Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
нашем векторном пространстве задана ориентация. Проще всего
задать ориентацию предъявлением какого-нибудь конкретного базиса
в качестве «эталона» положительно ориентированных базисов.
Например, в физике, при рассмотрении нашего реального физического трёхмерного пространства, как правило, в качестве эталона
положительно ориентированных базисов выбирается так называемая правая тройка векторов, которая получается, если мы направим первый, второй и третий векторы, соответственно, вдоль большого, указательного и среднего пальцев правой руки человека (разумеется, этот подход – отражение философской идеи о человеке
как меры всех вещей).
Важно понимать, что данный подход хорош для физиков и инженеров, но совершенно не годится для теоретического задания
ориентации в математическом трёхмерном векторном пространстве,
поскольку в нём нет никаких «правых рук». Тем не менее, при решении задач на практических занятиях мы вполне можем нарисовать чертёж некоторой конфигурации, представляя, что она расположена в реальном физическом трёхмерном пространстве и задать
ориентацию с помощью правой руки (и далее, для вычислений, использовать любые правила из физики типа «правила правой руки»,
«правила правого винта» или «правила буравчика»!).
Заметим наконец, что понятие ориентации отражает отличие
правого от левого в нашем физическом пространстве. Можете проделать такой эксперимент: попробуйте совместить движением в
пространстве три пальца (большой, указательный и средний) правой
руки с соответствующими пальцами левой. Вы увидите, что в какой-то момент три пальца правой руки окажутся в одной плоскости,
т. е. перестанут образовывать базис (например, легко добиться совмещения больших и указательных пальцев и далее перемещать
средний палец к среднему. Но в некоторый момент пальцы станут
компланарными!).
Обратимся теперь к нетривиальной задаче 181 из задачника Моденова−Пархоменко [4].
Задача 39 ([4]). Даны три луча в пространстве, не
лежащие в одной плоскости. Внутри углов , и взяты,
соответственно, лучи , и . Установить, одинакова ли
71
ориентация упорядоченных троек лучей и , ,
Рис. 7
или нет (рис. 7)?
Прежде всего, надо понять, что такое «ориентация упорядочен-
ных троек лучей». Пусть – три произвольные луча в
пространстве, не лежащие в одной плоскости. Логично было бы
взять вдоль каждого луча произвольный ненулевой вектор, отло-
женный от точки с концом на луче, скажем, векторы
, и рассмотреть ориентацию этой тройки векторов (эти векторы
,
линейно независимы, так как некомпланарны). Но нам необходимо
проверить корректность такого подхода, а именно, надо доказать,
что если взять другую подобную тройку векторов
,
,
, то
ориентация этой тройки векторов будет той же самой.
Действительно, мы имеем
,
,
,
где числа положительны в силу сонаправленности соответ-
ствующих векторов.
Матрица перехода имеет диагональный вид
и её
определитель , следовательно, тройки действительно имеют
одинаковую ориентацию.
,
72
Выберем теперь векторы , , на лучах , и век-
торы , , на лучах , , . Тот факт, что луч лежит
внутри угла означает, что
,
где, самое главное, , .
Аналогично, и , где
, .
Значит, матрица перехода примет вид
, определи-
тель которой равен ( , поскольку все эти пара-
метры имеют положительные значения. Итак, тройки лучей
и , , имеют одинаковую ориентацию.
Ещё более интересна следующая задача 182 [4].
Задача 40 ([4]). Даны две упорядоченные тройки векторов
,
и
(например,
номерами (например,
,
такие, что векторы с одинаковыми номерами
и
) образуют острый угол, а векторы с разными
и
) перпендикулярны друг другу. Устано-
вить, имеют ли эти тройки векторов одинаковую или противоположную ориентацию.
Как правило, для того, чтобы сравнить ориентацию двух базисов,
необходимо определить знак матрицы перехода между ними. В данной задаче, в отличие от предыдущей, прямое вычисление матрицы
перехода и её определителя весьма затруднительно. Проблема заключается в том, что довольно трудно выразить условия с углами
через элементы матрицы перехода (поскольку базис
,
не
является ортонормированным, и выражения для скалярных произведений будут громоздкими). Что же делать? Нам нужно как-то выразить условия с углами, поэтому введём дополнительный орто-
нормированный базис
,
в качестве «третейского судьи»
между нашими двумя тройками.
Введём две матрицы перехода: от базиса
,
и от базиса
,
к базису
рицы стоят разложения векторов
,
,
. В столбцах мат-
,
по базису
к базису
,
73
,
, а в столбцах матрицы – разложения векторов
,
по тому же базису.
Иными словами,
и
( .
