Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
Отсюда можно получить и общее уравнение для плоскости П.
Для этого выразим параметры и из каких-либо двух уравнений
системы (это всегда возможно, так как направляющие векторы неколлинеарны). В нашем случае проще всего использовать первые
два уравнения. Получим последовательно
Подставляя эти выражения в оставшееся (в данном случае третье) уравнение, после преобразований, получим общее уравнение
для плоскости П:
или
.
Разумеется, это уравнение можно было бы находить и по-
другому. Вводя неизвестные параметры , записываем об-
щее уравнение в виде
.
Далее напишем условия того, что наша плоскость содержит заданные три точки. Получим систему из трёх уравнений для четырёх
неизвестных:
Решение этой системы единственно с точностью до умножения
параметров на одно и то же ненулевое число. Отсюда и
получаем искомое общее уравнение плоскости П (с точностью до
умножения на ненулевое число). Ясно, что этот метод более трудоёмкий.
Если вы владеете теорией определителей, то сможете сразу написать общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные
точки , , , не лежащие на одной
прямой:
(В самом деле, определитель равен нулю тогда и только тогда, когда
его строки линейно зависимы. Поскольку наши три точки не лежат
на одной прямой, вторая и третья строки не пропорциональны, а
51
значит, линейная зависимость строк означает то, что первая строка
является линейной комбинацией второй и третьей. А это и есть век-
торное параметрическое уравнение плоскости с начальной точкой
и направляющими векторами и
.)
По-другому, можно было бы рассуждать так. Если разложить
определитель по первой строке, то видно, что уравнение задаёт не-
которую плоскость. Подставляя вместо координаты точек ,
, , можно легко увидеть, что они лежат на этой плоскости (в
определителе либо первая строка нулевая, либо есть две одинаковые
строки). Значит, это и есть искомая плоскость.
Для наших конкретных точек получим
или
.
Разлагая определитель по первой строке, получим
Или, сокращая на , получим
Решим теперь аналогичную задачу.
Задача 30. Провести плоскость П через точку и пря-
мую
Видно, что точка не лежит на прямой ( не годится). По-
этому искомая плоскость единственная. Подставляя вместо пара-
метра значение 0, получим начальную точку
на прямой:
. Рассматривая коэффициенты при , получим направля-
ющий вектор прямой:
.
Для составления векторного параметрического уравнения иско-
мой плоскости П мы возьмём в качестве начальной точку
, а в ка-
честве направляющих векторов – векторы и
(они неколлинеарны, поскольку точка не лежит на прямой).
52
Вот оно – векторное параметрическое уравнение:
.
Или в координатах
Интересно, что при получаем как раз параметрические
уравнения прямой .
А точка получается при и .
Как и в предыдущей задаче, преобразуем скалярные параметрические уравнения в общее уравнение плоскости:
,
,
или
.
Задача 31. Провести прямую через точку
так,
чтобы она пересекала прямые
и
Рассмотрим два пути решения данной задачи. Должны быть вы-
полнены три условия для прямой : она должна 1) проходить через
точку , 2) пересекать прямую , 3) пересекать прямую
. Дьердь
Пойа, на которого мы постоянно ссылаемся, рекомендует следующий подход. Рассмотрим совокупность прямых, которые удовлетворяют только каким-то двум из трёх условий, а потом среди этих
прямых найдем ту, которая удовлетворяет оставшемуся третьему
условию. Различные решения возникают при выборе конкретных
двух условий.
При первом способе рассмотрим вначале все прямые, которые
удовлетворяют условию 2 и 3. Для этого зафиксируем точки пересе-
чения и , далее проведём
прямую через них:
.
53
Теперь попробуем удовлетворить оставшемуся условию 1. Под-
ставляем координаты точки
:
или
.
Отсюда получим
.
Уравнение искомой прямой будет иметь вид
или
.
Точка пересечения с прямой : , а с прямой : ).
Очевидно, что данная прямая проходит через точку
. Как
следует из решения, такая прямая единственна.
Обратимся теперь ко второму пути решения. Для этого сначала
рассмотрим прямые, удовлетворяющие условиям 1 и 2. Ясно, что
все эти прямые лежат в некоторой плоскости
. Найдём эту плос-
кость. Сделаем это для разнообразия методом неопределённых ко-
эффициентов. Пусть задаётся как .
Она содержит точку . Значит, .
Далее, прямая
должна в ней лежать. Это означает, что выпол-
нено тождество , что равно-
сильно системе
В итоге имеем систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными
Отсюда
, , .
Значит, плоскость имеет вид или
.
Далее мы должны удовлетворить оставшемуся условию пересе-
чения с прямой . Для этого подставим сюда уравнение
:
54
.
Или . Значит, точка пересечения −
мая – прямая, проходящая через точки и
, и искомая пря-
:
или
.
Это та же самая прямая (достаточно вычесть единицу из всех
трёх выражений).
Есть ещё одна модификация второго способа. Можно было бы
после нахождения плоскости найти плоскость
через точку и прямую
. Запишем её скалярное параметрическое
, проходящую
уравнение, дополняя уравнения для
(Коэффициенты при – координаты вектора, соединяющего точку
с начальной точкой
прямой ) Преобразуя ска-
лярное параметрическое уравнение в общее уравнение, получаем
для плоскости
:
.
