Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Олимпиадные задачи по математическому анализу. Учебное пособие.pdf
00
2022 2022
0
2022 ( ).
xx
ye e xx=+−
0
2022
2022 1
x
e =
0
11
ln .
2022 2022
x =
0
1
.
2022
y =
00
22
||
,
Ax By C
d
AB
++
=
+
22
1 11
ln
1
2022 2022 2022
(ln 2022 1).
2022 2
11
d
−
= = +
+
1
ln
2022
yx=
2
(ln 2022 1).
2022
+
Рис. 2
Расстояние между графиками функций y = x и y = e
2022x
равно расстоянию между прямой y = x и параллельной ей касательной к графику функ-
ции y = e
2022x
. Найдем координаты точки касания (x0, y0).
Так как касательная параллельна прямой y = x, то ее уравнение можно
записать как y = x + b. С другой стороны, уравнение касательной имеет
вид y = f(x0) + f ʹ(x0)(x – x0), следовательно,
Откуда получаем, что
и
Тогда
Найдем расстояние от точки касания (x0, y0) до прямой y = x по фор-
муле
где Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой
на плоскости. Имеем
Следовательно, расстояние между графиками функций y = e
и
равно 2d или
81
2022x
Пример 16. Составить уравнение касательной к графику четной
3 22 5 3 2
(2 ) 4 ( 1) 8 8 11 2.
f x x xfx x x x x
− − −− = − − +
3 2 2 22
(2 )(6 1) 8 ( 1) 4 ( 1)(2 1)fxxx xfxx xfxx x
′′
− − − ⋅ −− − −− − =
42
40 24 22xxx=−−
0
,
2
p
My
−
0
2
p
y y kx
−= +
2
0
2,
2
y px
p
y y kx
=
−= +
функции y = f(x) с абсциссой в точке x0 = 1, если известно, что для всех
действительных x справедливо равенство
Решение. Уравнение касательной в точке с абсциссой x0 = 1 имеет
вид: y = f (1) + f ʹ(1)(x – 1). Найдем f (1), f ʹ(1).
Для этого подставим х = 1 в заданное равенство: f (1) – 4f (–1) = –9.
Так как y = f(x) – четная функция, то f (–1) = f (1) и f (1) = 3.
Продифференцируем исходное равенство:
.
Положим х = 1. Тогда 5f ʹ(1) – 8f(–1) – 4 f
ʹ(–1) = – 6. Так как про-
изводная четной функции является функцией нечетной, получаем
9f ʹ(1) = 18, откуда f ʹ(1) = 2. Таким образом, уравнение касательной имеет
вид у = 3 + 2 (х – 1) или у = 2x + 1.
Пример 17. Доказать, что из каждой точки своей директрисы парабо-
ла видна под прямым углом.
Решение. Пусть парабола задана уравнением y2 = 2px, а
любая точка директрисы. Прямая
является касательной
–
к параболе, если система уравнений прямой и параболы
82
имеет единственное решение. Эта система сводится к уравнению
22
0
2 2 0.ky py py kp−+ +=
2 22
0
2 0.
p py k p k− −=
2
1
.
4
xy
a
= −
0
00
2
( ),
4
y
xx yy
a
−=− −
0
00
( ),
2
y
xx yy
a
−=− −
Приравняв к нулю дискриминант, имеем
Полу-
ченное уравнение имеет два корня k1, k2, причем по теореме Виета
k1k2 = –1. Следовательно, искомые касательные к параболе являются пер-
пендикулярными.
Пример 18. Найти уравнение геометрического места оснований перпендикуляров, опущенных из вершины параболы y2 = –4ax на касательные
к этой параболе.
Решение. Уравнение параболы перепишем в виде
уравнение касательной к параболе в некоторой точке М (х
запишется так: x – x0 = x0ʹ (y – y0).
0, у0
Теперь
) (рис. 3)
Отсюда следует:
Рис. 3
83
2
0 00
22 ,
ax ax y y y
− =−+
00 0
2 2 4,
ax ax y y ax
− =−−
2
00
4.
y ax= −
2
00
42
yy
xy
aa
= −
0
.
