Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операционное исчисление. Учебное пособие
.pdf
6)
f(t)
1
0
1
2
t
IX. Найти изображение периодического оригинала, заданного графиком.
1)
f(t)
2)
3)
4)
A
0
f(t)
0
f(t)
0
tf
1
1
a
π/4
1 3
y = sin x
1 4 5 872 0
39
2a
2
6
3a
4
2π π 3π
5
4a
6
t
t
t
t
111
f
f
f
f
5)
f(t)
1
0
1 3
2
4
5
6
t
X. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с графически заданной правой частью.
1) ),(tfxx
.0)0()0(
2)
xx
)(t
1
0 1
2
t
-1
xx
),(tfxx
.0)0(,1)0(
)(t
2b
b
3)
.0)0()0(
4) ),(9 tfxx
.1)0(,0)0(
0
xx
),(2 tfxxx
)(t
a
t
1
t
t
xx
0
)(t
1
0
a
2a 3a
2
3 1
112
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Суть метода операционного исчисления.
2. Определение оригинала.
3. Определение изображения.
4. Теорема существования.
5. Теорема единственности.
6. Свойства оригиналов.
7. Теорема линейности (свойство линейности изображений).
8. Теорема подобия.
9. Теорема смещения.
10. Дифференцирование оригинала (изображение производной).
11. Интегрирование оригинала (изображение интеграла).
12. Дифференцирование
изображения.
13. Интегрирование изображения.
14. Теорема запаздывания.
15. Теорема умножения.
16. Формула Дюамеля.
17. Изображение периодических функций.
18. Единичная функция Хевисайда и ее применение к аналитическо-
му описанию разрывных функций. Изображение функции Хевисайда.
19. Изображение по Карсону – Хевисайду и его связь с изображением
по Лапласу.
20. Отыскание оригинала. Метод разложения на простейшие дроби.
21. Отыскание оригинала. Первая теорема разл
ожения.
22. Отыскание оригинала. Вторая теорема разложения.
113
23. Формула обращения Меллина. Условия ее применения.
m
p
pF
spp
p
24. Решение линейных дифференциальных уравнений операционным
методом.
25. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом.
26. Свертка функций и ее свойства.
27. Применение формулы Дюамеля для решения дифференциальных
уравнений.
28. Решение дифференциальных уравнений с графически заданной
правой частью.
29. Дельта-функция, ее свойства и ее изображение. Обобщенные про-
изводны
30. Ле
е разрывных функций.
)(li
ммы о
при
)(Re
и
0
.
31. Теорема о вычислении некоторых несобственных интегралов.
32. Решение интегральных уравнений специального вида операторным методом.
33. Изображение функций Бесселя и Кельвина.
114
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Крайнов А. Ю. Операционное исчисление. Примеры и задачи :
учебно-методическое пособие / А. Ю. Крайнов, Ю. Н. Рыжих. –
Томск : Том. ун-т, 2007. – 104 с.
2. Лунц Г. Л. Функции комплексного переменного (с элементами
операционного исчисления) / Г. Л. Лунц, Л. Э. Эльсгольц. – М. : Лань,
2002. – 292 с.
3. Волков И. К. Интегральные преобразования и операционное ис-
числение : учебн
ик для вузов / И. К. Волков, А
. Н. Канатников. – М. :
Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. – 228 с.
4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление :
учебное пособие : в 2 т. / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс,
2002. – Т. 2. – 544 с.
5. Эйдерман В. Я. Основы теории функций комплексного переменно-
го и операционного исч
исления / В. Я. Эйдер
ман. – М. : ФИЗМАТ-
ЛИТ, 2002. – 256 с.
6. Пантелеев А. В. Теория функций комплексного переменного и
операционное исчисление в примерах и задачах : учебное пособие /
А. В. Пантелеев, А. С. Якимова. – М. : Высш. шк., 2001. – 445 с.
7. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное
пособие для втузов : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попо
в, Т. Я. Кожевни-
кова. – М. : Высш. шк.,1997. – 416 с.
8. Крас
нов М. Л. Функции комплексного переменного. Операционное
исчисление. Теория устойчивости : учебное пособие / М. Л. Краснов,
А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. – М. : Наука, 1981. – 305 с.
115
9. Шелковников Ф. А. Сборник упражнений по операционному исчислению : учебное пособие для втузов / Ф. А. Шелковников,
К. Г. Такайшвили. – 3-е изд. – М. : Высш. шк., 1976. – 184 с.
10. Шостак Р. Я. Операционное исчисление. Краткий курс : учебное
пособие для втузов / Р. Я. Шостак. – 2-е изд., доп. – М. : Высш. шк.,
1972. – 280 с.
11. Штокало И. 3. Операционное исчисление (обобщения и приложения) / И. 3. Штокало. –
Киев : Науков
а Думка, 1972. – 302 с.
12. Лушникова З. М. Теория функций комплексного переменного и
операционное исчисление : учебно-методическое пособие для студентов радиотехнических специальностей и специальности 0606 –
«Автоматика и телемеханика» заочного обучения / З. М. Лушникова,
И. Н. Янкелевич. – Свердловск : УПИ, 1971. – 152 с.
