Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операционное исчисление. Учебное пособие
.pdf
Теперь можно найти изображение этой функции, применив теоре-
му запаздывания:
tfLpF
1
2)}({)(
1
e
4
pp
1
2
p
pp
2
e
222
.
С учетом нулевых начальных условий изображающее уравнение
примет вид
2
4
xxp
,
2
p
откуда
x
pp
pp
2
242
ee
pp
2
242
ee
.
22
)4(
Найдем оригинал, соответствующий следующей дроби:
2
4
11
)4(
4
11
222222
2
4
pppppp
1
tt
2sin
.
2
Тогда изображение решения можно представить в виде
pp
2
4
1
x
2
4
)4(
pp
4
e
2222
pp
1
2
)4(
e
.
22
pp
)4(
Применяя теорему запаздывания, получим решение задачи Коши
для данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
1
)(
2
1
(
2
1
1()()2sin
2
1
)1())1(2sin
2
1
2(
ttttttttttx
2
Дельта-функция и ее изображение
Рассмотрим функцию
t
h
t
:
h
1
2
h
1
2
h
,0,
thth
,0,
htth
hht
.0где,,0
).2())2(2sin
71
График этой функции имеет вид, изображенный на рис. 11.
1
h
h
h
t
Рис. 11
Для этой функции
Определим функцию
h
hh
h
1
2
t
как предел
1
2
hSdttdtt
h
def
lim
h
0
h
h
tt
01
h
при
t
.
Видно, что при этом
t
,0,0
.0,
t
t
Будем считать, что в пределе по-прежнему
Поскольку
00
hh
h
.1
dtt
h
hh
00
, т. е. не зависит от h.
0h
:
1
2
1
2
hSdttdttdttdtt
0
,
0
то
(считаем, что при
0h
0
00
в пределе равенства остаются справедливыми).
Такую функцию называют
-функцией. Это простейшая обобщенная функция.
0
0
1
dttdttdttdtt
, а
2
0
0
1
dttdtt
импульсной функцией Дирака, или
Можно определить эту функцию немного иначе. Рассмотрим
t
функцию
:
72
1
t
2
t
,при
где
t
,при0
0
.
Рис. 12
График этой функции представлен на рис. 12.
Очевидно, что при любом
1
2
0
Sdtt
0
прям
Определим функцию
1
2
1
Sdttdtt
прям
2
t
как предел
1
2
t
при
012
, (*)
0
. (**)
0
. Будем считать
при этом, что в пределе полученные равенства (*) и (**) остаются
справедливыми.
def
lim
0
tt
.
При этом снова получим
01а
t
График (условный) функции
Рис. 13
,0при0
t
dtt
,0при
t
t
показан на рис. 13.
f
73
.
t
Эта функция равна нулю всюду, за исключением точки
t
t
t
0
, в ко-
торой она принимает бесконечно большое значение, но при этом так,
0
что интеграл по любому промежутку, содержащему точку
, равен
единице:
Последний интеграл получится, если в
0
01
.
)0(1
dtt
0
.
dttdttdtt
0
Если рассматривать эту функцию как силу, то это бесконечно
большая сила, действующая в бесконечно малый промежуток времени и имеющая импульс, равный единице. Иными словами, это сила,
0
которая мгновенно, в момент времени
, сообщает единичной мас-
се скорость, равную единице.
Именно это свойство и отражается в полученных соотношениях:
0
1
dttdttdtt
0
,
0
где
Точно так же из равенства (**) при
Из всего сказанного следует, что
.
0
0
00
t
d
0,0,
0
0
1
2
снова получим
1
dttdttdttdtt
.
2
t
,0при0
t
,0при
.0при1
t
Существует целый класс так называемых дельтаобразных функций. Это функции, зависящие от параметра, предел последовательно-
74
сти которых при стремлении параметра к нулю или бесконечности
t
t
дает δ-функцию. Среди них есть не только непрерывные кусочно-
t
гладкие (как рассмотренная
t
) функции, но и гладкие функции, такие как, например,
) или кусочно-непрерывные (как
h
Действительно,
k
dtt
.
причем
k
бом значении
)(
k
Значит, можно записать
Свойства
-функции
)(
t
k
t
k
lim)(lim
k
k
22
tk
)1(
k
k
k
22
)1(
tk
1
.
22
)1(
tk
,0при0
)(arctg
ktdt
tt
k
lim)(lim)(
k
t
,0при
t
1
(
2
(
2
k
22
tk
1))
при лю-
.
)1(
1. Пусть
ченная на интервале
Тогда
tf
– непрерывная или кусочно-непрерывная ограни-
),(
функция, определенная при
0
Действительно, во всех точках, за исключением
чит, в этих точках
Следовательно, при любых значениях
tfttf
00
. При
0
t
имеет место равенство
tfttf
.
Рассмотрим
tfttf
.
0
также
0
0
fttf
ffdttfdttfdttfdtttf
0
.
0,0 tt
.010000
. Зна-
00
.
75
Таким образом,
t
t
tfttf
t
t
f
0
fdtttf
.
