Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операционное исчисление. Учебное пособие
.pdf
Таким образом, если функция
T
периодична с периодом
tf
0
,
T
1
pT
pt
0
tfTtftfdttfe
,
.
то
e
1
Пример. Найти изображение функции, заданной графиком, пред-
ставленным на рис. 16.
f(t)
1
0
π/
4
1 3
2
4
5
6
t
Рис. 16
Аналитически данная функция может быть записана в следующем
виде:
TtfTtf
,10при
tttf
.1где,
Для того чтобы получить изображение этой функции, найдем сначала
T
pt
1
pt
00
,
tdtedttfe
вычислив его методом интегрирования по частям:
T
pt
1
dttedttfe
00
te
p
1
0
1111
e
p
e
p
222
pp
1
p
0
dte
pppp
pee
.1
e
p
1111
2
p
1
ptpptptpt
e
0
Теперь по формуле найдем изображение данной функции:
91
T
s
s
p
pF
1
1
pT
e
p
e
1
p
1
pt
0
dttfe
1
1
pep
p
1
1
p
pp
e
1
1
p
1
pe
p
pe
1
222
p
ep
.
1
pp
pee
1
22
p
pe
1
1
p
e
Таким образом,
p
1
p
2
ep
pe
1
tf
.
Найдем изображение этой же функции другим способом.
Запишем аналитическое выражение этой функции с использованием единичной функции Хевисайда:
)()(
ktttf
k
1
.
Найдем обобщенную производную этой функции:
Условное изображение функции
k
).(1)(
kttf
1
)(tf
имеет вид
т. к.
Ряд
1
p
k
,1
kp
1
),(1 t
и по теореме запаздывания
сией со знаменателем
сходится при условии
Найдем сумму этого ряда:
kp
k
1
ppp
32
eeee
pe
, и т. к.
ppp
kp
e
,
11k
kp
sp
ee
1
при
p
e
1
1
pp
ee
)( kte
.
0
, то этот ряд
.
1
p
является геометрической прогрес-
0Re
.
32
eeee
92
Значит, изображение (условное) функции
f
p
F
t
f
)(tf
может быть запи-
сано как
11
p
e
.
p
1
Воспользуемся правилом дифференцирования оригинала:
)()0()( tffppF
.
,0)0(
С учетом того, что
изображение функции
).(
имеем
Теперь найдем изображение самой функции:
)(
pF
Итак,
11
p
epp
p
1
2
p
ep
)1(
pe
)1(
11
ppF
)(
p
22
ep
).(
tf
p
e
1
pe
.
p
)1(
p
1
, где
)(
–
93
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
t
K
t
f
t
K
t
K
t
K
t
f
ttK
СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ
Рассмотрим интегральные уравнения следующего вида:
Здесь
Функцию
t
tfdytK
)()()(
0
),(
,
)(
– заданные функции;
),(
называют ядром интегрального уравнения.
и
t
dytKtfty
)()()()(
0
)(ty
– искомая функция.
.
Это частные случаи интегральных уравнений Вольтерры соответственно первого и второго рода с ядром
)(
, зависящим только от
разности аргументов. Такие уравнения представляют собой важный
класс уравнений Вольтерры, их иногда называют уравнениями
свертки
Если функции
.
)(
и
)(
являются оригиналами, то и
типа
)(ty
будет
оригиналом (можно доказать; примем это без доказательства).
Пусть
По теореме умножения
)()( tKp
,
)()( tfpF
,
t
0
)()( typy
.
dytKppy
)()()()(
.
Найдем изображения данных интегральных уравнений.
t
tfdytK
)()()(
Для уравнения
0
Изображением этого уравнения будет
)(
p
py
предполагаем, что
)(
pF
)(
p
.
0)(,
)()()( pFppy
, откуда
Перейдя к оригиналу, найдем искомое решение.
0),(
.
94
Для уравнения
вид
t
dytKtfty
)()()()(
0
изображение будет иметь
)()()()( ppypFpy
.
Решим это уравнение относительно
)(
pF
)(1
p
Найдя оригинал
)(
p
py
)(ty
, соответствующий изображению
)( py
.
)())(1)(( pFppy
и
1)(,
.
чим решение исходного интегрального уравнения.
Примеры
t
1. Найти решение интегрального уравнения
)(2
В этом уравнении
t
etK
,)(
следовательно,
0
)( py
, полу-
)(
2)(2
tt
etdye
t
etK2)(
. Найдем
.
изображение этой функции:
eLp
}{)(
p
жение правой части уравнения, т. е. функции
2
etLpF
}{)(
p
Запишем изображающее уравнение:
Отсюда
)(
py
p
p
2
3
)1(
py
)(
42
.
3
)1(
1
2
tt
2
et
1
pp
2
.
tt
22
. Найдем изобра-
e
tet2
:
2
.
3
)1(
Методом неопределенных коэффициентов найдем разложение
дроби на простейшие дроби:
95
42
A
p
CBA
p
CBA
p
CCACABB
t
)(
py
p
p
A
p
B
p
233
)1()1()1(
C
.
p
Приведем правую часть к
1
общему знаменателю и приравняем числители полученной и исходной дроби:
2
.42)1()1(
ppCpBA
Найдем коэффициенты A, B и C.
Из полученного тождества имеем:
при
при
при
Таким образом,
;21
;02
.40
42
)(
py
p
)1(
2
)1(
.02422;242
1
2
ppp
.