Как теперь записать условия с углами? Мы знаем что-то обо всех
скалярных произведениях между столбцами матриц и (в смысле
суммы произведений соответствующих элементов столбцов). Мы
имеем: скалярное произведение -го столбца матрицы и -го
столбца матрицы положительно (угол острый!), а скалярное про-
изведение -го столбца матрицы и -го столбца матрицы равно
нулю (, угол прямой!). Включая ассоциативное мышление,
вспоминаем определение произведения двух квадратных матриц
(элемент матричного произведения в -й строке и -м столбце
равен скалярному произведению -й строки матрицы и -го
столбца матрицы ). Поэтому мы можем понять, как выглядит мат-
рица (– транспонированная матрица):
и
Ясно, что тогда матрица диагональная и
поэтому
одинаковы. Значит, либо ориентация троек
,
такая же, как ориентация
ориентация противоположна с ориентацией базиса
). В обоих случаях ориентации троек
,
одинаковы.
при .
,
(при ), либо их
,
и знаки
,
,
и
,
(при
и
Задача 41. В пространстве взяты три точки , не лежа-
щие на одной прямой и ещё две точки , не лежащие в плоскости
. Доказать, что если точки лежат по одну сторону от
плоскости (т. е. в одном из двух полупространств), то тройки
векторов , , и , ,
одинаково ориентированы, а
если по разные стороны, то эти две тройки противоположно ориентированы.
74
На этот раз подсчёт знака определителя матрицы перехода доста-
точно сложен, поэтому мы применим другой приём: построение деформаций троек векторов.
Пусть для начала точки лежат в одном и том же открытом
полупространстве с границей . Как нетрудно показать, откры-
тое полупространство является выпуклой фигурой – это означает,
что для наших точек отрезок целиком лежит в этом же по-
лупространстве. Заставим точку двигаться по этому отрезку к
точке :
, ,
где – произвольная точка наблюдения.
Рассмотрим переменную тройку векторов , ,
При это тройка , , , а при это тройка ,
.
Ясно, что рассматриваемая деформация непрерывна. Но надо
ещё убедиться в том, что при каждом тройка векторов
, ,
образует базис. В самом деле, в силу выпук-
лости открытого полупространства, точка не лежит в плоскости . Поэтому, если бы векторы , ,
оказались
компланарны, то точки , лежали бы в одной и той же
плоскости – а именно, плоскости в силу единственности плос-
кости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
Но тогда лежит в плоскости − противоречие.
Итак, непосредственно по определению мы видим, что тройки
векторов , , и , ,
имеют одинаковую ориентацию.
Рассмотрим теперь случай, когда точки лежат в разных от-
крытых полупространствах с границей . Теперь предыдущая
идея не поможет, поскольку при движении точки к точке по от-
резку в некоторый момент точка попадёт на плоскость и тройка векторов станет линейно зависимой. Но это и не доказывает противоположное утверждение о том, что исходные тройки имеют разную
ориентацию.
Давайте вначале превратим треугольник в равносторонний.
А именно, точка не лежит на прямой . Выберем такую точку
в плоскости по ту же сторону от прямой , что и точка ,
чтобы треугольник
был равносторонним. В силу выпуклости
открытой полуплоскости с границей мы можем соединить точки
.
,
75
и
смотреть движение вдоль него от точки до
трудно видеть, что в каждый момент тройка векторов
,
на прямую ). Значит, по определению, тройки векторов ,
отрезком, целиком лежащим в этой полуплоскости, и рас-
является линейно независимой (иначе точка
попадёт
. Не-
и , , одинаково ориентированы. Аналогично, тройки
, , и , ,
необходимо сравнить ориентацию троек , , и ,
– для которых треугольник
одинаково ориентированы. Значит, нам
равносторонний. Давайте для
упрощения записи предположим с самого начала, что треугольник
равносторонний. Наша центральная идея в этой части реше-
ния – это идея симметрии. Пусть – центр симметрии треугольника
. Давайте переместим точку в открытом полупространстве
так, чтобы она разместилась прямо над точкой (т. е. так, чтобы
прямая стала перпендикулярна плоскости ). По доказанному выше тройки векторов , , и , ,
одинаково
ориентированные. Аналогично переместим точку до такой точки
, что прямая перпендикулярна плоскости и к тому же
отрезки и имеют одинаковую длину. Точки и теперь
расположены симметрично относительно плоскости . Отразим
теперь треугольник центрально-симметрично относительно
точки , получив треугольник .
Поскольку центральная симметрия – это поворот на 180°, мы
можем получить треугольник непрерывной деформацией
(; параметр соответствует повороту на угол
). Отсюда легко получаем, что тройки векторов ,
и , ,
Из симметрии видим, что тройка , ,
мое, что тройка , ,
Наконец, матрица перехода от тройки , ,
одинаково ориентированы.
.
– это то же са-
к тройке
, , – диагональная матрица
,
определитель которой отрицателен. Значит, эти две тройки имеют
противоположные ориентации.
,
,
,
,
76
Подытоживая всё вышесказанное, мы видим, что в случае, когда
);
точки лежат в разных полупространствах, тройки векторов
, и , ,
имеют разную ориентацию. Задача полностью
решена.
