Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операционное исчисление. Учебное пособие
.pdf
fff
6.
Пусть
вание с
tfpF
. Из теоремы умножения следует, что сверты-
-функцией некоторого оригинала
нию его изображения на единицу:
равносильно умноже-
tf
1
fpF
, но
Это означает, что свертывание с
-функцией не изменяет ориги-
нала, т. е.
tftft
.
Таким образом,
-функция при свертывании играет ту же роль,
что тождественная единица при умножении:
словами, свертывание с
-функцией оставляет любую функцию
неизменной.
Пусть
7.
xf
– функция, представимая своим интегралом Фурье:
1
dtetfdxf
2
tfpF
.
. Иными
xti
.
При
х
= 0 получим
0 dtetfdf
1
.
2
ti
Переменим (формально!) порядок интегрирования в этом повторном интеграле, взяв внешнее интегрирование по переменной
0
1
dedttfdtetfdf
2
1
2
titi
.
Запишем этот результат в следующем виде:
(множитель
0
dtdetff
1
отнесли к внутреннему интегралу).
2
81
1
2
ti
t
.
t
Сравним с формулой
dtttff 0 .
Заметим, что обе формулы справедливы для любой функции
xf
рассматриваемого типа. Следовательно,
1
2
Поэтому можно считать, что
det
1
2
ti
Получили так называемое представление
Фурье.
Заметим, что интеграл, стоящий в правой части полученного ра-
венства, расходящийся (действительно, при
0 d
1
2
1
2
, т. е. интеграл расходится).
.
ti
dtdetfdtttf
.
-функции интегралом
0
получим
Таким образом,
-функция не может выражаться сходящимся
интегралом, т. к. любой сходящийся интеграл, зависящий от параметра, представляет собой обычную функцию этого параметра, в то
время как
-функция не является функцией обычного типа, а пред-
ставляет собой обобщенную функцию.
Замечание. Изменение порядка интегрирования в повторном
интеграле (в процессе доказательства) мы провели формально, т. к. в
результате такой перемены получили расходящийся внутренний ин-
tf
теграл. В первоначальном интеграле функция
, являясь абсолютно
82
интегрируемой (что требуется для представления функции интегра-
t
t
t
t
лом Фурье), обеспечивала сходимость внутреннего интеграла:
,
Воспользуемся формулой Эйлера
ti
ti
Тогда
ti
(поскольку интеграл от нечетной функции
sin по симметричному
интервалу интегрирования равен нулю при любом
емое обратилось в нуль).
cos2cos dtdtde
0
(в силу четности косинуса).
Итак,
ti
dtetfdttf
.
tite
sincos
t
, то второе слага-
.
cossincossincos
dtdtidtdtitde
Это опять расходящийся интеграл.
Действительно, при
Таким образом,
Отсюда следует, что
8.
Рассмотренные дельтаобразные функции, последовательности
которых приводили к
0
получим
1
2
t
ti
t
можно представить в виде
cos1dtt
0
, были функциями четными, поэтому есте-
1
cos
0
0d
.
dtde
.
.
ственно считать и δ-функцию четной на интервале
),(
, т. е. для
любого
t
).()(
83
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ
s
ИНТЕГРАЛОВ
Лемма
Пусть
Если
tf
– оригинал.
tfpF
и существует
lim
t
ftf
, то справедлива
формула
lim
p 0
ppFf
.
Условия леммы могут быть выполнены только в том случае, когда
0
s
0
, т. е. когда функция
tf
ограничена (в частности, убывает по
абсолютной величине на бесконечности до нуля, что имеет место, ес-
0
s
ли
lim
t
0
), т. к. только в этом случае может оказаться, что существует
tf
. Поскольку по теореме существования
pF
существует при
при
Re sps
, то в нашем случае
0
0Re p
.
pF
существует, по крайней мере,
Доказательство
Пусть
tf
существует, непрерывна и является оригиналом (дока-
зательство проведем только для этого частного случая).
По теореме об изображении производной оригинала имеем
pt
00fppFdtetftfL
.
Отсюда
0
pt
0fdtetfppF
.
84
Поскольку
t
tf
, по предположению, непрерывна при
0
, то ин-
теграл
0
pt
, зависящий от параметра p, является непре-
dtetfpI
рывной функцией этого параметра, т. е.
.
0
dtetf
сходится равномерно, т. к.
(Несобственный интеграл
tf
функция
по предположению является оригиналом, т. е. суще-
lim pIpI
pp
0
0
pt
ствует мажорирующая функция, несобственный интеграл от которой
сходится.)
В этом случае
pp
00
00
pt
00lim0lim tffdttffdtetffppF
0
, то
lim
p 0
fppF
ffff 00
f
(по условию
ственный интеграл
существует, а следовательно, существует и несоб-
0
dttf ).
Итак, доказали, что если существует
f
Лемма может быть доказана и без заявленных дополнительных
предположений, например, в случае, если
2
.
