Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операционное исчисление. Учебное пособие
.pdf
При выводе использован тот факт, что
)!2(
k
k
!2
k
)!2(
k
!)!2(
k
!)!12(
k
(Напомним, что символом
натуральных чисел от 1 до
,
поэтому
!)!2(!2 kkk , как, например,
n
n
!! обозначается произведение всех
одинаковой четности с n; например,
7531!!7,8642!!8
33
!!66423212!32
,
отсюда можно получить, что
!6
!!6
654321
642
!!5531
, т. е. !)!12(!)!2()!2(
kkk )
Кроме того, было использовано разложение в биномиальный ряд:
)1(...
1
!1
)1(
!2
)2)(1(
32
!3
zzzz ;
1
при
это разложение принимает вид
2
zzzz
1
1
!12
31
2
2
!22
и, как известно, данный ряд сходится при
Итак,
1
1
531
3
3
!32
z .
).(
2
p
xJ
0
Теперь покажем, что изображением функции
2
1
pp
.
2
1
p
Действительно,
1
)(
xJ является
1
1
2
)1(...
,
1
2
1
pp
1
1
p
p
22
1
p
11
2
1
2
p
11
m
1
m
m
m
!)!12()1(
!2
1
m
2
pm
101
k
kkmk
m
m
1
1
m
)!2()1(
m
22
)!(2
2
pm
m
m
1
m
1
m
12
mm
1
)!12(2)1(1
pmmm
!)!1(22
m
2
1
m
m
1
m
)1(
12
mm
!)!1(2
0
k
k
m
2
m
)1(
x
12
kk
kk
1
m
12
)!1(!2
12
m
1
1
m
)1()!12(
mmp
)(
xJ
.
12
m
x
!)!1(2
Последним действием заменили индекс суммирования
1 m
. Тогда
m
Мы доказали, таким образом, что
2
1
2
p
121)1(212и1
.
pp
1
).(
xJ
1
Пользуясь методом математической индукции, докажем, что для
n
любого натурального числа
имеет место формула
n
pp
1
).(
xJ
n
2
1
2
p
m на
Для
если эта формула верна для
0n и 1n эта формула уже доказана. Докажем теперь, что
1
kn и )1( kkn , то она верна и для
1 kn . Воспользуемся рекуррентным соотношением, связывающим
)(1xJ
n
с )(
и )(xJ
1xJn
используя то обстоятельство, что
. В силу рекуррентного соотношения
n
11
k
мание правило изображения производной
будем иметь
,
),(2)()(
xJxJxJ
kkk
)1(0)0( kJ
, и принимая во вни-
)()0()( xffppF
,
)}({)]0()}({[2)}({
xJLJxJpLxJL
11
kkkk
102
т. е.
tber
t
2
1
2
p
1
pp
2
p
1
2
1
2
1
p
2
1
pp
2
1
p
1
pp
pp
2
1
2
p
22
)1(
kkk
1
pp
1
2
1
2
p
1
pp
kkk
1
).(
xJ
1
Таким образом, по заключению метода индукции формула
2
1
2
p
n
pp
1
)(
xJ
n
доказана.
Заметим, что ряд, определяющий функции Бесселя, сходится не
x
только для действительных значений аргумента
, но и для любых его
22
)2121(
ppp
комплексных значений. В последнем случае этот ряд определяет
функцию Бесселя комплексного аргумента.
Во многих задачах физики и техники используются
Кельвина
(функции Томсона)
и
bei
, которые определяются
функции
соответственно как действительная и взятая с противоположным зна-
)(0itJ
0
k
)1(
k
, т. е.
2
kk
)1(
x
22
)!(2
k
242
it
))!2((2
k
tibeitberitJ )(
.
переменную x на
kkk
24
k
)1(
k
k
it
.
kkk
122412
it
224
))!12((2
ком мнимая части функции
Заменим в формуле
)(
itJ
0
k
0
0
2
)1(
k
k
xJ
0
kkk
it
22
)!(2
0
)(
k
k
0
24
kk
t
.
