Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операционное исчисление. Учебное пособие
.pdf
Теоремы, соответствующие свойствам № 10, 11, и 12, будут дока-
заны позже. Более подробный список теорем операционного исчисления приведен в прил. 2.
Примеры
52
1. Найти изображение функции
sin
1
2cos1
2
552
tt
tettettf
1
1
p
2
p
tettf
p
4
t
.sin
1
p
5
.
pF
22
2. Найти изображение функции
tt
3
ttetetf
9ch23sin)(
6.
)(
pF
p
22
3
2
2
31
p
2
p
9)3(
22
9)3(
p
36
22
102
pp
2
2
180122
pp
726
pp
6
.
2
p
31
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПО КАРСОНУ – ХЕВИСАЙДУ
p
t
С
Кроме изображения по Лапласу в технических приложениях мате-
матики используется также изображение по Карсону – Хевисайду,
которое определяется следующим образом:
Такое преобразование носит название
Хевисайда, а функция
ется
изображением по Карсону – Хевисайду оригинала
, определенная этой формулой, называ-
pF
преобразование Карсона –
0
pt
tf .
dtetfppF
.
Изображение по Карсону – Хевисайду получается из изображения
по Лапласу путем умножения последнего на переменную
видно из формулы, т. е.
)(
ppFpF
, где
tfLpF
, как это
.
В частности, для единичной функции Хевисайда имеем:
1
(по Лапласу),
1
tp
11
t
(по Карсону – Хевисайду).
Отсюда следует, что изображением константы по Карсону – Хеви-
сайду является сама эта константа, что бывает очень удобно.
CC
(по Карсону – Хевисайду),
.cons
Удобно также то, что размерность изображения физических вели-
чин по Карсону – Хевисайду совпадает с размерностью оригинала.
В дальнейшем будем иметь дело только с изображениями по
Лапласу.
32
ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЮ
A
D
Получив решение задачи в изображениях, нам необходимо найти
оригинал, соответствующий изображению решения. Поэтому нужно
уметь производить обратное действие: по имеющемуся изображению
находить отвечающий ему оригинал.
Метод разложения на простейшие дроби
Рассмотрим метод на примере.
Пример. Найти оригинал по его изображению.
3
pp
pF
54
44
232
.
ppppp
Изображение является правильной рациональной дробью. Разложим ее на простейшие дроби.
pF
54
44
232
ppppp
3
pp
54
2
3
pp
2
pppp
A
p
B
1
p
212
B
2
2
p
2
2
Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая
числители в правой и левой части равенства, получим
2
2
2
1
2
2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
2
p в правой и
левой части равенства и решая полученную систему, найдем, что
0
,
B
,
1
2
1
B
1
,
C
1
,
1
.
Проверим правильность найденных коэффициентов.
11
p
2
p
22
1
p
22
pp
1
1
pppp
1
ppp
1
p
22
2
DCp
.
pp
1
3
.54212112
ppppDCpppppBpppBpppA
2
2
44
232
ppppp
12
pppp
54
2
3
pp
2
pppp
.
12
33
Коэффициенты найдены верно.
p
p
p
Таким образом,
pF
p
11
p
2
1
p
22
.
pp
1
Преобразуем последнюю дробь, выделив в знаменателе полный
квадрат.
1
1
p
p
1
pp
1
p
1
1
p
2
3
p
4
В знаменателе получили выражение вида
где
1
, а
2
3
a
.
2
2
2
1
2
3
4
1
p
2
1
2
3
4
2
1
2
3
2
2
ap
,
3
2
1
pp
2
Выделили полный квадрат и разбили на две дроби такого типа, ко-
22222
.
3
4
торые имеются в таблице. В знаменателе стоит группа
лителе имеется
, поэтому в числителе тоже выделили группу
, а в чис-
Константу в числителе второй дроби преобразовали так, чтобы полу-
чить
3
a
, поскольку в знаменателе стоит выражение
2
2
2
ap
.
Таким образом, имеем
1
2
1
2
2
3
4
3
3
3
pp
tt
3
22
sin
3
3
2
222
1
2
3
tetete
.
2
3
4
pF
p
11
p
2
t
2
p
cos1
.
Сделаем выводы.
Если изображение является правильной рациональной дробью, то
для нахождения соответствующего оригинала следует изображение
34
разложить на сумму простейших дробей и применить свойство ли-
нейности.
Пусть изображение представляет собой правильную рациональ-
pR
ную дробь:
pF
m
pQ
n
, где
pR
– многочлен m-ой степени, а
m
pQ
–
n
многочлен
n-й степени
)( nm
. Тогда его можно представить как сум-
му дробей простейшего вида (простейших дробей).
Имеется четыре типа простейших дробей.
Найдем их изображения:
(I)
(II)
(III)
A
p
A
p
2
Ae
k
t
;
1
A
k
BAp
apap
21
tk
1
et
( по формуле:
!1
BAp
p
2
2
p
p
2
ABpA
2
!
n
et
n
1
.
(Это тот случай, когда корни знаменателя – комплексные.)
Выделив в знаменателе полный квадрат, разобьем на две дроби:
tn
);
где
p
A
p
2
1
,
2
aa
2
AB
a
2
4
p
2
1
.
2
tAe
2
AB
tt
sincos
Поскольку корни знаменателя считаем комплексными, то
a
4
2
1
a
2
(IV)
(дискриминант знаменателя меньше нуля), т. е.
