Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
Задача 44. Найти площадь треугольника с вершинами
, ,
в пространстве. Система коорди-
нат прямоугольная декартова.
Наверное, самый нерациональный способ решения этой задачи –
вычислить длины сторон треугольника и далее использовать формулу Герона. Конечно, мы так делать не будем!
Можно было бы также найти две стороны треугольника и угол
между ними, используя, скажем, скалярное произведение векторов
и
.
Однако самый короткий способ – вычислить векторное произве-
дение и его модуль , равный площади паралле-
лограмма, построенного на этих векторах. Очевидно, что искомая
площадь треугольника
.
Имеем , . В силу формулы (51) имеем
Значит,
.
Задача 45. Доказать формулу со звучным (и легко запоминае-
мым) названием «бац минус цап» для двойного векторного произве-
дения трёх произвольных векторов
. (52)
Для запоминания расстановки скобок в левой части надо заметить,
что левая часть формулы перпендикулярна вектору , а значит,
лежит в плоскости, порождённой векторами (если, конечно, они
неколлинеарны), что соответствует правой части формулы.
Также очевидно (вычисляя скалярное произведение правой части с
вектором ), что правая часть формулы перпендикулярна вектору .
Поэтому мы достаточно просто увидели, что формула (52) верна
с точностью до скалярного коэффициента (в случае неколлинеарных
81
; если же они коллинеарны, то в обеих частях формулы (52) с
очевидностью будут стоять нулевые векторы).
Однако подтвердить непосредственно совпадение направлений и
длин обеих частей достаточно сложно. Поэтому применим другие
рассуждения. Вновь достаточно рассмотреть лишь случай, когда
неколлинеарны.
Заметим, что обе части равенства (52) линейно зависят от векто-
ра
(также, как и от остальных двух векторов) – это следует из ли-
нейности векторного и скалярного произведения, и свойств умно-
жения вектора на скаляр. С другой стороны, для векторов
равенство (52) очевидно (оно превращается в равенство
этому истинность равенства (52) не изменится при замене вектора
). По-
на любой вектор вида . А значит, мы можем считать без ограничения общности, что векторы перпендикулярны. Умноже-
ние вектора или вектора на скаляры не изменяет истинности
(52). Поэтому мы можем считать их длину единичной. Введём такой
ортонормированный базис
,
,
,
такой, что
,
.
Ясно, что этот базис положительно ориентированный (в силу
определения векторного произведения). Разложим вектор по это-
му базису:
Тогда левая часть
,
и правая часть
равна левой.
Что и требовалось доказать.
Задача 46 (задача 203 [4]). Для обычного умножения чисел вы-
полняется правило ассоциативности
Выяснить, для каких троек векторов выполняется равен-
ство
. (53)
82
Используем формулу «бац минус цап»:
;
Переписываем (53) в виде
Или
(54)
Ясно, что (53) выполняется, если хотя бы один из векторов нулевой. Пусть теперь все векторы ненулевые.
Если , то в силу получаем . А если
, то получаем
, т. е. векторы коллинеарны.
Итак, равенство (53), равносильное равенству (54), выполняется
ровно в следующих случаях:
1) хотя бы один из векторов нулевой;
2) вектор перпендикулярен векторам ;
3) векторы коллинеарны.
Задача 47 (задача 205 [4]). Изучить возможность деления для
векторного умножения. Найти необходимое и достаточное усло-
вие разрешимости уравнения (
(55)
Найти общее решение этого уравнения.
По определению, необходимым условием разрешимости (55) яв-
ляется перпендикулярность .
Домножим равенство (55) векторно слева на вектор :
.
Используя формулу «бац минус цап» (задача 45), имеем
.
Обозначая скаляр , получим или
, где
.
83
И обратно, возьмём произвольный вектор вида
с
некоторым значением скалярного параметра .
Тогда, учитывая свойство
и формулу «бац минус цап»,
получим (в предположении перпендикулярности
(
(
(
.
Итак, необходимым и достаточным условием разрешимости яв-
ляется перпендикулярность векторов . При этом условии общее
решение уравнения (55) имеет вид
, в котором скаляр-
ный параметр принимает любые значения.
4.3. Смешанное произведение векторов
Рассмотрим трёхмерное ориентированное векторное пространство со скалярным произведением. Тогда мы можем определить
смешанное произведение произвольных трёх векторов , , следу-
ющим образом
, ,
где – объём параллелепипеда, порождённого векторами , , ,
если отложить их от одной точки (скажем, от начала координат).
Более точно, указанный параллелепипед определяется так:
.
Решение следующей задачи объясняет термин смешанное произведение (справа мы видим «смесь» векторного и скалярного произведений).
Задача 48. Доказать тождество
. (56)
84
Рассмотрим для начала случай компланарных векторов , , .
По определению, слева стоит число 0. Компланарность векторов ,
, означает, что для некоторой плоскости П каждый из трех векто-
ров либо лежит в ней, либо параллелен ей. Тогда, по определению
векторного произведения, вектор
либо нулевой, либо перпен-
дикулярен плоскости П. В любом случае, векторы и перпен-
дикулярны, и правая часть тождества (56) также равна нулю.