2
)!)!24((
4
k
k
0
kk
t
)1(
22
k
))!2(2(
i
0
k
)1(
k
24
kk
t
k
))!12(2(
212
0
k
4
kk
t
)1(
2
k
)!)!4((
i
0
k
)1(
k
103
Разделили сходящийся ряд на суму двух сходящихся рядов по
i
четным и нечетным степеням
, приняли во внимание, что
Отделив действительную и мнимую части, получим
tber
k
0
tbei .
k
k
0
k
)1(
k
k
)1(
k
4
t
,
2
]!)!4[(
24
k
t
2
]!)!24[(
Найдем оригинал, соответствующий изображению
z
:
Воспользуемся разложением в ряд функции
z
1
1
!1
1
!2
e
1
32
zzze
...
!3
i )1(2 .
i
1
p
.
e
kk
p
Имеем
i
p
e
p
0
k
111
i
2
!1
p
p
kk
)()1(
it
2
)!(
k
2
1
i
3
!2
p
0
k
3
1
i
!3
p
it
k
)!(2
k
1...
2
kk
)2()1(
22
1
)!1(
)2(
itJ
0
1
)!2(
, т. к.
2
)(
224
xJ
0
1
)!3(
)(
0
k
3
ititit
2
)1(
k
k
Отсюда вытекает
i
e
11
p
p
(cos
1
sin
i
pp
1
0
p
)2()2()2()
tibeitberitJ
.
Из полученного выражения по свойству линейности изображений
следует
1
cos
1
pp
)2(
tber
,
1
sin
1
pp
.
)2(
tbei
...)(
2
kk
x
.
22
)!(2
104
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
xxtxx
xxtxx
xxtxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxttxxx
xxtxx
x
xxtxx
x
xxxxx
xxxxx
xxxtx
x
xxxxx
x
I. Методом операционного исчисления найти частное решение
дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
2
1)
t
xxexx
.0)0(,0)0(,9
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
t
3
t
2
t
.2)0(,1)0(,2 xxexx
2
.0)0(,1)0(,3cos9
.0)0(,0)0(,14
.2)0(,4)0(,2
xxttxx
.0)0(,0)0(, xxtexx
.0)0()0(,423
.6)0(,2)0(,102
xxexx
.2)0(,1)0(,0sin2
.0)0(,1)0(,023
.1)0(,1)0(,065
.0)0(,0)0(,122
.1)0(,0)0(,123
xxttxxx
.3)0(,2)0(,cos3sin2
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
t
,4
exx
x
3
Найти общее решение.
yyxyy
yyeyy
yyxxyy
.0)0()0()0(,14
.)0(,)0(
xxxx
00
.0)0(,3)0(,2
.0)0()0(,6
.0)0()0(,2sin
105
.1)0(,0)0(,cos22
.0)0(,0)0(,0)0(,1
.0)0(,1)0(,1)0(,sin
.2)0(,2)0(,1)0(,42
24)
2
yyxxyy
.0)0()0(,6
25)
26)
27)
28)
29)
30)
x
2
x
2
yyxyy
.0)0()0(,2sin
yyyyy
yyxyyy
yyeyyy
.0)0(,0)0(,122
.0)0()0(,152
.1)0(,0)0(,
yyyeyy
yyyxyy
.0)0(,0)0(,0)0(,
.1)0()0()0(,0)2(3
II. Методом операционного исчисления найти частное решение
системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным
начальным условиям.
1)
,0
yx
.0)0(,2)0(
yx
;0
xy
2)
3)
4)
5)
6)
7)
,
yxx
.0)0(,1)0(
yx
;
yxy
,03
yxx
;0
yxy
,04
yxx
;02
yxy
,3
yzy
x
;
ezyz
,422
zyxx
,22
zyxy
;725
zyxz
,04
yxx
;02
yxy
zy
.1)0(,1)0(
yx
yx
yx
.1)0(,0)0(
.0)0()0(
.1)0(,1)0(,1)0(
zyx
.3)0(,2)0(
8)
zy
,0
,0
;0
zzx
1
)0(,2)0(
zyx
2
106
5
.
