Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Операционное исчисление. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

М. А. Плескунов

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Рекомендовано методическим советом УрФУ

в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся

по программе бакалавриата/специалитета по направлениям

подготовки 140200 – Электроэнергетика

и 231300 – Прикладная математика

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2014

УДК 517.44(075.8) ББК 22.161я73

П38

Рецензенты: кафедра «Высшая и прикладная математика» УрГУПС (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева); д-р физ.-мат. наук, проф. В. В. Кабанов (ИММ УрО РАН)

Научный редактор – д-р физ.-мат. наук, проф. А. И. Короткий

Плескунов, М. А.

П38 Операционное исчисление : учебное пособие / М. А. Плескунов.

– Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 143, [1] с. ISBN 978-5-7996-1161-3

Пособие предназначено для студентов, изучающих курс высшей математики. Содержит теоретический материал и примеры решения задач по операционному исчислению – разделу высшей математики, входящему в обязательный стандарт образования студентов радиотехнических, электротехнических и теплоэнергетических специальностей. Также включены контрольные вопросы к курсу и список рекомендуемой литературы.

Библиогр.: 15 назв. Рис. 16. Прил. 4.

УДК 517.44(075.8)

ББК 22.161я73

ISBN 978-5-7996-1161-3 © Уральский федеральный

университет, 2014





ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Метод операционного исчисления

Суть операционного исчисления состоит в том, что функции



действительного переменного



ная функция

При выполнении некоторых условий, накладываемых на функцию



tf , такое соответствие является взаимно однозначным, то есть

каждой функции

ствует единственная функция



pF соответствует единственная функция

При этом оказывается, что операциям дифференцирования и инте-

грирования функций

ления функций

комплексного переменного p.



, удовлетворяющей таким условиям, соответ-



соответствуют операции умножения и де-



pF на переменную

ставится в соответствие определен-



pF , и наоборот, каждой функции



tf .

В результате этого становится возможным свести решение, ска-



жем, системы дифференциальных уравнений для функций

шению системы алгебраических уравнений для функций

по найденным решениям

соответствующие им функции

ходной системы дифференциальных уравнений.

Таким образом, мы сводим более сложную задачу отыскания решений системы дифференциальных уравнений к более простой задаче отыскания решений алгебраической системы уравнений.



алгебраической системы, можно найти



tf , которые и будут решениями ис-



к ре-

pF . Затем,









Схема применения операционного исчисления

Задача, соответ-

ствующая ис-

ходной задаче:

Решение задачи

(для

0)(  F

)( pF )

Исходная задача

0)(  f

Переход от

)(tf

)( pF

Обратный переход от

Решение исход-

ной задачи (

)(tf )

)( pF

)(tf

Полученное ре-

шение (

)( pF )

Оригинал и его изображение

Определения

Действительную переменную будем обозначать буквой

Рассмотрим функцию (в общем случае комплекснозначную) дей-



ствительной переменной

. Обозначим ее

Определение оригинала



Пусть функция

(1) функция



определена на всей числовой оси и

(2) на любом конечном интервале оси

удовлетворяет следующим условиям:



0tf

при

функция



или непре-

рывна, или имеет лишь конечное число точек разрыва и притом



только первого рода, т. е. функция

любом конечном интервале оси

Оt

. (Это условие можно заменить

требованием локальной интегрируемости функции

tf кусочно-непрерывна на



tf , т. е. инте-

;

грируемости на любом конечном интервале оси



.);









(3) существуют такие числа 0M и



tf | M

, т. е. модуль этой функции с ростом t возрастает не

s

, что

 )0(

быстрее некоторой показательной функции.



Функцию

гиналом или начальной функцией. Наименьшее число

tf , удовлетворяющую этим условиям, называют ори-

, при ко-

тором выполнено условие (3), называется показателем роста функ-



ции

tf . Говорят, что функция, удовлетворяющая условию (3), имеет

ограниченный рост. (Показатель роста

чае, и отрицательным, т. е. не обязательно требовать, чтобы

может быть, в общем слу-

s .)

Замечание 1

Рассматривая функции, определенные и при отрицательных значениях t (и отличные от тождественного нуля при этих значениях), в качестве оригиналов, мы будем предполагать, что условие (1) всегда

выполнено, то есть, говоря, что функция

лом, мы будем иметь в виду функцию







  

ttf sin

является оригина-



0,sin

, не оговаривая



0,0

в дальнейшем этого специально (в целях упрощения записи оригиналов).