4.2. Векторное произведение векторов
Наряду со скалярным произведением векторов, которое можно
определить в пространстве произвольной размерности, в трёхмерном ориентированном векторном пространстве, в котором уже задано скалярное произведение, можно дополнительно определить ещё
два вида умножения векторов – векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трёх векторов. Начнём с векторного произведения.
Пусть − трёхмерное евклидово (т. е. со скалярным произведе-
нием) ориентированное векторное пространство. Для простоты
можно считать, что
ство (множество всех упорядоченных троек
, арифметическое трёхмерное простран-
веществен-
ных чисел), скалярное произведение на котором задаётся в виде
,
а ориентация задаётся эталонным положительно ориентированным
базисом , , .
Пусть − два вектора в пространстве . Мы хотим определить
их векторное произведение , обозначаемое (или , или
иногда даже ), как некоторый вектор, задаваемый нижесле-
дующими условиями (пусть для начала векторы ненулевые, не-
коллинеарные):
1) перпендикулярен обоим векторам (в смысле имею-
щегося скалярного произведения в
2) длина
численно равна площади параллелограмма, по-
строенного на векторах (иными словами,
3) упорядоченная тройка векторов ,
имеет положитель-
ную ориентацию (напомним, что пространство ориентированное).
Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае вектор
опре-
деляется условиями 1–3, однозначно. Если же векторы коллине-
,
77
арны (в частности, если один из них нулевой), то одно только усло-
вие 2 требует
.
Итак, для любых двух векторов мы однозначно определили
вектор (поэтому и называемый векторным произведением в
отличие от скалярного произведения, результатом которого является
число (скаляр)).
Для того чтобы работать с этим произведением, в основном, как
с обычным произведением, приведём следующие его свойства:
1) для любых векторов , (дис-
трибутивность);
2) для любых векторов
(антикоммутатив-
ность);
3)
для любых векторов и любого числа ;
4) для любого вектора ;
5) тогда и только тогда, когда
коллинеарны.
Рассмотрим, как вычисляется векторное произведение в коорди-
натах, если в пространстве задан ортонормированный положи-
тельно ориентированный базис
,
,
. Если
и
,
то, применяя определение и свойства 1−5, нетрудно получить
. (50)
Это равенство можно изящно записать в виде (также удобном
для запоминания и вычисления):
(51)
Данный специфический определитель вычисляется по обычным
правилам, и нетрудно видеть, что результат будет вектором, совпадающим с (50) (если, скажем, разложить определитель по первой
строке).
Подчеркнём, что формулы (50), (51) выполняются только в пря-
моугольной декартовой системе координат!
Следующая красивая геометрическая задача – это вариант задачи
200 из задачника [4].
78
Задача 42. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к
граням произвольного тетраэдра, равных по длине площадям соответствующих граней и направленных во внешнюю сторону, равна
нулю.
Едва ли эта задача имеет простое решение при использовании
классических подходов евклидовой стереометрии или при непосредственном вычислении этих четырёх векторов в декартовой системе координат. С другой стороны, используя векторное произведение, можно доказать данное утверждение весьма просто. А имен-
но, пусть – рассматриваемый тетраэдр. Обозначим через
вектор, перпендикулярных к грани , равный по длине площади
этой грани и направленный во внешнюю сторону (в полупростран-
ство с границей , не содержащее точку ). Аналогично вводим
векторы
,
, и
. Наша цель – доказать, что
.
Мы можем написать эти векторы в виде векторного произведения. Для этого введём ориентацию пространства так, чтобы тройка
векторов , ,
Тогда мы можем написать
была бы положительно ориентированной.
В самом деле, вектор
в правой части перпендикулярен грани , его длина как раз равна
площади треугольника и направлен он во внешнюю сторону от
тетраэдра.
Теперь надо аналогично выразить остальные три вектора. Но в
каждом случае имеется достаточно много вариантов. Чтобы можно
было далее подсчитать сумму векторов, будем выражать векторы,
используя только векторы , ,
.
Тогда
,
(
,
Выполняя сложение и используя свойства векторного произведения, получим
79
=
После сокращения одинаковых членов, получим
В силу антикоммутативности и свойства 4, мы получим искомое
равенство
.
Задача 43. Прямая задаётся как пересечение двух плоскостей
и
:
Найти какой-либо направляющий вектор прямой . Система ко-
ординат прямоугольная декартова.
Разумеется, мы могли бы выразить две какие-либо координаты
через третью и написать скалярные параметрические уравнения, из
которых направляющий вектор был бы очевиден. Но имеется гораздо более прямой и простой способ. Поскольку система координат
прямоугольная декартова, мы можем найти векторы, перпендику-
лярные плоскостям и
:
Ясно, что любой направляющий вектор прямой перпендикулярен обоим векторам
. Значит, один из направляющих векто-
ров – это вектор
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]