, что прямые пересекаются, получается очевид-
ным образом, так как это последний оставшийся случай.
Вывод: прямые и
пересекаются в одной точке тогда и
только тогда, когда
. (29)
Задача 14. – трапеция с основаниями и , длины ко-
торых относятся как . Уравнение прямой имеет вид
.
33
Точка пересечения диагоналей О имеет координаты (1, 2). Найти
уравнение прямой .
Рассмотрим произвольную точку на прямой . Ясно,
что треугольники и подобны с коэффициентом подобия 3:
.
Обозначим через точку пересечения прямых и . Тре-
угольники и также подобны с коэффициентом 3:
.
Точка (пусть её координаты ) лежит на прямой , значит,
. (30)
Запишем в координатах векторное равенство
.
:
Отсюда получаем:
.
Подставляя эти выражения в соотношение (30), получим искомое
уравнение прямой :
. (31)
Видно, что, как и должно быть, прямые (30) и (31) параллельны.
2.3. Расположение точек относительно прямой
Рассмотрим прямую на плоскости. Как известно, дополнение
состоит из двух связных открытых выпуклых множеств, называе-
мых (открытыми) полуплоскостями с границей .
Введём аффинную систему координат . Тогда уравнение
прямой имеет вид:
. ( (32)
Тогда точка не принадлежит (т. е. принадлежит допол-
нению к ней) тогда и только тогда, когда
.
Мы видим, что дополнение прямой состоит из двух множеств
: },
: }.
Нетрудно проверить, что оба эти множества открытые, выпуклые
и связные (любые две точки соединяются отрезком, целиком лежа-
34
щим во множестве). Поэтому и
являются (открытыми) полу-
плоскостями с границей .
Заметим, что деление полуплоскостей на положительную и от-
рицательную условное – оно зависит от выбора уравнения прямой .
Например, если ту же самую прямую задать уравнением
,
то ясно, что положительная и отрицательная полуплоскости поменяются местами.
Задача 15. Доказать, что если вектор отложить от лю-
бой точки прямой , то он укажет на положительную
полуплоскость
.
В самом деле, конец этого вектора будет иметь координаты
.
Значит, в силу того, что точка лежит на , имеем
.
Итак, точка лежит в
.
Что и требовалось доказать.
Задача 16. Найти величину того угла между прямыми
и ,
в котором лежит точка (1, 3). Система координат прямоугольная
декартова.
Найдём вначале, в какой полуплоскости – положительной или
отрицательной – относительно каждой из двух прямых лежит данная точка.
Имеем и . Наша точка лежит
в
относительно первой прямой и в
относительно второй. По-
этому если отложить вектор нормальный к первой прямой,
от любой точки первой стороны угла, в котором лежит наша точка,
то этот вектор будет направлен во внешнюю сторону от угла. А век-
тор , перпендикулярный ко второй прямой, будучи отложен-
ным от любой точки второй стороны угла, будет направлен внутрь
угла (см. задачу 15 и рис. 6). Поэтому, если отложить векторы и
(подходящих длин) от вершины нашего угла вдоль лучей – сто-
35
рон угла, то очевидно, что рассмотренные выше векторы и
Рис. 6
получаются поворотом и на 90°. Значит, величина иско-
мого в задаче угла равна величине угла между векторами и
.
:
Итак, искомый угол тупой и равен
.
Задача 17. На плоскости дан треугольник с уравнениями
прямых
и точки . Выяснить, какие из этих точек
лежат внутри треугольника, а какие вне треугольника. Система
координат аффинная.
Нетрудно видеть, что треугольник есть пересечение трёх
полуплоскостей с границами АВ, ВС и СА (для каждой из этих пря-
мых надо выбрать ту из двух полуплоскостей и
, в которой
лежит наш треугольник). Как же определить выбор этих трёх знаков
(«» или «» для каждой из указанных выше прямых)? Для этого
достаточно найти координаты вершин А, В, С, решая следующие
три системы линейных уравнений.
Для вершины А (пересечение прямых АВ и СА)
получаем А(2, 1).
Аналогично, для вершины В (пересечение прямых АВ и ВС)
36
получаем В(6, 2).
И, наконец, для вершины С (пересечение прямых ВС и СА)
получаем С(3, 4).
Подставляя координаты точки С в левую часть уравнения прямой
АВ, имеем
,
значит, относительно АВ надо выбирать
.
Аналогично, для прямой ВС и вершины А, получаем
,
снова выбираем с границей ВС.
И, наконец, для прямой СА и вершины В, получаем
,
теперь выбираем
с границей СА.
В итоге, точка лежит внутри треугольника тогда и
только тогда, когда при подстановке координат точки в левые
части уравнений сторон мы должны получить знаки « ».
Для точки получаем в левых частях . Значит, эта
точка лежит внутри треугольника АВС.
Для точки получим для первой стороны АВ, дальше
считать уже нет необходимости: эта точка лежит вне треугольника.