нал
2
Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические функции. Пре-
образование Лапласа. М. : Наука, 1973. С. 306;
Мышкис А. Д. Математика для втузов. Специальные курсы. М. : Наука, 1971.
С. 141–142.
tf
– непрерывный ориги-
.
85
Необходимым в условиях леммы является требование существо-
вания
ff
(под
f
понимается
f
). Без учета этого
требования возможны ошибки при использовании леммы, например,
для функций
ttf cos
,
tttf cos
и т. п.
Приведем другое доказательство леммы для того же частного
случая.
tf
Пусть
Рассмотрим
существует, непрерывна и является оригиналом.
dtetfpppF
0
pt
.
Проинтегрируем этот интеграл по частям:
1
ptpt
,,,
vdtedvdttfdutfu
.
e
p
1
e
tfp
p
0
1
p
т. к.
pt
t
.Re
sps
0
t
т. е. при
Таким образом,
ts
00
pp
00
0
stpt
ee
,
st
t
0 dtetffppF
pt
pt
dtetfpppF
0
Metf
0
pt
ts
0
,
tss
00
. Отсюда
0
000
ssMeeMeetf
ptptptptpt
0
,
dtetffdtetfetfdtetf
,0при0limlimlim
00lim0lim tffdttffdtetffppF
0
86
(интеграл
если
tf
0
pt
dtetf
является непрерывной функцией параметра p,
– непрерывная функция, что мы и предполагаем).
Следовательно, если существует
lim
t
p
0
0lim
fftf
0
lim
p 0
0
dttf , т. е. если существует
, то справедливо равенство
fffftffppF
00
fppF
.
, т. е.
Лемма доказана.
С помощью доказанной леммы и теоремы об интегрировании изображения легко вычисляются некоторые несобственные интегралы.
Теорема
Если
tfpF
и
tf
сходится, то
0
dt
t
tf
t
00
,
dppFdt
где интеграл в правой части равенства можно вычислять по положительной полуоси.
Доказательство
Пусть
ния (теореме о делении оригинала на
если интеграл
p
tfpF
. Тогда, по теореме об интегрировании изображе-
dzzF
t
), получим
p
dzzF
tf
,
t
существует (сходится).
87
По теореме об интегрировании оригинала (теореме о делении
p
z
M
M
t
изображения на
) имеем
1
dtzF
p
p 0
f
d
.
Воспользуемся леммой. Обозначим
t
f
0
tYY
.
0
p
p
f
00
d
d
,
tYp
, то
dzzF
lim
p
0
t
limlim
t
f
0
. По условию
p
Тогда, поскольку
ствует, где
Следовательно,
Отсюда
tY
lim
t
dzzF
Значит, действительно, справедливо равенство
dppF
tf
00
dt
t
1
p
p
Ypp
dzzF
.
, если
Y
суще-
d
.
f
0
Yd
существует.
(здесь
заменили на p, а на t).
Теорема доказана.
Пример
Найти
0
Можно показать, что при
Действительно, т. к.
tsin
M
, где
t
sin
t
e
t
dt
t
0
tsin
sin
t
e
0
t
.0,0
t
существует (сходится).
dt
– ограниченная функция, т. е.
t
t
88
0,const
, то
sin
e
t
Me
tt
.
Следовательно, при
0
и при
интеграл будет существовать (т. е. сходиться).
0
интеграл сходится. Можно доказать, что
Поскольку
если
0
,
1
Если
Итак,
p
arctg
0
,
arctg
e
0
e
e
2
t
arctg
t
0
t
t
sin
sin
dt
t
sin
t
dt
t
pp
t
dt
t
te
, то по рассмотренной теореме,
p
0
2
2
p
arctgarctg
2
00
0
00
p
sin
t
2
2
dp
2
arctgarctg
2
2
dp
2
,0,arctg
.arctg
,0,arctg
.arctg
.0
Рассмотрим случай, когда α = 0.
В этом случае: при
Если
1 , то
sin
0
t
t
при
при
dt
0
0 dt
0
– получили известный интеграл Дирихле.
2
0
0
0
sin
sin
sin
dt
dt
;
2
;
2
0
.
t
t
t
t
t
t
89
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
T
tTtddtTt
Пусть
tf
– периодическая функция с периодом
0 ttfTtf
. Найдем изображение
T
ptpt
00
tf
.
T
0
:
pt
.
dttfedttfedttfetfL
Сделаем во втором интеграле замену переменной интегрирования
по формуле
.при;0при;;
ppT
dfeedttfedTfeedttfe
Тогда
T
pt
T
pt
00
T
Tp
ptppT
dTfedttfetfL
0000
,
т. к.
Но
Следовательно,
Отсюда
fTf
в силу того, что T – период функции f(t).
p
0
T
1
pt
0
1
tfL
pT
e
1
tfLdfe
.
pT
T
T
0
ptpT
0
pt
dttfetfLe
, т. е.
.
tfLedttfetfL
pFdttfe
.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]