Операционное исчисление. Учебное пособие

Следовательно, условие (3) также выполнено. Значит, функция











t

 



0



dft

действительно является оригиналом.

Для остальных функций провести доказательства самостоятельно.

3. Произведение двух оригиналов является оригиналом.



Очевидно, что если





0

0tf

и

ty

при t < 0, то и

0)( tytf

при

тех же значениях t, т. е. при t < 0. Произведение двух кусочнонепрерывных функций продолжает быть кусочно-непрерывной функцией. Осталось проверить ограниченность роста произведения двух оригиналов.

Пусть

Тогда





 

ts

1

eMtf

, а

1









ts

2

eMty

.

2



tss



eMMtytftytf

21

.

Итак, произведение оригиналов имеет ограниченный рост. Значит,

произведение двух оригиналов продолжает оставаться оригиналом.

Свойства изображений

Рассмотрим свойства изображений.

1. Свойство линейности

Изображением линейной комбинации оригиналов является точно такая же линейная комбинация изображений этих оригиналов, т. е. если



 

то



где



и  – некоторые (в общем случае комплексные) числа.



   

tfpF

, и

11



11



 



tfpF

,

22



tftfpFpF



2121

,

Это свойство является следствием свойства линейности интегра-





at

t











лов. (Доказать самостоятельно.)

Из свойства линейности изображений следует, что сумме (разности) оригиналов соответствует сумма (разность) их изображений, а умножению оригинала на постоянное число соответствует умножение изображения на это же число:



   



Например, если

,

tftfpFpF



2121



 



tfpF



, то

   

 







tfpF 55

2. Теорема подобия

Если



 



tfpF



и

0a

, то

1



F



a





p

 

a









atf

.

Доказательство

Найдем



 

 dteatfatfL



0



pt

Сделаем замену переменной интегрирования:

,

.}{

,

tftfpFpF



2121

 

t

;



 



;

dt





tfpF 

.

a

tfpF

.

11

1

 d

;

a

0





  

}{

Следовательно,

1

a

3. Теорема смещения



Если

 





tfpF

и  – любое действительное или комплексное

число, то



0

t

;

pt



dteatfatfL



p





F









a







 











a

00



atf

t

tfepF

.

12

.

p



a



0a

.

11



def

a

F

p





.





a





Доказательство















p





L

















t



t







  

}{



00

Несобственный интеграл существует при

таком условии существует изображение







tppttt

Re sp

pF



. Из теоремы смеще-







pFdtetfdteetftfeL





, значит, при

0

.

ния следует, что замена в изображении переменной p на выражение



соответствует умножению оригинала на

t

e

.

4. Изображение производной (дифференцирование оригинала)



Если

 





tfpF

и



– оригинал, то

tf '

 





tffppF ')0(



.

Доказательство

Найдем

   

-изображение





0



''



tf '

.





ptpt

etfdtetftfL



0



0

pt



    

Здесь мы провели интегрирование по частям:

pteu



;



При этом учли, что

 

и

ee



stpt



ptpt

. Теорема доказана.

pt

dtpedu

;



etf

ptt

ts



st

MeeMeetfetf



dttfdv '

;

0lim 

, т. к.

)(



tss

00



0

при

tfv

Замечание



0f

Под

здесь и в дальнейшем (кроме специально оговоренных





,





 vduuvudv

(если

.

00

fppFppFfdtetfp

ss 

)

0

случаев) понимается правосторонний предел функции в точке



т. е.

13



lim0)0(

t 0

tfff



.

0

,

Следствия









p



(1) Пусть

также является оригиналом. Найдем её изображе-

tf "

ние. По теореме об изображении производной







Таким образом,







(2) Пусть

2

    



n



tf

также является оригиналом. Методом математиче-

ской индукции можно доказать, что

  



(Доказать самостоятельно.)



1

(3) Если

  

n

ffff , т. е. если начальные





условия нулевые, то формулы упрощаются.



Тогда имеем:

 





tfpF

,

2



tffpfpFp

"0'0

.





00...0'0





nnnnnn



tffpffpfppFp



.





1221

00...0"0'0

.

0'00'00''"

fpfpFpffppFpftfpLtfL 



 

2

 

3

 







tfppF

'

,



tfpFp

"



,

tfpFp

'''

,

………………









nn



tfpFp

.



В этом случае дифференцированию оригинала соответствует операция умножения его изображения на переменную

.

14



(4) Лемма. Если









p



p











f



t





 



tfpF



и



– оригинал, то

tf '

lim 0 .

p



p

Re





pF p f



Как указано в теореме существования, изображение всякого ори-



гинала стремится к нулю при



Fp ft Fp

Но

 

11



'lim 0.Поэтому, если , то





 , где

Тогда lim 0 0.

p



Re

p





Таким образом, 0 . lim

(когда

p



Re

p







01fppFpF



pF p f





p



Re

p





Re



 

pF p















).

tfpF

.

Эта формула позволяет находить начальное значение оригинала



по его изображению

tf



, не вычисляя самого оригинала.

pF

Например:







1



(то, что



pF

p



p

является изображением

2

1



p

  



pppFf

limlim00cos



pp

2

p



1



.

1

cos



pFtcos

p



2

p

, будет доказано позже). Проверим полученную формулу:

5. Изображение интеграла (интегрирование оригинала)

t









df





0

.

