Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
Отсюда находим
.
В силу полного равноправия упорядоченных троек символов
в нашей задаче, а также симметрии пра-
вой части получившегося равенства, получаем
,
а, следовательно, и искомую цепочку равенств (58) при , а
значит, и при любом :
.
Задача решена.
91
ТЕМА 5. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
И ПРОСТРАНСТВА
5.1. Аффинные преобразования плоскости
Пусть – плоскость. Обратимое отображение
назы-
вается аффинным преобразованием плоскости, если в некоторой
аффинной системе координат оно записывается формулами
первой степени:
(59)
Нетрудно видеть, что данное определение корректно: если отоб-
ражение записывается формулами (59) в некоторой одной аффин-
ной системе координат оно записывается аналогичными
формулами и в любой другой аффинной системе координат
Это следует из следующих формул пересчёта координат.
Координаты произвольной точки плоскости
в аффин-
ной системе координат («старые координаты») выражаются
через координаты этой же точки в системе координат
(«новые координаты») посредством следующих формул:
(60)
Докажем эти формулы (60). Напомним, что аффинные координа-
ты точки определяются в силу равенства
где
суть базисные векторы системы координат .
Аналогично имеем
, где
– базисные векто-
ры «новой» системы координат .
Поскольку
плоскости, имеем для некоторых четырёх чисел
Матрица
образуют базис пространства векторов нашей
размера строится следующим
образом: в её столбцах стоят коэффициенты разложения «новых»
базисных векторов через «старые» базисные векторы.
Имеем также
ты точки
.
, где
– «старые» координа-
.
,
92
Значит,
Приравнивая коэффициенты при векторах
в силу их ли-
нейной независимости, получим соотношения (60).
Для дальнейших рассуждений удобно перейти к матричной запи-
си в соотношениях (59) и (60):
, где
, где
,
,
,
,
.
Отсюда получаем
.
Или, домножая слева это соотношение на обратную матрицу
получим
.
Итак, в «новой» системе координат
наше преобразование
также записывается формулами вида (59) с новой матрицей
и столбцом .
Значит, определение корректно.
Заметим, что обратимость нашего преобразования эквивалент-
на невырожденности матрицы .
Рассмотрим задачу 1163 из задачника [4].
Задача 53 ([4]). Найти неподвижную точку аффинного преобра-
зования плоскости, переводящего три (различные и не лежащие на
одной прямой) точки А, В, С, соответственно, в точки В, С, А.
Прежде всего, введём аффинную систему координат с началом,
скажем, в точке А, и базисными векторами
и
В этой системе координат наше аффинное преобразование запишет-
ся, по определению, в виде , где
(61)
Имеем по условию (точки переходят друг в друга по кругу):
, В ,
,
.
93
или, в координатах,
, , .
Подставляя все эти значения в (61), приходим к линейной системе из шести уравнений относительно шести неизвестных:
Отсюда находим точный вид нашего преобразования в выбранной системе координат:
Теперь найдём все неподвижные точки (т. е. такие, которые переходя сами в себя, остаются на месте). Неподвижность точки
означает, что , или
Откуда получаем
.
Итак, неподвижная точка единственна и имеет координаты
Однако ответ не следует оставлять в таком виде, поскольку условие формулировалось безотносительно какой-либо системы коорди-
нат. Каков же геометрический смысл точки
Вспомним, что коэффициент
встречался нам в формуле для ра-
?
диус-вектора точки пересечения медиан М треугольника АВС. Применительно к данной задаче, мы можем записать
.
Но у нас точка О совпадает с А. Поэтому имеем
Следовательно, точка
– точка пересечения медиан треугольни-
.
ка АВС!
Получается, что наши точки А, В, С «водят хоровод» вокруг точки пересечения медиан треугольника АВС.
94
Рассмотрим теперь задачу 1175 из задачника [4].
Задача 54 ([4]). Найти неподвижные точки и инвариантные
прямые аффинного преобразования плоскости:
Найдём сначала неподвижные точки. Пусть точка непо-
движная. Тогда для её координат имеем
или
Складывая уравнения, находим
единственная неподвижная точка
, а значит, . Итак,
.
Пусть теперь прямая с общим уравнением
инвариантная. Это означает, что её образ при преобразовании сов-
падает с ней самой. Пусть точка , т. е. .
Тогда точка , значит,
или
Ясно, что если , то и хотя бы одно из чисел
и отлично от нуля; поэтому последнее уравнение задаёт
некоторую прямую
. Эта прямая есть ни что иное как прообраз
прямой при нашем преобразовании. Так как прямая инвариант-
на, то и её образ, и её прообраз при преобразовании совпадают с ней
самой. Но два уравнения одной и той же прямой пропорциональны,
т. е.
(62)
В этой цепочке уравнений первое сводится к квадратному урав-
нению относительно
:
.