Это свойство называют фильтрующим свойством
Рассмотрим
ность
-функции теперь сосредоточена в точке
-функцию с запаздыванием τ:
фик этой функции приведен на рис. 14.
τ0
Рис. 14
,при0
t
.,,1а
t
,при
t
dtt
-функции.
).(
Вся особен-
.
Условный гра-
t
Пусть функция
f(t
) определена в точке t = τ. Тогда на основании
фильтрующего свойства δ-функции имеем
Определим изображение
2.
)()()()(
и
-функции следующим образом:
def
pt
0
dttetL
.
fdtttf
.
Нижним пределом в этом случае будем считать (– 0), т. к. вся особенность
)(
-функции сосредоточена в точке
0
. Мы будем пред-
полагать, что вся эта особенность интегрируется полностью.
def
0
ptptpt
edttedttetL
1
по предыдущему свойству
0
t
(в данном случае
pt
10,
fetf
).
76
t
Таким образом, имеем
1
t
.
Следует заметить, что это не обычное изображение, так как оно не
стремится к нулю при
pp
Re
. Функцию
pF
1
следует
считать изображением в условном смысле.
Рассмотрим
3.
t
d
,0при0
t
(т. к.
0при1
t
0
0
1
dttdtt
0
).
Но это есть единичная функция Хевисайда (будем считать, что она
1
определена с условием: η(0) =
Следовательно,
Продифференцируем формально полученное равенство. По
4.
).
2
t
dt
.
правилу дифференцирования интеграла по переменному верхнему
пределу имеем
t
)(
tdt
.
Получили условное равенство. Это не обычная производная, т. е.
t
не производная в обычном смысле слова, т. к. функция
на в точке
0
, и обычная производная у нее в этой точке не суще-
– разрыв-
ствует.
Этот же результат можно получить, рассмотрев функции
1
1
)(
k
2
)(arctg
ktt
и
t
)(
k
k
. Нетрудно видеть, что
22
)1(
tk
77
d
t
dt
tt
kkk
Тогда, определив
t
1
tt
),()()(
k
)(t
как
def
k
k
k
)()(lim
2
, будем иметь
)(lim t
k
k
k
k
,0при0
t
,0при
k
,0при1
t
).()(lim)(lim)( tttt
k
).()(lim tt
Итак,
tt
.
Это равенство согласуется с правилом дифференцирования ориги-
p
нала (умножения изображения на
) и найденным изображением
δ-функции, если в формуле
tffppF ')0(
считать, что для единичной функции Хевисайда и для обобщенных
t
функций с особенностью в точке
= 0 в качестве f(0) рассматривается
не правосторонний (как это делается для обычных функций), а левосторонний предел, т. е.
)(lim)0()0(
tfff
0
t
в силу определения изображения δ-функции, где в качестве нижнего
предела интеграла Лапласа берется (– 0). С учетом сделанного замечания имеем
1
ptLtL
78
,
η(– 0) = 0;
p
1
p
.
101)0(
)}({}1{
tLL
)}({)}({
Можно формально применить это правило и к самой δ-функции,
p
p
p
т. е. найти изображение «производной» δ-функции, учитывая, что
:0)0(
)()0(1 tpp
.
Процесс отыскания изображений «производных высших порядков» δ-функции можно продолжить, имея в виду, что все ее «производные» являются обобщенными функциями, равными нулю всюду,
t
кроме точки
= 0, в которой сосредоточена вся особенность этих
функций.
)(
Тогда с учетом того, что
n
0)0(...)0()0()0(
,
получим
2
)(
tp
,
3
)(
tp
, …,
nn
).()(tp
Это позволяет расширить множество изображений за счет функций, не стремящихся к нулю при
)(Re
. Но это будут
изображения не обычных, а обобщенных функций, т. е. условные
изображения.
2
Пример. Найти оригинал по его изображению
Данная дробь не стремится к нулю при
p
.
1
p
и, следовательно, не
является изображением, но если рассматривать ее как условное изображение, т. е. как изображение оригинала, содержащего обобщенные
функции, то можно этот оригинал найти.
22
p
p
p
1
1
1
1
p
pp
1
1
p
79
1
1
t
ett
)()(
.
Итак, оригиналом, соответствующим данному условному изобра-
t
f
t
жению, будет функция
etttf )()()( .
Пусть
5.
рез
Обозначим через
tf
имеет разрыв 1-го рода в точке
00 cfcfh
величину скачка.
функцию (рис. 15).
h
0
c
Рис. 15
Тогда
c
. Обозначим че-
cthtftf
непрерывную «сомкнутую»
y
t
cthtftf
.
)(t
)(tfy
Продифференцируем формально это равенство.
*
Но, по доказанному,
cthtftf
.
ctct
.
Следовательно,
*
cthtftf
.
Итак, производная от функции, имеющей разрыв первого рода,
равна обычной производной, соответствующей непрерывной
функции, плюс значение
-функции в точке разрыва, умноженное на
величину скачка.
Аналогичным образом запишется производная от функции,
имеющей не один, а несколько разрывов первого рода, т. е. скачков.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]