0
BAp
2
(корни знаменателя – комплексные).
k
apap
21
35
a
a
1
2
4
te
,
2
;
0
tm
p
Эту дробь надо сводить к изображению функций вида
tm
1
и
kmtet
...,,2,1,sin
. У дроби такого типа нет достаточно про-
1
cos
tet
стого выражения соответствующего ей оригинала, поэтому ее лучше
представить в виде суммы дробей (I) и (II) типа с комплексными значениями корней и комплексными коэффициентами разложения. В
этом случае
Тогда
BAp
2
apap
21
p
A
ip
B
ip
1
k
1
A
B
A
A
11
k
k
ip
B
11
k
k
)(
ip
k
)(
ip
BAp
22
A
21
1
kk
)()(
ip
B
21
kk
)()(
ip
A
et
et
tit
1
k
k
B
1
k
...
1
1
)!1()!1(
t
1
)!1()!1(
BAp
kkkk
ipip
)()(])[(
A
k
B
tktitk
tktitk
ip
k
....
ip
...,),sin(cos
titet
),sin(cos titeAeA
titet
...,),sin(cos
B
где коэффициенты
k
k
ip
tit
BBAA ...,,...,,
, вообще говоря, комплексные.
11
kk
t
k
),sin(cos titeBeB
Зная оригиналы для дробей простейшего вида, найдем оригинал
для любой правильной рациональной дроби от
, т. е. для любого
изображения, являющегося правильной рациональной дробью.
36
Рассмотрим отдельно случай, когда знаменатель
pQ
n
только простые корни (т. е. все корни знаменателя – простые).
имеет
Пусть
Тогда
ppp ...,,,
– простые корни уравнения
21
pF
n
можно разложить на сумму простейших дробей сле-
.0pQ
n
дующим образом:
n
k
k
11
pR
km
1
,
pppQ
kkn
где
A
k
pR
pF
pR
km
(эта формула доказывается при рассмотрении раз-
pQ
kn
m
pQ
n
n
A
)(
k
k
pp
ложения дробей на простейшие).
Отсюда следует, что в случае только простых корней
21
ppp ...,,,
n
знаменателя оригиналом, соответствующим такому изображению,
будет
k
n
1
pR
km
e
pQ
kn
tp
k
.
tf
Эта формула позволяет найти оригинал тогда, когда изображение
его является
менатель которой имеет
правильной рациональной несократимой дробью, зна-
только простые корни.
Общий случай отыскания оригинала по его изображению дает
формула Меллина (Римана – Меллина). Однако ее применение может
вызвать затруднения, поэтому лучше использовать другие методы,
если это возможно.
Формула обращения Меллина
Если
непрерывности
tf
– оригинал и
tf
справедлива формула обращения Меллина
pF
– его изображение, то в любой точке
37
s
p
t
t
p
t
is
1
itf2
is
pt
dpepF
,
где интегрирование производится по любой прямой
Замечание
Re
,
.
ss
0
Во всякой точке
t
, являющейся точкой разрыва функции
0
правая часть формулы Меллина равна
1
2
Первая теорема разложения
Если
ленной точки
по степеням
pF
аналитична в некоторой окрестности бесконечно уда-
p
и равна в ней нулю и если ее разложение в ряд
1
(ряд Лорана) имеет вид
p
k
k
t
atf
k
!
k
0
,
00
tftf
00
pF
0
.
k
tf
,
a
k
, то функция
1
k
p
0
(
при
0tf
0
) является оригиналом, имеющим изображение
Вторая теорема разложения
Если
является однозначной аналитической функцией во всей
pF
плоскости комплексного переменного
числа изолированных особых точек
n
k
Res
pp
1
k
38
всех
0
.
pF
, за исключением конечного
pFp
0lim
, то для
ppp ,....,
и
n
.
21
pt
epFtf
В условиях теоремы имеется в виду, что
p
lim
0
при произ-
pFp
вольном стремлении
Замечание.
полнены, если
Все условия второй теоремы разложения будут вы-
pF – правильная рациональная дробь. (Формулу
, а не только для
Re
ssp
.
0
Меллина и две теоремы разложения примем без доказательства.)
С помощью второй теоремы разложения можно находить оригиналы для изображений, не являющихся правильными рациональными
pp
дробями. Напомним, что в случае, когда
m-го порядка функции
Res
pp
k
Res
В нашем случае
pY , вычет может быть найден по формуле
pYpY
pp
k
1
m
pt
epFpY
lim
!1
. Тогда
pp
k
d
dp
m
m
является полюсом
k
1
1
m
.
pppY
k
Res
pp
k
Res
m
1
d
m
1
dp
pp
k
pt
m
.
ppepF
k
ptpt
epFepF
pp
k
1
m
lim
!1
39
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
t
УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Требуется найти решение этого уравнения при
Будем предполагать, что решение этого уравнения – функция
все ее производные до
а также функция
Подставив в дифференциальное уравнение его решение
n-го порядка:
10
1
nn
.... .
1
n-го порядка включительно:
, – являются оригиналами:
tf
n
tx ,
...,,,
)(
txtxtx
,
tf – оригиналы.
nn
tfxaxaxaxa
0
.
tx и
n)(
,
...,,,
txtxtx
txx
,
получим тождество. Найдем изображение этого тождества, т. е.
найдем изображение правой и левой части этого тождества. По теореме единственности, если оригиналы тождественно равны, то равны
и их изображения (это же следует прямо из определения изображения). Следовательно, изображение левой части тождества будет равно
изображению правой его части.
Перейдем к изображению этого дифф
т. е. найдем изображе
ние его правой и левой части:
nn
1
10
...
1
еренциального уравнения,
nn
tfLxaxaxaxaL
.
По свойству линейности, изображение линейной комбинации оригиналов равно такой же линейной комбинации изображений этих
оригиналов. Поэтому получим
10
nn
1
...
40
1
nn
. (*)
tfLxLaxLaxLaxLa
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]