Очевидный корень и второй корень по теореме Виета –
.
95
В первом случае имеем , и в силу второго уравнения из
(62) имеем:
, значит,
.
Приходим к уравнению первой инвариантной прямой
,
или, сокращая на , получаем
В первом случае имеем
.
или .
В силу второго уравнения имеем:
или
.
Число отлично от нуля (потому, что иначе ). Следовательно,
.
Казалось бы, сокращая справа, мы получаем противоречивое ра-
венство
Означает ли это, что второй случай не приводит ко второй инвариантной прямой?
Оказывается, что нет, не означает. Дело в том, что в пропорции
(62) возможно появление нуля в знаменателе (тогда и числитель
должен быть нулём). Поэтому равенство
возможно при един-
ственном значении . И тогда уравнение второй инвариантной
прямой запишется в виде
или
.
Проверим: если точка лежит на этой прямой, то , а
её образ имеем вид
Поскольку , точка
также лежит на этой пря-
.
мой. Итак, она действительно инвариантна.
В итоге, имеем две инвариантные прямые
и .
96
5.2. Аффинные преобразования пространства
Рассмотрим кратко аналогичные вопросы аффинных преобразований в пространстве.
Обратимое отображение
называется аффинным пре-
образованием пространства, если в некоторой аффинной системе
координат оно записывается формулами первой степени:
, где
В матричном виде запись этого соотношения полностью идентична записи для преобразований на плоскости:
,
где в данном случае
,
,
.
Как и раньше, при переходе к другой аффинной системе координат, вид данных формул сохраняется.
Рассмотрим следующий пример.
Задача 55 (задача 1202* [4]). Найти инвариантные точки, инва-
риантные прямые и инвариантные плоскости аффинного преобразования
Инвариантные точки найти проще всего: пусть такая
точка. Это равносильно системе
или
97
Упрощаем систему
Решаем её методом Гаусса
Или равносильно
Отсюда, вычисляя снизу вверх, получаем , , .
Итак, единственная инвариантная точка нашего преобразования −
это точка .
Теперь найдём инвариантные прямые.
Пусть – векторное параметрическое уравнение иско-
мой инвариантной прямой, а – матричное задание наше-
го преобразования. Инвариантность прямой означает, что любая
точка прямой переходит в некоторую точку этой же пря-
мой. Иными словами, для любого точка
должна быть такой, что
коллинеарно :
.
Легко видеть, что матрица невырожденная ( , по-
этому при вектор .
Тогда слева стоит параметрическое уравнение некоторой прямой
с направляющим вектором . Сравнивая это с тем, что мы видим в
правой части, находим для некоторого
и .
Видим, что направляющий вектор искомой инвариантной пря-
мой – собственный вектор матрицы .
98
Находим собственные числа, решая характеристическое уравнение:
или в данном случае
.
Один из корней очевиден:
Разложим многочлен на множители очевидным образом, выделяя
множитель :
.
Итак, собственные числа нашей матрицы
Найдём вначале собственный вектор, отвечающий значению
. Пишем систему:
Решая её, получим вектор 1, 2, 3} (один из возможных
коллинеарных).
Осталось решить уравнение
Решаем систему и получаем начальную точку прямой
.
Итак, одна из инвариантных прямых имеет вид:
.
Теперь найдём собственные векторы, принадлежащие значению
. Имеем систему:
Она равносильна одному уравнению .
Начальной точкой вновь будет точка (кстати, это
наша инвариантная точка).
Итак, получаем ещё бесконечное семейство инвариантных пря-
мых: они проходят через инвариантную точку и имеют
99
направляющий вектор – любой, удовлетворяющий
условию .
Нам остаётся найти все инвариантные плоскости нашего аффинного преобразования. Пусть инвариантная плоскость П задаётся
уравнением .
Любая точка П переходит при нашем преобразовании
в точку, лежащую также на П. Поэтому имеем для следу-
ющее соотношение:
или, приводя подобные,
Мы уже отмечали, что матрица нашего преобразования невыро-
жденная, поэтому для чисел , , , среди которых есть ненулевые,
хотя бы один из коэффициентов при переменных , , в предыду-
щем равенстве отличен от нуля. Значит, это равенство задаёт неко-
торую плоскость , и мы имеем П
. Но отсюда с очевидно-
стью следует, что эти плоскости совпадают и их уравнения пропорциональны:
Эта цепочка равенств равносильна матричному соотношению
.
Первые три уравнения означают, что вектор является
собственным вектором транспонированной матрицы
с собствен-
ным числом . Собственные числа транспонированной матрицы
всегда совпадают с таковыми для исходной матрицы. Впрочем, в
нашем конкретном случае матрица симметрична: . Поэто-
му собственные числа и собственные векторы нам уже известны.
Возьмём сначала . Тогда имеем собственный вектор
. Коэффициент находится из последнего уравне-
ния: .
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]