Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операционное исчисление. Учебное пособие
.pdf
ИЗОБРАЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
p
t
p
t
p
p
Отыщем изображения функций, используемых чаще всего.
1. Найдем изображение функции
dtettL
t
, где α – действительное число.
pt
.
0
Сделаем замену переменной интегрирования (считая
Пусть
d
tpt
dt
;;
p
1
. Временно будем считать p положи-
p
тельным действительным числом.
Тогда
pt
dtet
;
00
p
d
e
00
; при
p
p
1
0
pt
Использовали тот факт, что
0
0
de
1
11
1
p
de
0
0Re
).
.
)(
11
de
– гамма-функция.
p
1Г
.
1
Можно показать, что полученное равенство остается справедли-
вым и в том случае, когда
– комплексное число и
0Re
. (Примем
этот факт без доказательства.)
Окончательно имеем
1
0
pt
dtettL
.
1
p
Гамма-функция определена при положительных значениях аргу-
мента, значит, при
01
существует несобственный интеграл
0
pt
.
dtet
21
Следовательно, при
Nn
t
f
это изображение равно
1
существует изображение функции
1Г
,
значит, имеет место формула
1
p
t
, и
1Г
1
,
t
p
.
1,0Re
p
2. Рассмотрим некоторые частные случаи полученной формулы.
Пусть
Поскольку
В частности, при n = 1 получим
– натуральное число, т. е.
, получим
!1Г nn
!
n
n
p
1
2
p
1
t
t
.
n
.
.
3. Единичная функция Хевисайда и ее изображение
Возьмем теперь
Получим из формулы (**)
.1!01.0
1
1
p
.
**
В данном случае 1 понимается как оригинал, т. е. при этом имеет-
ся в виду функция
,0при1
t
.0при0
t
tt
0
Эта функция носит название единичной функции Хевисайда
(или единичного скачка). Ее график имеет вид, представленный
на рис. 2.
)(
1
ty
1
)(1
tp
Рис. 2
22
Единичная функция Хевисайда находит широкое применение в тех-
t
x
t
t
p
нических приложениях математики (в частности, в электротехнике).
Замечание. Значение функции Хевисайда в точке t = 0 можно вы-
брать произвольно в пределах от 0 до 1. Удобнее считать, что
)0(
1
.
2
В этом случае точка t = 0 будет регулярной точкой функции
точкой, в которой
1
)( ttt
)]0()0([
.
2
Лемма
Если для комплексного числа
0Re
xz
и t – действительная переменная, то
z
iy
его действительная часть
lim
ztt
e
.0
Доказательство
zt
t
t
xt
xtiytxttiyxzt
limlimlim
t
xt
yteiytee
.sincos ytiyteeeee
0sincos
)(
, т. е.
(так как функции
cos
и
sin
y
– ограниченные функции).
y
4. Изображение показательной функции
t
Пусть
сти,
может быть и любым действительным числом). Найдем
т. к. при
Таким образом,
etf
, где – некоторое комплексное число (в частно-
00
0)Re(
e
tpt
1
p
dtedteeeL
p
)(
0lim
t
23
tptppttt
e
0
11
p
согласно лемме.
.
)0)(Re(,
pe
t
eL
.
),0)(Re(,
p
Аналогично (или заменяя
1
p
на )(
t
) получим
)0)(Re(,
pe
.
Эти же формулы можно получить, используя теорему смещения.
По теореме смещения, если
Найдем
В данном случае
1
p
1
Отсюда следует, что
p
Таким образом,
p
tfpF
, то
pF
.1tteLeL
.
1)(
1)(
1
e
t
epF
t
.
.
t
etfpF
)()( .
1
Заменяя
на
, найдем, что
p
t
.
e
5. Изображение произведения степенной функции на показатель-
ную
Рассмотрим
n
p
Тогда по теореме смещения
n
n
!
p
В частности, при
n = 1 получим
p
!
1
n
p
n
1
)(
1
2
)(
!
n
1
et
te
n
tpF
.
)(
tn
.
t
.
etpF
tn
, т. е.
24
6. Изображение гиперболических и тригонометрических функций
tat
atat
Поскольку
ch
at
ee
2
1
atat
ee
, то по свойству линейности
2
изображения имеем
ap
at
a
at
2222
.
ap
.
12
2
atat
ee
2222
получим
12
2
atat
atat
.ch
atee
atee
1
2
111
2
apap
Итак,
at
Аналогично для
1
2
sh
apap
Значит,
p
p
ap
p
22
ap
atat
ee
2
111
a
ch
1
2
2
ap
a
sh
22
ap
Найдем изображения тригонометрических функций, воспользо-
вавшись формулами Эйлера.
.sh
По формулам Эйлера:
sin
at
chcos
iatL
1
iat
i
1
2
)(sh
p
2
iap
1
2
i
eeiatat
ee
т. е.