Замечание 2

Условие (3) требуется для существования некоторых несобственных интегралов, рассматриваемых в дальнейшем. В частности, условию (3) удовлетворяют все ограниченные функции (в этом случае,



очевидно,



s

), а также степенные функции

ttf 



0k

Действительно,



is





tt ln

при

0

k ln



при

lnln

0k

kttk

eeet 

при

0

, а показательная функция

0k

0

(так как

есть функция монотонно возрастающая). Следовательно, в этом слу-

чае (для функций вида



ttf 



k

) показатель роста

ks 

Определение изображения



Функция

гиналом



равенством

комплексной переменной



 





называется изображением оригинала



dtetfpF

, (*)



связанная с ори-

Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, носит название



интеграла Лапласа для функции

соответствие оригиналу



его изображение

. Преобразование, ставящее в



, называется пре-

образованием Лапласа. Теория преобразования Лапласа называется



операционным исчислением. Функцию

называют часто

лапласовым изображением, или изображением по Лапласу, или L-изображением.

Тот факт, что

является изображением оригинала



, обозна-



чают следующим образом:



  

}{

pFtfL 

, или

 



tfpF



, или

Пусть М – множество всех оригиналов

  



pFtf



, а N – множество всех

, или



  

pFtf





соответствующих им изображений. Формула (*) устанавливает отображение множества М на множество N. Это отображение называется



L-отображением или оператором Лапласа1 (не следует путать его с



NML















дифференциальным оператором Лапласа



Теорема существования



Для всякого оригинала

деленное в полуплоскости

существует изображение

Re sps 

, где

гинала. В этой полуплоскости функция

– показатель роста ори-



является аналитической,



, опре-

имеет производную любого порядка в каждой точке полуплоскости и, кроме того, если



, то



0pF

Доказательство

Докажем первую часть теоремы.

По предположению



– оригинал, значит,





Metf

. Оценим

модуль интеграла Лапласа:



 



ptpt













0000

tss

dteMdteMedtetfdtetf









Поскольку

При





 ss





верхний предел обращается в нуль, т. е. при



tss





stpt

. (Вообще, если





). при (



sttisttispt



titeeeee



sincos

iyxz

, то

ee 

ss 

интеграл Лапласа ограничен по модулю. Следовательно, он сходится и при этом, как видно из неравенства, сходится абсолютно. Это озна-

Биографические сведения об ученых, упомянутых в пособии, даны в прил. 4.



чает, что изображение









оригинала



существует при

ss 

и,

более того, при выполнении этого условия

Отсюда видно, что при

Если же

lim 0, т. е. а 0 при Re . значит,





Fp Fp s p



ss 

, то верхний предел в нашей оценке обращается в



 





pF





бесконечность и, следовательно, интеграл Лапласа может оказаться расходящимся (нельзя утверждать, что он будет сходиться).



Аналитичность функции

бого порядка при

ss 

следует из возможности применить правило

и существование производных лю-

Лейбница дифференцирования интеграла по параметру к интегралу Лапласа сколько угодно раз и из сходимости полученных при этом интегралов. Эту часть теоремы примем без доказательства.

Замечание

В дальнейшем всегда будем предполагать, что

рассматривать изображение



лишь для тех значений p, для кото-

sp 

, то есть

рых обеспечено существование этого изображения (рис. 1).

ss 

Рис. 1



Теорема единственности





Если



является изображением двух оригиналов





, то

эти оригиналы совпадают во всех точках, в которых они непрерывны.

Дополнение к теореме

Если за значение оригинала в каждой точке разрыва

полусумму его предельных значений слева и справа от точки

принимать

, то

есть считать

 

000

]00[

 tftftf

, то при соблюдении этого

условия соответствие между оригиналами и их изображениями вза- имно-однозначное (то есть каждому оригиналу соответствует единственное изображение, а каждому изображению – единственный ори-

гинал). В этом случае, если одновременно

следует, что

 

tftf

при любом t. (Эту теорему вместе с дополне-

нием примем без доказательства.)



 



 

 







tfpF

 



tfpF



, то из этого



СВОЙСТВА ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ













Свойства оригиналов

Оригиналы обладают нижеследующими свойствами.

1. Линейная комбинация оригиналов является оригиналом: – оригинал, если

)()(

xfcxfc 

2211

– оригиналы, а

)(),(

xfxf

, cc

константы. Доказать самостоятельно.



2. Если



0k



tf 



– оригинал, то функции



)0( 

tf









tdf

также являются оригина-

tfe



ttf

лами.

Докажем это для функции

 



dft



Для этого проверим выполнение трех сформулированных выше

(стр. 4–5) условий, при которых функция является оригиналом.

Условие (1) считаем всегда выполненным. При интегрировании

–



tft

функции число разрывов может лишь только уменьшиться, но никак не увеличиться, следовательно, условие (2) также будет выполнено.

Проверим выполнение условия (3).

Поскольку



– оригинал, то





Metf

Тогда

  

Таким образом,





eMt 

где

deMdfdft

M 







tsts

0000



1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]