Пусть теперь векторы , , некомпланарны. Тогда, будучи от-
ложенными от начала координат , они порождают настоящий па-
раллелепипед Р объёма . Обозначим через концы векторов
, , .
Спроецируем точку перпендикулярно на плоскость . Обо-
значим через проекцию точки . Тогда из школьной стереомет-
рии мы имеем
.
Вспоминая определение векторного произведения, имеем
Далее имеем
Ясно, что .
Сопоставим теперь векторы и
. Оба вектора перпенди-
кулярны плоскости , значит, они коллинеарны. Весь вопрос в
том, сонаправлены они или противоположно направлены. Переме-
щая точку к точке вдоль отрезка
тройки векторов , , и , ,
ваны. Но, по определению, тройка векторов , ,
тельно ориентирована. Вывод: векторы и
тогда и только тогда, когда тройка векторов , ,
, нетрудно увидеть, что
одинаково ориентиро-
положи-
сонаправлены
положи-
тельно ориентирована.
Если это так, то имеем в левой части (56) .
А в правой части имеем
85
Если же тройка векторов , ,
на, то векторы и
противоположно направлены, поэтому
отрицательно ориентирова-
имея в левой части , получим в правой части
.)
(Нетрудно показать, что для любых двух векторов
Окончательно, используя формулу приведения из тригонометрии, получаем
Задача полностью решена.
.
Замечание. Зачастую формула (56) принимается в качестве
определения смешанного произведения.
В силу (56) и уже известных нам свойств векторного и скалярного произведений, получаем следующие свойства смешанного произведения:
1) зависит от каждого из аргументов линейно, скажем:
;
2) имеется следующая зависимость от порядка аргументов
3) векторы , , компланарны
Задача 49. Доказать, что в прямоугольной декартовой системе
координат с положительным базисом смешанное произведение записывается в виде
(57)
Используем формулу (56) и формулу для векторного и скалярно-
го произведения в декартовых прямоугольных координатах:
86
.
Формула доказана.
Как следствие, обоснуем уравнение для плоскости П, проходя-
щей через точку
и имеющей направляющие векторы
и :
.
В самом деле, точка лежит на плоскости П тогда и
только тогда, когда векторы ,, компланарны (напомним, что
векторы неколлинеарны). А по свойству (3) смешанного про-
изведения это равносильно равенству
(,, ,
что в силу результата задачи 49 означает, что
.
Задача 50 (задача 202(1) [4]). Доказать тождество
Опишем сначала, как не нужно решать данную задачу: не стоит
вводить декартову прямоугольную систему координат и записывать
обе части тождества через все двенадцать координат четырёх векторов. Этот путь очень громоздкий, хотя при достаточном терпении и
свободном времени возможный.
Поступим по-другому, в бескоординатном стиле. Начнём преоб-
разование с левой части, используя (56) и свойство (2) смешанного
произведения:
87
Теперь используем формулу «бац минус цап»:
.
Значит,
=
.
Искомое тождество доказано.
Задача 51 (задача 202(5) [4]). Доказать тождество
Матрица, определитель которой вычисляется в правой части тожде-
ства, носит название матрицы Грама системы векторов , , .
Напишем формулу (57) в двух вариантах, используя свойство
определителя транспонированной матрицы:
Далее применим свойство определителя произведения матриц:
(Определитель произведения равен произведению определителей;
вспомним также определение произведения двух матриц и формулу
для скалярного произведения в прямоугольной декартовой системе
координат.)
Если теперь вспомнить принятое здесь определение смешанного
произведения, то получим важное следствие: объём параллелепипе-
88
да, построенного на векторах , , , равен квадратному корню из
определителя Грама этих векторов:
, ,
.
Задача 52 (теорема синусов для сферического треугольника).
Рассмотрим «треугольник» на сфере с центром радиуса .
Это означает, что три точки на сфере, не лежащие на одной
окружности большого круга (т. е. окружности радиуса ) и попар-
но не противоположные, соединяются попарно меньшими дугами
окружностей радиуса (рис. 8). Заметим, что для любых двух не
противоположных точек на сфере существует единственная со-
единяющая их меньшая дуга окружности радиуса . Нетрудно ви-
деть, что угол треугольника , определяемый как угол между
касательными к сторонам и (дугам окружностей), равен
двугранному углу между плоскостями и . Аналогично для
углов . Обозначим длины сторон треугольника как , как
это принято для треугольника ( есть длина стороны и т. д.).
Тогда имеет место теорема синусов
(58)
Вполне очевидно, что достаточно доказать (58) для частного слу-
чая Ключ к задаче – введение векторов ,
(единичной длины).
Имеем
, ,
.
89
,
,
Рис. 8
Угол лежит в пределах , его синус положителен, следова-
тельно,
Используя задачу 50, получим теперь
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]