13. Араманович И. Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчис
ление. Теория устойчивости / И. Г. Араманович,
Г. Л. Лунц,
Л. Э. Эльсгольц. – М. : Наука, 1968. – 416 с.
14. Микусинский Я. Операционное исчисление / Я. Микусинский. –
М. : ИЛ, 1956.
15. Бородин А. И. Биографический словарь деятелей в области математики / А. И. Бородин, А. С. Бугай. – Киев : Радянська школа, 1979.
– 607 с.
116
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
x
x
СХЕМА ГОРНЕРА
Схема Горнера употребляется для деления многочлена
1
nn
10
....
axaxaxa
на линейный двучлен
1
nn
b
:
b b
a
0
0
a
b
1
1
a
b
2
2
… a
… b
n-1
n-1
a
n
r
В верхней строке таблицы, начиная со второго столбца, записыва-
ем коэффициенты делимого многочлена. Во второй строке в первом
b
столбце записываем свободный член
делителя, в остальных столб-
цах – коэффициенты неполного частного и в последнем столбце –
остаток. Они вычисляются по следующей схеме:
ab
,
00
,
………………
abbb
101
abbb
,
212
abbb
,
121
nnn
r
=
...,,,
bbbb
– коэффициенты неполного частного:
12,10
n
n
01
abb
– остаток.
nn
1
1
1
Обозначим делимый многочлен через
n
xP
Тогда
n
bx
Значение многочлена при
xR
nn
10
r
bx
b
равно остатку r.
n
117
2
nn
1
....
rbP
.
...
bxbxbxbxR
.
12
nn
:
xP
n
axaxaxaxP
.
1
nnn
nn
rbxxRxP
11
.
Если r = 0, то x = b является корнем многочлена.
p
p
p
p
p
p
p
p
К полученному многочлену
n 1
xR
снова можно применить схему
Горнера.
Примеры
1.
3
Подбором установим, что
23
.
22
ppppY
1
– корень многочлена
Для отыскания других корней разделим многочлен
1 2 –1 –2
1 1 3 2 0
Запишем
pY
– частное от деления
2
pY
на
3
pY
.
3
pY
на
3
).1(
Остаток r = 0.
).1(
2
Для этого разделим
2
23
pppY
. Убедимся, что
pY
на
2
1
).1(
Продолжим таблицу.
1 2 –1 –2
1 1 3 2 0
–1 1 2 0
Остаток от деления равен нулю, значит,
pY
корень
жим таблицу.
. Запишем частное от деления
2
1
2
ppY
. Очевидно, что
1 2 –1 –2
– корень многочлена
1
– действительно
pY
на
2
2
– корень
)1(
и продол-
pY
1
pY
.
2
.
1 1 3 2 0
–1 1 2 0
–2 1 0
118
Запишем разложение многочлена
p
p
p
p
p
p
p
p
ствии с его корнями:
pY
на множители в соответ-
3
2.
3
23
43
pppY
. Легко обнаружить, что
1 3 0 –4
1 1 4 4 0
–2 1 2 0
–2 1 0
2
1
2
2
ppY
. Теперь можно разложить многочлен на множители:
44
pppY
. Нетрудно понять, что
3.
4
234
6555
pppppY
.
123
2
– корень
2
21211
123
pppYpppYppY
1
– корень
.
211111
ppppYpppYppY
.
3
pY
2
pY
.
.
3
Проверим, что
3
является ли
дем
Y
3
. Для этого разделим
3
23
– корень
22
ppppY
3
также корнем многочлена
дет равен значению
3
– корень.
pY
. Разделим многочлен на
4
)3(
.
1 –5 5 5 –6
3 1 –2 –1 2 0
. Остаток от деления равен нулю. Проверим, не
pY
3
3
при
pY
на
23
)3(
. Остаток от деления бу-
3
. Если остаток равен нулю, то
22
ppp
. Най-
1 –5 5 5 –6
3 1 –2 –1 2 0
3 1 1 2 8
119
p
p
p
p
3
.83
rY
Число 3 не является корнем многочлена
pY
3
.
p
С учетом того, что
= 3 есть корень многочлена
разложение этого многочлена на два множителя:
4
Разделим
3
234
23
)22(
ppppY
3
на
)2(
.
Третью строчку таблицы запишем заново.
1 –5 5 5 –6
3 1 –2 –1 2 0
2 1 0 –1 0
Поскольку остаток от деления
зался равен нулю, то
2
2
Очевидно, что
.1
ppY
2
есть корень многочлена.
3
1
– корни
23
2
pY
, запишем
4
23
)22(
ppppY
на
2
.1
ppY
).3)(22()3(6555
ppppppYpppppY
)2(
ока-
1 –5 5 5 –6
3 1 –2 –1 2 0
2 1 0 –1 0
–1 1 –1 0
1 1 0
Корнями многочлена являются
4
2
Найдено разложение многочлена
234
2
3
4
жители в соответствии с его корнями:
4
234
pppp
4321
23
)3)(22()3(6555
ppppppYpppppY
ppppppppppY
234
6555
pppppY
на мно-
).3)(2)(1)(1(6555
pppppppppY
).3)(2)(1)(1()3)(2)(1()3)(2)((
.1,1,2,3
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]