Если



 





tfpF

, то

pF

p

t

Интегрирование оригинала в пределах от 0 до

соответствует де-

лению изображения на переменную p.

15



Доказательство















Обозначим

t

 



0



dft

.

По ранее доказанному,

 

Пусть

Ф



t

– оригинал.



tp 

, т. е.



0

 



0

Ф



tLp

.

00

 df

Тогда, по теореме о дифференцировании оригинала, имеем



  

tpp '0Ф 



, т.е.



    

'Ф



t

 





0



  





tfdftpp





(в силу теоремы о дифференцировании интеграла по верхнему

пределу).



Таким образом,

 

Ф

tfpp

.



Но, с другой стороны, по условию

По теореме единственности

Следовательно,

p

6. Умножение оригинала на

жения)



Если

 

И более того,

tfpF





, то

d

n

  

1

dp



 





pFppФ

, т. е.

tfpF

.





p Ф

pF

.

p

t





pF





n



df





0



t

(дифференцирование изобра-







.





  



n

tftpF

.

tftpF 

.

16



Умножение оригинала на







p











изображения.

Доказательство

Рассмотрим интеграл Лапласа



t

соответствует дифференцированию



 





0

pt

dtetfpF

.

Этот интеграл – функция параметра

, т. е. это есть интеграл, за-

висящий от параметра. Вспомним правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру. При его формулировке требовалось, чтобы подынтегральная функция была непрерывной как функция двух переменных.

Однако можно показать, что правило Лейбница остается в силе,



если функция

имеет разрывы 1-го рода в изолированных точках.

tf

(Примем этот факт без доказательства.)

Воспользуемся правилом Лейбница и продифференцируем функ-



pF

цию

по параметру p.





  



d

pF

dp

  





dtetf





00

d

dp







000



ptpt



ptptpt



  



dttetfdtetf

ttfLtftLdtettfdtetft



.



Полученный интеграл сходится, т. к.

если



tf

– оригинал.

ttf

является оригиналом,

Таким образом,





  





 

или, иначе,







ttfpF



(т. к.

17

tftpF 

,



ttfLpF

).

Применяя это правило n раз, получаем









p





p

n



n

dp





pFd

n

.



1



tft

7. Деление оригинала на t (интегрирование изображения)



Если

 





tfpF

и



p





p



dzzF

сходится, то

dzzF









tf

.

t

Деление оригинала на t соответствует интегрированию изображе-

ния в пределах от

до .

Замечание

Несобственный интеграл в этом соотношении понимается в сле-

дующем смысле:





lim



стремится к  так, что действительная часть  стремится к



, где  – комплексное число, т. е.





pp

)(Re





Доказательство

Пусть

tf

– оригинал. Обозначим его изображение как



pФ



t





p

Ф





tf

.

t

Умножим оригинал, стоящий в правой части этого соотношения,

на t. Тогда



 

 Ф







. Но, с другой стороны,

tfp



 





.

tfpF

.

, т. е.

Следовательно, в силу теоремы единственности

интегрируем это равенство в пределах от

18



до .

 

. Про-

ppF Ф











   







pp



ФФФ

p



lim

Re

т. к. по теореме существования в силу того, что

0



.



Ф

lim



Re

Остается выяснить вопрос о сходимости

Итак,

Мы предполагали, что

 



tf

– оригинал. Следовательно, существу-

t

p



p



p



p





p

dzzFpФ . (*)



,

ppzdzzdzzF

Ф





Ф











pФ – изображение,



dzzF .

.



pФ . На основании только что доказанного ра-

ет его изображение



венства (*)

нием функции



p



dzzF существует, т. е. сходится, и является изображе-



tf

t

С другой стороны, если этот интеграл сходится, то в силу равен-

ства (*) и теоремы единственности никакая другая функция не может



tf

быть изображением функции

изображением никакой другой функции, кроме

, а сам этот интеграл не может быть

t



tf

, и в силу взаим-

t

но-однозначного соответствия оригиналов и их изображений функ-



tf

ция

Итак, получили



является оригиналом.

t







p



dzzF







tf

, если

t

19



p



dzzF – сходится.

Примеры

p

m



p





t

1. Проинтегрируем от

до  изображение

Используем тот факт, что

1

2

p



t

sin





1



(справедливость этого вы-

tsin

.

ражения будет доказана позже).



1



2

p

1



p

arctg







p

2

arcctgarctg



pppdp

.

Интеграл существует. (Берется главная ветвь многозначной функ-

ции

в области

zArctg . Интегрирование ведется вдоль вещественной оси 0I

0Re 

.)

По теореме об интегрировании изображения



t



arctg

2

sin

p





.

t

,

Действительно,

является ограниченной функцией, поскольку

t

tsin

sin

t

lim

0

t

2. Проинтегрируем от

Ранее было указано, что

1

, т. е. является оригиналом.

t

до  изображение



p



2

p

dp

2



p

1



1





2

pp



1



2



pd

2



p

cos

1



t

.

1

2



p

2

tcos

.



1ln



.

p

Интеграл расходится (не существует). Следовательно, не суще-

tcos

ствует изображения функции

. Действительно, эта функция не

t

является оригиналом, т. к. в точке

0

имеет бесконечный разрыв

(разрыв второго рода).

20

