Операционное исчисление. Учебное пособие

Решим эту алгебраическую систему, используя формулы Крамера.















p

 p

1



p

2

.1





x

y

4

2

p

2



p



3

p





1





px

 ,





py



1



12

4

p

2



p



3

p

x



y



p

2



12

2

p



2

p



2

 

p

12



1



12



1



2



p





3

p



pp



2

t



323



ppp

2

12124

p



,

3

p

2

p

12412



22

2

1

2222

pppp



.

2

p



t

2



.



Таким образом,

  



2



ttx



,

tty



.2

Нашли решение данной системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Непосредственной проверкой легко убедиться, что это искомое решение.

Найти решение системы дифференциальных уравнений, удо-

2.

влетворяющее заданным начальным условиям.







 

 





xxyyx

,10,10,





yyyxy

.10,00,2

Перейдем к вспомогательной системе

2



 

2





yyppxp



,011

нормализуем эту систему:

yxppyp



,2210

51



2















  



 121121



2



2



p

2

p



p

pypxp



,11

Решаем алгебраическую систему.

ypxp



.112



1

2



1



22

 



pppppppp



 



1



1



p

 ppppppppp

x

y

1

2

p

 ppppppp

p

2

(оригиналы находим по формуле

Итак,

p

2



1



p



p

1



2

  

1





px





py

x







y



 

22



21

ppp

 

2

pp



21

ppp





2



21

1



p





1



pppp





p

2

 

2



2212



.



t



e



1

22

1

n

!







n

.



t



te





1





.

21221)2(1

 pppppppppppp

 

2121111



tn



et

).

.





  









t

,

etx



t

.

tety

Таким образом, получили решение системы, удовлетворяющее начальным условиям, т. е. получили решение задачи Коши.

Аналогично решаются методом операционного исчисления линейные системы дифференциальных уравнений высших порядков с двумя или большим числом неизвестных функций.

Замечание. Операторный способ решения систем дифференци-

альных уравнений применим к системам порядка выше первого, что очень важно, так как в этом случае применение других способов крайне затруднительно.

52



ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ИЗОБРАЖЕНИЙ



f



f









fyyf





Свертка функций

Пусть



tytf ,

– непрерывные или кусочно-непрерывные

функции.

Определение

Сверткой функций



ляемая равенством

tytf и

   

Эту функцию обозначают символом

ние в точке

Таким образом,

t может быть записано как

 

tyftq 

, или

      



называется функция

t



dtyftq



0

t

def





0

.

y

, т. е. y

q  , ее значе-



tytftq

.



dtyftyftytf

.



tq

, опреде-

Это некоторая новая функция от

t.

Свойства свертки

1. Свойство симметрии свертки:

.

Это свойство легко проверить, сделав замену переменной интегрирования:

 иttиdиdиtиt

t

       

 

0

t

tt

00

.0,0,,, 

.



fydииtfиyduиyиtfdииyиtfdtyfyf

53



2. Если



t

t











t





гиналом.



tf

и



ty

– оригиналы, то их свертка тоже является ори-



Это следует из того, что если

0

гинал при до

t, то



меняется от t до 0, т. е. аргумент функции

ется в пределах от 0 до

. Докажем это. В самом деле, если  меняется от 0

t. Но тогда при любом фиксированном 0

ty

– оригинал, то и

при таких значениях аргумента функция гиналом. Следовательно, при любых

t > 0 и

y по условию является ори-

0

функция



ty



ty

изменя-

является оригиналом.

Ранее было доказано, что произведение двух оригиналов есть оригинал. Отсюда следует, что при любом

функция переменной

 меняется в пределах от 0 до t).

 является оригиналом, если

t > 0 функция

 

0

 tyf

(т. е. если

– ори-

ty

как



Пусть

Тогда

 





eMf , и т. к.

1

)(

ts



 , а



s

1

eMtf

1



 .

ts



2

eMty

2



eMty

2





ts

2

, то





212121



stssstsssts

12212212

eeMMeeMMeMMtyftyf

поскольку показатели роста оригиналов считаются неотрицательны-

ts

2

const



ми:

.0и0

 ss Заметим, что произведение

21

бом фиксированном

t

роста

 



0



dtyf

как функции переменной t.

   

MM

21

s

1

ee

t > 0. Теперь не трудно показать ограниченность

tt

00

MM

21

ee

s

1

t

21



0

MM

21

s

1

eMM

21

sts

deeMMdtyfdtyf

tsststststs

)(



211212

MM

s

1



0

Mee

21

ts

.)1(

при лю-

t

sts



1212

ee



0

,

54



MM









Здесь .а,

M 

21

s

1

sss

210

Впрочем, ранее уже было доказано, что



0



td

от оригинала



тоже является оригиналом.

3. Все обычные свойства умножения справедливы и для свертыва-

ния. Это утверждение легко проверить непосредственно. Но это же утверждение вытекает как следствие теоремы умножения изображений, которая будет рассмотрена ниже.

Теорема умножения (теорема Бореля)

Если



 

 и

tfpF

11



 

 , то



tfpF

22

t

    

т. е.





dtffpFpF





0

   

2121







,

tffpFpF

.

2121

Таким образом, перемножение изображений соответствует свертыванию оригиналов.

Или: при свертывании оригиналов их изображения перемножаются.