233
)1(
Найдем соответствующий изображению оригинал:
2
ttt
).2(2)(
tteteetty
Итак, решением данного интегрального уравнения является функция
t
).2()( ttety
2. Найти решение интегрального уравнения
t
dyttty
)()cos(1)(
0
.
В данном случае
Интеграл
)(,1)(
pFttf
t
dyt
)()cos(
0
является сверткой функций
11
p
p
pttK
)(,cos)(;
cos
p
.
и
1
).(ty
22
p
96
Изображение уравнения:
CBA
)(
py
p
p
11
p
)(
py
p
. Найдем
22
1
).( py
1)(
py
p
p
1
11
p
22
p
2
)(,
py
1
pp
1
p
1
p
22
p
)(,
py
2
22
pp
ppp
Представим изображение решения как сумму простейших дробей:
2
py
)(
pp
)1)(1(
ppp
p
A
B
p
2222
DCp
.
pp
1)1(
Найдем коэффициенты разложения.
232322
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
p
.1)1()1(
pppDpCpppBpppA
в правой и
левой части тождества:
при
при
3
2
;1
CBp
;1
DBAp
)1)(1(
.
)1(
при
при
0
.1
Ap
Получим:
имеет вид
;1 BAp
D
2
py
)(
pp
.2,1,2,1
Следовательно, разложение
)1)(1(
pppp
)1(
p
221
2222
Преобразуем все дроби в дроби табличного вида:
3
p
)(
py
p
p
221
1
ppp
1
3
1
p
1
2
p
3
2
1
p
2
1
2
p
2
p
p
3
4
1
p
2
p
.
pp
1
1
p
2
2222
1
2
3
4
1
2
222
.
3
4
97
Найдем соответствующий оригинал:
ttt
y
t
2
sin3(2)(
3
cos
2
3
)
ttetty
.
2
Эта функция является решением заданного интегрального уравнения.
3. Найти решение интегрального уравнения
Здесь
где
t
,)(;cos)(
etKttf
т. к.
t
)(и
tye
, т. е.
t
eLp
}{)(
1
;
;
p
1
tt
0
dye
)(
t
tt
0
tLpF
}{cos)(
0
есть свертка функций
)()()()(
p
2
1
p
pypdyetye
,
tt
).()}({ pytyL
dyetty
)(cos)( .
Изображение интегрального уравнения принимает вид
py
p
)(
2
1
p
1
py
)(
p
py
)(
1
p
p
1
py
1
1
p
p
)(,
p
1
)(
py
.
p
py
)(,
p
1
По изображению решения найдем его оригинал:
1
p
)(
py
p
p
11
222
pp
1
1
)(sincos
tytt
.
Итак, решением интегрального уравнения является функция
sincos)(
.
p
1
.
222
p
1
98
ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ И КЕЛЬВИНА
x
При решении некоторых задач электротехники операторным методом приходится встречаться с изображениями, оригиналами которых являются функции Бесселя.
Определение
Функция
kk
)(
xJ
k
k
2
0
2
)1(
x
,
kk
)1()1(2
определенная как сумма сходящегося ряда, называется цилиндрической функцией 1-го рода порядка ν, или
функцией Бесселя (1-го ро-
да) порядка ν.
Через
)(
здесь обозначена гамма-функция. Сходимость ряда
легко устанавливается с помощью признака Даламбера. Функция
при любом действительном значении параметра ν является
)(xJ
частным решением уравнения
222
yxyxyx
.const,0)(
Такое уравнение называется уравнением Бесселя. К уравнениям
подобного вида сводятся многие задачи математической физики, в
частности оно встречается в краевых задачах теории потенциала для
цилиндрической области. Подобные уравнения возникают также в
различных разделах техники, физики и астрономии. По своему типу
это уравнение является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Число ν называется индексом
равнения Бесселя.
у
99
Для функций Бесселя имеет место следующее рекуррентное соот-
ношение:
).(2)()(
xJxJxJ
11
Будем рассматривать функции Бесселя с целым неотрицательным
n (n
индексом ν =
= 0, 1, 2, 3, …):
)(
xJ
k
0
n
nkk
2
2
)1(
x
nk
.
)!(!2
nkk
Здесь мы воспользовались тем, что
Это будут частные решения уравнения Бесселя с индексом ν =
n
)!()1(,!)1( nknkkk
:
222
nynxyxyx
.const,0)(
Для них справедливо рекуррентное соотношение
).(2)()(
xJxJxJ
11
nnn
В частности, будем иметь
kk
)(
xJ
0
k
0
2
)1(
x
k
22
)!(2
k
xJ
1
)(,
0
k
)1(
k
12
Найдем изображение по Лапласу функции Бесселя
Сначала найдем изображение функции
)(
xJ . Пользуясь извест-
0
kk
12
x
kk
.
)!1(!2
)(xJ
.
n
ными свойствами оригиналов и изображений и учитывая сходимость
соответствующих рядов, получим
kk
xJ
)(
0
k
0
2
x
)1(
k
22
)!(2
0
k
k
)1(
k
kk
)!(2
k
k
22
p
1)!2(
p
1
k
k
k
k
1
)!2()1(
2212
)!(2
1
k
2
pk
k
1
1
p
1
p
1
1
k
1
!12
k
k
)!2()1(
k
22
)!(2
311
!22
k
2
pk
11
p
5311
1
k
1
!32
ppp
k
k
k
1
...
!2
1
1
p
!)!12()1(
pk
263422
p
1
2
1
2
11
1
.
2
p
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]