)0(,
2
9)
,07
yxx
.1)0(,1)0(
yx
;052
yxy
10)
11)
12)
13)
14)
yx
yx
,
zyxx
,
zyxy
;
zyxz
,32
yxx
,
zyx
,
yxy
;
zxz
,0
;02
xyy
,0
;022
yxy
;0243
yxyx
zyx
yx
yx
zyx
yx
.3)0(,2)0(,1)0(
.1)0(,1)0(
.1)0(,1)0(
.1)0(,2)0(,2)0(
.0)0(,0)0(
15)
16)
17)
18)
19)
20)
yx
yx
xy
,02
.1)0(,3)0(
xyx
t
;
eyxy
,1
;0
t
,03
tyx
txy
;733
eyyx
yx
,2sin84
;2sin8
,cos42
tyxx
;sin2
tyxy
yx
.0)0()0(
yx
yx
yyyxxx
yyyxxx
,0)3()92(
;0)5()72(
.2)0(,2)0(
.0)0()0(
yyxxt
.0,00 при
00000
yyxx
.0)0()0(,1)0()0(
107
III. Найти оригинал по данному его изображению методом разло-
жения на простейшие дроби.
2
1
p
pp
2
2
pp
;
3)
22
)1(
pp
43
;
6)
ppp
)2)(1(
464
pp
2
)1(
;
9)
1
2
35
p
2
2
p
ppp
22
pp
.
32
ppp
;
)52)(1(
;
)9)(4(
1)
4)
7)
1
p
;
2
2)
3
pp
p
;
)4)(1(
;
8)
ppp
5)
22
pp
2
2
pp
23
6
IV. Пользуясь теоремой умножения, найти оригиналы, соответствующие следующим изображениям:
1)
p
;
2
pp
2)
)4)(1(
1
;
2
pp
3)
)1(
1
)2)(1(
pp
;
2
4)
7)
2
p
22
pp
p
;
4
p
8)
1
;
5)
)9)(4(
2
p
)1(
p
1
22
pppp
9)
;
22
;
)106)(136(
6)
V. Найти оригиналы, используя одну из теорем обращения.
1)
4)
7)
1
;
22
pp
2)
)1(
1
;
5)
)1()1(
22
pp
1
;
)1()1(
8)
33
pp
1
;
)1(
3)
2
pp
1
;
6)
32
)1(
p
2
pp
4
;
9)
23
pp
p
p
22
)9)(1(
pp
p
;
22
)1(
1
234
1
;
32
)2()1(
pp
1
.
2
pp
;
.
pppp
6116
)4)(1(
108
VI. Найти решение интегральных уравнений.
1)
3)
5)
7)
9)
11)
t
t
0
t
0
t
0
t
0
2
t
)(
ty
2
3
t
)(
ty
3
;)(
tdye
2)
;cos1)()sin(
;)()(ch
tdyt
8)
tt
0
)(2
tt
0
tdyt
4)
;sin)()cos(
tdyt
6)
;)(
dye
10)
;)(
dye
12)
t
t
0
t
0
t
0
t
0
2
)()(
0
;sin)(
tdye
2
;)()cos(
ttdyt
;cos1)()cos(
1
3
tdyt
tdyt
;
3
ttt
0
;)()(
dyeety
)(2
tt
.)(cos)(
dyetty
13)
15)
17)
19)
tt
0
t
)(
)(
ty
1
2
0
2
t
2
0
t
0
dyetty
2
tt
VII. Вычислить интегралы.
btat
ee
badt
t
1)
0
;)(cos)(
14)
;)()(
dyttty
16)
)(
;)()(
dyet
18)
;)()cos(2sin)(
dyttty
20)
);0,0(
2)
t
;)()(sin)(
dyttty
0
t
0
t
)(
1)(
0
2
0
t
1
2
0
btat
coscos
t
1
t
2
;)()sin()(
dyttty
;)()(
dytety
.)()(2sin
dytty
);0,0(
badt
3)
0
btat
ee
batdt
);0,0,0(sin
4)
t
0
btat
sinsin
);0,0(
badt
t
109
VIII. Найти изображение оригинала, заданного графиком.
1)
2)
3)
f(t)
1
0
1
t
f(t)
4
3
2
1
2τ 3τ τ 0
f(t)
t
4)
5)
2
1
0 1
f(t)
3
0
f(t)
1
2
3
t
t
0 1
t
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]