Иначе: произведение изображений является изображением свертки их оригиналов.

Доказательство

 

21

tpt



0

21



.

dtdtffeffL

Это двойной интеграл с областью интегрирования

55



D (рис. 3).





t

tut





τ

τ =

t

D

0

t

Рис. 3

Изменим порядок интегрирования в этом интеграле. Возьмем внешний интеграл по



pt



0

.

t

     

21

0

1

0

pt







2

.

 dttfedfdtdtffe

Сделаем замену переменной интегрирования во внутреннем интеграле:

dud



;;;

u

utut



1

0



  

0







0

   

1



  

2

















 

2





0



.;0





1

0





pup









pupup







0

pFpFdueufdef

21

duufedefduufedf



2

.



Поскольку внутренний интеграл не зависит от переменной интегрирования внешнего интеграла (т. е. ни подынтегральная функция, ни пределы интегрирования внутреннего интеграла не зависят от переменной

), а внешний интеграл не зависит от переменной u, то по-

вторный интеграл равен произведению двух определенных интегра-



tf

лов, а эти интегралы являются изображениями функций

и соот-

1

ветственно

Таким образом,



2

tf

.



   





tffpFpF

.

2121

56



































Следствие

Следствием этой теоремы является тот факт, что свойства умножения распространяются и на свертывание, т. е. операция свертывания обладает теми же свойствами, что и операция умножения:

а) коммутативность свертки:

 







)()(

tfftffpFpFpFpF

.

12211221

По теореме единственности: если изображения равны, то равны и их оригиналы (во всех регулярных точках).

Получили свойство симметрии (коммутативности) свертки:

ffff

;

1221

б) ассоциативность свертки.

Поскольку











pFpFpFpFpFpF

, то в силу теоре-

321321

 

мы единственности имеем свойство ассоциативности свертки:





ffffff

;

321321

в) дистрибутивность свертки относительно операции сложения.

Поскольку



 





, то в силу тео-

pFpFpFpFpFpFpF

3121321

ремы единственности и свойства линейности изображений получим дистрибутивное свойство свертки:





fffffff

.

3121321

Примеры

1. Найти свертку функций

t

22





0



2

57



,

43



1







tdttt

 



ttfttf 

2

t

  

0

.

44

tt

1

12

4

t

.



4343

4



t

f

t

tt 

.

Итак,

2

12

2.

Найти оригинал, соответствующий изображению





1



Представим

tt



1

sin





a

00

2

1

a

t

1





a

0



pF

следующим образом:





pF





22

ap





pF sin

1







a





a

22

ap



  

11

 

sin

dta

a



cos2cos



2

1

datata

a

2

appF

a





.

2

22





111











ap



11



a

11

 

22



a





.

at





pFpFpF



1



a

2



a



.

22222



ap







coscos

cos2sin



daataaata

t



atata



 

0

1



sin



a

2



a

2

Таким образом,

1

at

2



 



a



11

32



22

ap



a

2

attat

cossin



1

 





32

a

2

atatat

cossin



.

atatat

cossin

.

Мы вывели формулу № 14 из таблицы изображений (стр. 29).

Как следствие теоремы умножения можно получить теорему об интегрировании оригинала. Рассмотрим особенности свертывания с единичной функцией Хевисайда.



)(

Пусть

– оригинал и



)()( tfpF



.

58



Найдем





t



t

tиt

t

f

t

)()(



0

По свойству симметрии свертки

 

 

tt



00



dtfttf

.



dtfdtf

,

t

а поскольку для любого

> 0 при

tt

 



00

Сделаем замену переменной интегрирования:

 и

t

0

   

0

Обозначив переменную интегрирования (

ем следующие равенства:

t

tt

 



00

  

,1)(0

то



dtfdtf

.

иdиdи

t





0

u



dfdtf

tt



00

.

duufduufdtf

) снова через τ, получа-

,



dfdtf

.0,0,,, 

tt

Таким образом, для любого оригинала

  



00

dfdtf

)(

свертывание с единич-

.



ной функцией Хевисайда означает интегрирование этой функции в

t

пределах от нуля до



:

tt

)()(

  

59



00



dfdtfttf

.

Применяя теорему умножения и имея в виду, что

лучим



1



, по-

)(1

tp

pF

)(

p

Итак, деление изображения на оригинала в пределах от 0 до



1

pF

)(

t

(теорема интегрирования оригинала).



p

соответствует интегрированию

t



.



)()(



0

dfttf

Примеры

Используя свертку, найти оригиналы, соответствующие изображениям

1

,

)1(

1

.

222

 pppp

)1(

Воспользуемся теоремой Бореля (теоремой умножения).

tt



1.

1



)1(

1



22

ppp

1





p



1

00

t



0

cos1cossin)(sin

Тот же результат можно получить, разложив изображение на простейшие дроби:

2.



1

pp



1





)1(



)1(

tt

00

1

p

)1(



1

2222



pppp

t



0

p

t



22

p





1



ttt



000

t

2

sin2cos1

.

2



ddtdt

sinsin)(sin

t

0

sinsincoscoscoscoscos



Методом разложения изображения на простейшие дроби получим



тот же результат:

1

)1(



11

.sin

tt



2222

1

pppp







tddt

.

tttttttdt

.

60