или, по-другому,
iatL
)(chcos
ia
, )(sh
iatiat
. Следовательно,
p
iatiat
at
cos)}(ch{
222
ap
1
2
a
at
sin
22
ap
ia
)}(sh{
22
)(
iap
1
)(shsin
iatiat
i
p
. Итак,
22
ap
2
111
2
ia
iiapiapi
ap
,
, т. е. )(sh
ia
22
ap
iat
cos
.
iat
at
.
.
a
,
2222
ap
25
Умножению на (–i) оригинала соответствует умножение на (–i)
p
p
изображения:
ia
i
atiati
sin)(sh
22
ap
, отсюда снова получим, что
a
at
sin
22
ap
.
Еще можно воспользоваться правилом дифференцирования ори-
гинала. Поскольку
т. е.
2
a
22
ap
sin
cos
atL
patLataL
ata
; отсюда следует (делим оригинал и соответ-
ственно изображение на постоянное число
p
, то
22
ap
2
p
22
ap
p
10coscossin
22
ap
a
a
), что
a
22
ap
2
ap
sin
,
22
at
.
В частности, при
2
p
1
cos
t
,
1
p
a
2
p
1
1
t
sin
.
7. Изображение произведений тригонометрических функций на
функции
По теореме смещения замена в изображении переменной
ражение
te
:
te
и t
на вы-
соответствует умножению оригинала на множитель
t
etfpF
.
Пользуясь теоремой смещения, найдем
p
2
a
2
t
ate
cos
t
sin
,
ate
.
2
ap
2
ap
26
Заменяя на (
t
t
t
t
t
), получим
p
p
2
1)(
1
p
В частности,
p
.1,1
a
Здесь
Умножение оригинала на
t
1)1(
cos
ate
,
te
,cos
p
a
2
)(
1
22
1)1(
t соответствует дифференцированию
t
sin
sin
te
ap
tt
изображения и умножению полученного выражения на
Продифференцируем изображения
a
жения функций
а)
p
22
ap
cos
cos
at
и
,
sin
a
:
p
22
ap
.
ttfpF
a
cos
и
att
cos1
atsin
и найдем изобра-
,
ate
.
1
.
:
22
ap
cos
2
22
ap
22
pa
2
22
ap
att
sin1
sin
ap
,
22
ap
;
att
,
.
att
22
.
att
cos
2
б)
a
sin
22
ap
Таким образом,
222
pap
2
at
,
22
ap
pa
pa
22
ap
2
22
ap
2
2
2
a
ap
22
att
sin
2222
8. Изображение функций
cos,sin,cos,sin
atattt
Воспользуемся правилом дифференцирования оригинала.
22
tppFtffppFtttt 2sin0sin)(),()0()(,2sincossin2)(sin
,
27
где .sin)(
t
2
tpF
Поскольку
2
00sin
, то
tppF
2sin)(
. Но изображени-
ем оригинала
a
at
sin
22
ap
2sin является выражение
). В силу теоремы единственности
Тогда
По теореме подобия
Найдем
}{sin2atL
и
2
}{sin
atL
2
2
pp
2
222
(по формуле
4
2
)(
ppF
p
2
}{sin)(
tLpF
1
)(
atf
a
F
p
a
21
a
p
a
2
p
a
2
2
pp
222
}{sin}1{}sin1{}{cos
tLLtLtL
p
, если ).()(
}{cos2atL
.
4
.
)4(
21
2
)4(
pp
2
a
2
app
22
)4(
,
p
pp
tfpF
.
2
2
4
2
.
2
)4(
2
p
2
atL
1
}{cos
a
a
p
p
a
a
2
2
4
22
ap
2
22
)4(
app
Сведем полученные изображения в одну таблицу.
.
28
Таблица изображений
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Изображение:
0
1
pt
dtetfpF
p
1
2
p
n
!
1
n
p
1
p
22
apa
22
app
Оригинал:
1= η(t)
n
sin
cos
0
ttf
Nn
te
a
a
7
8
9
10
11
12
13
22
apa
22
app
a
2
p
2
!
n
np
2
ap
2
ap
1
2appa
2
22
22
2
22
apap
a
e
e
e
sh
a
ch
t
a
sin
t
a
cos
tn
sin
cos
Nn
a
a
14
15
1
2
22
ap
1
1
3
a
2
t
atatat
cossin
29
Формулы, соответствующие № 14 и 15, будут выведены позже.
Более подробный список оригиналов и их изображений дан в
прил. 3.
Соберем в таблицу ранее полученные формулы свойств изображений.
Имеем в виду, что здесь (как и всюду в дальнейшем)
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Изображение
pFc
p
1
a
F
a
pF
1
pF
p
n
n
1
dp
p
dzzF
p
pFe
21
21
ppF
0fppF
pFd
n
pFpF
pFppF
)()( tp
ffppFp
),()( tfpF
11
nnn
0...0
.
Оригинал
tfc
atf
t
0
t
0
n
tf
1
t
)0(
0
constc
const
ttf
t
tf
n
tf
tfe
tf
df
tft
0a
const
t
2
121
0
dtff
2
dtffftf
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]