Искомая прямая должна лежать и в плоскости
, а значит, является их пересечением. Стало быть, мы получаем
, и в плоскости
искомую прямую в виде пересечения двух плоскостей
Эта та же самая прямая.
(Достаточно сложить уравнения системы и получить
или . В итоге )
Задача 32. В пространстве с аффинной системой координат
задан угол меньше развернутого с вершиной и с точ-
ками и на сторонах угла. Также даны прямые
и
Требуется узнать, пересекает ли каждая из этих прямых угол
или нет?
55
Для начала напишем уравнение плоскости . Направляющие
векторы и . Значит, векторное пара-
метрическое уравнение имеет вид:
.
или в скалярном виде
Исключая параметры и , получим общее уравнение плоскости
:
Теперь легко найти точку пересечения прямой
с плоскостью
:
.
Получаем точку 3, 1, 9). Она лежит на плоскости , но надо
выяснить, попадает ли она в угол или нет.
Для этого вычислим вектор
по базису
:
и далее разложим его
или в координатах
Находим . Оба эти числа положительны, поэтому
точка попадёт строго внутрь угла . Итак, прямая
пересека-
ет угол .
Аналогично находим точку пересечения прямой
с плоско-
стью :
;
;
Находим . Значит, точка не попадет в угол .
Итак, прямая не пересекает угол .
56
Задача 33. В пространстве натянуты два параллельных провода
и
Птица летит по прямолинейной траектории, задаваемой уравнениями
Спрашивается, пролетает ли птица между проводами или нет?
Найдём для начала общее уравнение плоскости , содержащей
эти два параллельных провода.
Для нахождения векторного параметрического уравнения в каче-
стве начальной точки возьмём точку на прямой
, а в
качестве направляющих векторов – векторы
и
(здесь – точка на прямой , а вектор – общий направ-
ляющий вектор прямых и
). Имеем в координатах
Мы перейдём к общему уравнению, если вычтем первое уравне-
ние из третьего
Из первого уравнения имеем
.
. Под-
ставляя выражения для параметров во второе уравнение, получим
или .
Теперь легко найти точку пересечения траектории птицы с плос-
костью :
; .
Значит, точка пересечения .
Эта точка лежит в плоскости вместе с прямыми ,
и необ-
ходимо выяснить, лежит ли она между ними или нет?
Для этого выразим вектор
через векторы и
.
:
57
Нетрудно видеть, что точка
лежит в полосе между прямыми
и тогда и только тогда, когда .
Теперь напишем в координатах (
):
Отсюда ,
.
Мы видим, что , значит, птица действительно проле-
тает между проводами.
Задача 34. В пространстве расположена треугольная мишень
, при этом координаты вершин треугольника ,
, . Ракета летит равномерно по прямолинейной
траектории с вектором скорости . Координаты точки
старта ракеты
. Поразит ли ракета данную мишень?
Алгоритм решения аналогичен предыдущим задачам. Напишем
вначале общее уравнение плоскости . Для этого на первом шаге
выберем начальную точку
на плоскости и направляющие
векторы и . Записываем скалярные па-
раметрические уравнения плоскости :
Исключая параметры, получим общее уравнение плоскости :
.
(Для проверки полезно подставить координаты точек в это
уравнение. Если для каждой точки равенство будет истинным, то
это гарантированно искомое уравнение в силу единственности
плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.)
Составим параметрические уравнения траектории ракеты, используя координаты точки её старта и вектор скорости:
Найдём теперь точку пересечения этой траектории ракеты с
плоскостью треугольника:
58
Точка пересечения – .
Теперь надо узнать, лежит ли эта точка внутри треугольника
. Для этого выразим вектор через векторы и
.
:
При каких условиях на коэффициенты и точка будет ле-
жать внутри треугольника ?
Ясно, что это равносильно тому, что лежит на некотором от-
резке , где лежит на стороне . На языке векторов это значит, что , где , и
, где
В терминах и это будет означать, что
.
Найдём значения и в нашем случае
( :
.
Имеем для положительных и
.
Значит, точка будет лежать внутри треугольника . Мишень
поражена.
3.3. Взаимное расположение прямых
и плоскостей в пространстве
1. Обратимся сначала к случаю взаимного расположения двух
плоскостей:
Возможны три ситуации: плоскости параллельны, совпадают или
пересекаются (по прямой).
Изучим вначале случай параллельности. По аналогии с взаимным
расположением двух прямых на плоскости нам необходимо найти
по общему уравнению плоскости
59
(какие-либо) направляющие векторы этой плоскости.
Возьмём точку на этой плоскости. Имеем
Какой вектор отложить от этой точки, чтобы его конец также лежал на плоскости?
Используя аналогию со случаем прямой на плоскости, напишем
Значит, вектор
Аналогично, направляющим является вектор
Пусть теперь плоскости и
– направляющий вектор нашей плоскости.
и
параллельны. Векторы
являются направляющими для плоскости
.
. Значит, они же являются направляющими для плоскости
Отложим первый из них от произвольной точки
плоскости . Тогда и начало, и конец принадлежат
, и мы имеем
,
Вычитая эти равенства, имеем
или
от точки
.
Теперь откладываем вектор
плоскости
Итак, имеем
Пусть
. Рассуждая аналогично, получим
.
. Тогда уравнения плоскостей можно пе-
реписать в виде
или
.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]