Для точки имеем . Стало быть, эта точка лежит
вне треугольника, но в данном случае нам пришлось считать до
конца.
Задача 18. На плоскости задан треугольник АВС с вершинами
, , . Пересекает ли прямая
треугольник АВС ? Выяснить этот вопрос для прямых
3 и .
Система координат аффинная.
Интересно, что проще будет ответить на противоположный во-
прос: при каком условии наша прямая не будет пе-
ресекать треугольник АВС? Действительно, пересечения не будет
тогда и только тогда, когда треугольник АВС лежит по одну сторону
от прямой . А это равносильно тому, что точки А, В,
С лежат по одну сторону от этой прямой, это означает, что числа
37
,
имеют один и тот же знак.
Для прямой 3 получаем числа
, или 3, 8
разных знаков. Значит, прямая 3 пересекает треуголь-
ник АВС.
А для прямой получаем
, или , ,
т. е. числа одинаковых знаков. Значит, прямая не пе-
ресекает треугольник АВС.
Задача 19. На плоскости дана полуплоскость .
Рассмотрим луч АВ с началом и ещё одной точкой .
Лежит ли этот луч целиком в данной полуплоскости? Тот же во-
прос для луча с началом и ещё одной точкой .
Зададим луч АВ параметрически, используя начальную точку
и направляющий вектор :
.
Подставим эту произвольную точку луча в левую часть уравнения прямой:
для любого .
Значит, луч АВ целиком лежит в полуплоскости .
Аналогично, для луча получаем параметрическое уравнение
.
Подставляем произвольную точку этого луча в левую часть
уравнения прямой:
.
Ясно, что для достаточно большого это выражение отрица-
тельно, значит, луч лишь частично лежит в полуплоскости
.
Задача 20. На плоскости дан угол АВС меньше развёрнутого с
вершиной В(2, 1) и точками А(3, 2) и С(4, 2) на его сторонах. Пересекает ли этот угол:
38
прямая прямая
прямая ?
Геометрически очевидно, что прямая не пересекает угол тогда и
только тогда, когда этот угол лежит целиком по одну сторону от
прямой.
Напишем параметрические уравнения сторон угла АВС:
ВА:
ВС:
Рассмотрим сначала прямую
;
.
. Подставляем произвольную точ-
ку луча ВА в левую часть её уравнения:
.
Видно, что при это выражение отрицательно, а, скажем,
при и бóльших значений – положительно. Это уже значит, что
прямая
Теперь возьмём прямую
луча ВА в левую часть уравнения
пересекает наш угол.
. Подставляем произвольную точку
:
для всех .
Значит, луч ВА лежит целиком в полуплоскости
прямой
.
относительно
Далее подставляем координаты произвольной точки луча ВС:
для всех .
Стало быть, луч ВС также лежит целиком в полуплоскости
Геометрически ясно, что, если обе стороны угла, величина кото-
рого меньше 180°, лежат целиком в некоторой полуплоскости, то и
весь угол целиком лежит в этой полуплоскости. (Объясните почему!)
Указание: воспользуйтесь выпуклостью полуплоскости и представьте угол движением отрезка, концы которого движутся вдоль
сторон луча, стартуя одновременно из вершины. Где было исполь-
зовано условие ?
Значит, наш угол АВС целиком лежит в полуплоскости
следовательно, прямая
Рассмотрим напоследок прямую
не пересекает угол АВС.
. Подставляем произвольную
и,
точку луча ВА в левую часть её уравнения:
для всех .
39
Значит, луч ВА целиком лежит в относительно
.
Подставляем теперь произвольную точку луча ВС в левую часть
уравнения:
.
Видим, что луч ВС проходит по обеим сторонам прямой
(в
положительной и отрицательной полуплоскостях). Значит, прямая
заведомо пересекает угол АВС.
2.4. Перпендикулярность прямых, угол между прямыми
Во всех рассуждениях и задачах данного раздела система координат прямоугольная декартова.
Рассмотрим вначале следующую задачу.
Задача. Доказать, что вектор является нормалью (пер-
пендикулярным вектором) прямой .
Действительно, как мы видели выше, вектор
является
направляющим вектором прямой . С другой стороны, векторы
и
перпендикулярны, так как их скалярное произведе-
ние равно нулю (напомним, что система координат прямоугольная
декартова):
.
Итак, вектор – нормаль к прямой .
Очень важно помнить, что этот вектор является нормальным к
прямой только в декартовой прямоугольной системе координат!
Задача 21. Вычислить угол между прямыми
и
.
Как известно, угол между прямыми – это наименьший из четырёх углов, образованный этими двумя прямыми (в предположении,
что они не совпадают и не параллельны).
Ясно, что угол между прямыми равен углу между прямыми, соответственно перпендикулярными к ним. Их направляющие векторы равны, как мы видели,
и
. Угол между прямыми
равен углу между этими векторами (если он острый) или углу,
дополнительному до 180° (если он тупой).
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]