Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
Из определения скалярного произведения и формулы для него в
прямоугольной декартовой системе координат, имеем, что
.
Наконец из формулы приведения получа-
ем выражение для угла между прямыми
Важно не забывать ставить модуль в числителе (запомнить это
просто – угол между прямыми лежит в диапазоне
, значит, ко-
. (33)
синус обязан быть неотрицательным).
Формулу (33) надо отдельно проверить для случаев совпадающих или параллельных прямых (тогда векторы
и
коллинеарны и в (33) получаем и , как и должно
быть).
Задача 22. На плоскости расположен треугольник , уравне-
ния сторон которого имеют вид:
а)
б)
Найти (внутренние) углы треугольника в каждом из этих случаев.
Начнём с треугольника из п. а).
Используя предыдущую задачу (формула (33)), мы легко можем
найти углы между каждой парой прямых:
,
.
,
Но проблема состоит в том, что эти углы не обязательно совпадают с внутренними углами треугольника – некоторые из них могут
быть дополнительными до . Заметим, однако, что углы между
прямыми всегда острые, а тупой внутренний угол в треугольнике
может быть максимум один. Нетрудно видеть, что если один из углов в треугольнике тупой, то по теореме о внешнем угле треуголь-
ника наибольший из углов , и
будет равен
сумме двух других из них (а для остроугольного треугольника, углы
, и совпадают с внутренними углами тре-
41
угольника , и, значит, наибольший из них равен минус сумма
двух других).
В данном случае наибольший угол (с наименьшим косинусом) –
это угол
.
Найдём
+ ) =
=
=
(при вычислении синусов углов мы учитываем, что эти синусы положительны).
Поскольку аргументы косинусов
( + ) и (
)
лежат в диапазоне (0, ), мы находим
.
Значит, наш треугольник остроугольный с углами (в порядке
убывания)
Обратимся теперь к треугольнику из п. б).
Находим вновь попарные углы между прямыми, содержащими
стороны треугольника:
Наибольший из углов – это
,
(с наименьшим косинусом).
.
,
Вычисляем
) =
.
=
+
=
=
Отсюда получаем (в силу диапазона аргументов косинуса в левой
и правой части) +
. Значит, в данном случае
треугольник тупоугольный, и его тупой угол равен .
Итак, углы нашего треугольника (в порядке убывания):
42
Задача 23. Найти точку, симметричную точке относи-
тельно прямой
.
Проведём через точку прямую
, перпендикулярную
прямой . В качестве направляющего вектора возьмём нормальный
вектор прямой . Параметрические уравнения прямой
бу-
дут иметь вид:
(34)
Найдём значение параметра , при котором точка попадёт на
прямую :
.
Ясно, что симметричную точку мы получим, взяв удвоенное значение параметра
.
Подставляя это значение в равенства (34), получим координаты точ-
ки, симметричной точке относительно прямой :
Пример. Возьмём прямую . Тогда для точки
симметричной ей будет точка с координатами
Как и должно быть, симметричной будет точка .
2.5. Расстояние от точки до прямой
Задача 24. Найти расстояние от точки до прямой
.
43
Воспользуемся результатами решения предыдущей задачи.
А именно, расстояние от точки до прямой равно расстоя-
нию от до перпендикулярной проекции точки на прямую .
Координаты точки
получаются в равенствах (34) при значении
.
Искомое расстояние
.
Окончательно получим
. (35)
Задача 25. Найти уравнение прямой, содержащей биссектрису
того угла между прямыми
и ,
в котором лежит точка .
Вспомним, что точки, лежащие на биссектрисе угла, равноудалены от сторон угла. Более того, геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от двух непараллельных прямых − это объединение биссектрис четырёх углов, образованных этими прямыми (ясно, что мы имеем две пары вертикальных углов, значит, получаются
две взаимно перпендикулярные прямые). Напишем это условие равенства расстояний (формула (35)):
(36)
Выбор одного из двух знаков даёт одну из двух прямых, содержащих биссектрисы. Вопрос теперь в том, какой из знаков выбрать,
чтобы получилась прямая, содержащая биссектрису угла, в котором
лежит точка . Вспомним, что выбор одного из четырёх углов,
образованных двумя пересекающимися прямыми, определяется вы-
бором полуплоскостей или
для каждой из двух прямых.
Например, один из углов задаётся системой
Его можно назвать углом « ». Внутри какого угла лежит наша
точка ?
44
Подставляя её координаты, получаем
Таким образом, точка лежит внутри угла « ». Такие знаки и
следует выбирать при раскрытии модулей в равенстве (36). Мы получим прямую
.
Или, преобразуя, получим .
Задача 26. Найти центр и радиус окружности, вписанной в
треугольник с вершинами , , .
Обозначим центр вписанной окружности через . Найдём
уравнения сторон треугольника по формуле
для прямой, проведенной через две точки и
или
или
или
Напишем условие того, что точка находится на расстоя-
нии от каждой из сторон:
(37)
Теперь вопрос в том, как раскрывать знаки модулей. Для этого
посмотрим, какие знаки имеют выражения , и
внутри треугольника .
Достаточно подставить координаты вершин треугольника в левые части уравнений противоположных им сторон:
,
.
Раскрываем модули в (37):
.
45
Получаем систему:
Из системы находим координаты центра вписанной окружности:
,
.
Радиус находим из формулы (37)
.
Замечание. А что же будет, если мы раскроем модули в (37) с
другими знаками? Нетрудно понять, что мы получим центры и радиусы трёх вневписанных окружностей (т. е. окружностей, касающихся стороны треугольника и продолжений двух других сторон).
Задача 27. Вычислить расстояние между двумя параллельными
прямыми
и .
Очевидно, что расстояние между прямыми и
янию от произвольной точки до прямой
равно рассто-
(длина общего
перпендикуляра между ними). Ясно, что это расстояние не зависит
от выбора точки . Если эта точка имеет координаты ,
то имеем
, значит,
Следовательно, расстояние от точки до прямой
.
находится
по формуле (35)
Итак, для искомого расстояния между и
,
.
.
получаем
Задача 28. Найти уравнение прямой, содержащей биссектрису
острого угла между прямыми
и .
Вновь, как и в задаче 25, напишем объединённое уравнение для
прямых, содержащих биссектрисы всех четырёх углов, образованных нашими двумя прямыми
. (38)
46
И снова возникает вопрос, с какими знаками следует раскрыть
эти модули внутри острого угла, образованного данными прямыми.
Как мы знаем, у нас есть векторы
и
пендикулярные, соответственно, прямым и
, пер-
. При этом, если
откладывать их от любой точки этих прямых, то векторы будут
направлены в сторону «положительных» полуплоскостей
. Вы-
числим теперь скалярное произведение
.
Значит, угол между этими векторами тупой. Возьмём произ-
вольно точку внутри угла « » (т. е. внутри пересечения двух
полуплоскостей
для этих прямых).
Этот угол задаётся как
Опустим из точки перпендикуляры и на прямые
. Ясно, что векторы
векторам
и
. Обозначим через точку пересечения прямых
и
и . Рассмотрим четырёхугольник
равна
. Поскольку угол ту-
пой, то угол острый. Итак, этот угол
(39)
соответственно, сонаправлены
. Тогда величина угла
и есть искомый
и
острый угол между прямыми. В силу (39) мы можем раскрыть модули в (38), получая уравнение биссектрисы острого угла:
или
или
Это и есть искомое уравнение биссектрисы острого угла.
47
ТЕМА 3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Уравнения прямых в пространстве
Рассмотрим теперь трёхмерное евклидово пространство
. Для
простоты можно считать, что мы работаем в арифметическом трёх-
мерном пространстве
.
Пусть – прямая в
. Рассуждаем аналогично случаю прямой
на плоскости.
1. Векторное параметрическое уравнение.
Введём точку наблюдения в пространстве. Любая точка однозначно задаётся её радиус-вектором . Рассматриваем
начальную точку на прямой с радиус-вектором
. Возьмём
ненулевой вектор коллинеарный прямой (направляющий вектор
прямой ). Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда
вектор коллинеарен вектору , что равносильно равенству
для некоторого числа .
Значит, радиус-вектор удовлетворяет соотношению
+ .
Соотношение
+ (40)
векторное параметрическое уравнение прямой, дословно совпадающее с аналогичным уравнением на плоскости.
2. Скалярные параметрические уравнения прямой.
Помимо точки , вводим базис
,
,
и получаем аффинную
систему координат . Тогда произвольная точка задаётся
своими координатами согласно формуле
Подставляя эту формулу и аналогичную для
нивая коэффициенты при
,
+
,
получим следующие уравнения
.
в (40) и прирав-
Эти уравнения – скалярные параметрические уравнения прямой.
48
3. Канонические уравнения прямой.
Как и в случае прямых на плоскости, переписываем параметрические уравнения прямой в виде
.
Записывая это соотношение без параметра , получаем канониче-
ские уравнения прямой:
3.2. Уравнения плоскостей в пространстве
Пусть теперь П – произвольная плоскость в
.
1. Векторное параметрическое уравнение.
Зададим сначала плоскость П векторным способом. Пусть –
точка наблюдения в пространстве. Введём начальную точку
плоскости П с радиус-вектором
. Введём также два неколлинеар-
на
ных вектора и параллельных плоскости П (пару этих векторов
можно назвать парой направляющих векторов плоскости). Точка Р
лежит на плоскости П тогда и только тогда, когда вектор
есть
некоторая линейная комбинация векторов и : для
некоторых значений параметров и .
Для радиус-вектора получаем
Это векторное параметрическое уравнение плоскости П.
2. Скалярные параметрические уравнения плоскости.
Как и для случая прямой, раскладывая вышеуказанное уравнение
по координатам, получаем скалярные параметрические уравнения
плоскости:
(41)
3. Общее уравнение плоскости.
Чтобы перейти от (41) к общему уравнению плоскости, надо ис-
ключить параметры . Векторы и неколлинеарны, поэтому их
49
координаты не пропорциональны: в цепочке равенств
хотя бы одно из них неверно. Например,
. Поэтому из первых
двух уравнений (41) мы находим (по правилу Крамера):
,
.
Подставляя эти выражения в третье уравнение (41), получим соотношение вида
называемое общим уравнением плоскости в пространстве.
Здесь надо потребовать, чтобы .
Задача 29. Как известно из курса стереометрии, для любых
трёх точек пространства, не лежащих на одной прямой, существует единственная плоскость их содержащая. Рассмотрим три
точки , , . Требуется проверить, что они
не лежат на одной прямой и провести плоскость П через них.
Чтобы понять, что эти точки не лежат на одной прямой, вычислим векторы
Очевидно, что эти векторы неколлинеарны (координаты не пропорциональны). Значит, наши три точки не лежат на одной прямой.
Самый прямой и простой способ задать искомую (единственную)
плоскость П – векторное и скалярное параметрические уравнения.
Действительно, мы уже вычислили два неколлинеарных направля-
ющих вектора и
. В качестве начальной точки на плоскости П
разумно взять точку . Тогда векторное параметрическое уравнение
для плоскости П примет, очевидно, вид:
+
.
Расписывая в координатах, получим скалярные параметрические
уравнения:
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]