2
y
k
a
= −
1
1
:kk= −
0
0
12
0 ( 0), , 2 0.
a
x y x y xy ay
ky
−=− − = − =
2
00
0
2 4 0,
2 0.
yy y ax
y x ay
−+ =
−=
232
.y x x ay+=
2
21
.
2
x
y
xx
−
′
=
−−
2
21 21 1 1
.
( 1)( 2) 1 2
2
xx
xx x x
xx
−−
= = +
+− + −
−−
22
( 1) ( 2) .yx x
−−
′′
=−+ − −
() 1
( 1) ( 1)!( ( 1) ( 2) ).
nn n n
y nx x
− −−
=− − + +−
так как
ловым коэффициентом
Получаем уравнение касательной
с уг-
Уравнение перпендикуляра, опущенного на касательную из верши-
ны параболы, т. е. из точки О (0;0), получим как уравнение прямой, про-
ходящей через заданную точку О с угловым коэффициентом
Найдем теперь координаты точки Р пересечения касательной и нор-
мали из соответствующей системы уравнений:
Исключая параметр 0, получим искомое уравнение:
Пример 19. Найдите производную n-го порядка от функции
y = ln(x2 – x – 2).
Решение. Найдем первую производную:
лучившуюся дробь на сумму простейших дробей:
Тогда
По индукции получаем, что
Разложим по-
84
Пример 20. Найти f ʹʹ(0) для функции
2022
( ) ln(1 ln(1 ... ln(1 ln(1 ))...)).
раз
fx x=+++++
1 21
1111
( ) ... , (0) 1.
1 ()1 () 1 ()1
kk
kk
gx g
g x g x gx x
−−
′′
=⋅ ⋅=
+ + ++
( )
( )
2021
2022
2
2020 1
2021
()
1 11
( ) ( ) ...
1 () 1 ()1
1 ()
gx
fx g x
g x gx x
gx
′
′
′′ ′
= =− ⋅ ⋅−
+ ++
+
( )
2020
2
2021 1
2020
()
1 11
... ...
1 () 1 ()1
1 ()
gx
g x gx x
gx
′
− ⋅ ⋅ ⋅ −−
+ ++
+
( )
1
2
2021 2020
1
1 1 () 1
...
1 ()1 () 1
1 ()
gx
gx gx x
gx
′
− ⋅ ⋅−
++ +
+
2
2021 2020 1
1 1 11
... .
1 ()1 () 1 ()
(1 )
g x g x gx
x
−⋅ ⋅
++ +
+
()
lim ( ),
n
n
fx
→∞
cos( ) 1
() .
x
fx
x
−
=
1
0
cos 1
( ) sin ,
x
f x xtdt
x
−
= = −
∫
sin sin ,
2
n
n
dn
xx
dx
π
= +
11
()
00
( ) sin sin
2
n
nn
n
dn
f x xtdt t xt dt
dx
π
=− =−+
∫∫
111
()
000
1
( ) sin sin .
2 21
nn n n
nn
f x t xt dt t xt dt t dt
n
ππ
= + ≤ + ≤=
∫∫∫
+
()
lim ( ) 0.
n
n
fx
→∞
=
Решение. Обозначим g1(x) = ln(1 + x), gk(x) = ln(1 + g
Тогда f(x) = g
(x). При любом k ≥ 1 имеем gk(0) = 0,
2022
Найдем вторую производную f(x):
(x)), k > 1.
k–1
В этой сумме 2022 слагаемых. При x = 0 каждое слагаемое равно (–1).
Следовательно, f ʹʹ(0) = –2022.
Пример 21. Для любого x ≠ 0 найти
Решение. Так как
и
а
где
то
Следовательно,
85
Пример 22. Найти n-ю производную функции
2
( ) 2.fx x x=+−
[ 2, ]+∞
2
2
22 2
() 2
2
xx
fx x x
+−
= + −= =
(
)
2
22 2 2 1
2 2.
2
2
x xx
xx
+ + −+−
= = + +−
11
()
22
111 1
( ) 1 ... 1 ( 2) ( 2)
22 2
2
nn
n
fx n x x
−−
= ⋅⋅ − −+ + + − =
21 21
( 1) (2 3)!! 1 1
22
( 2) ( 2)
n
n
nn
n
xx
−−
−−
= +
+−
[ 2, ].x ∈ +∞
(2022 )
()yx
.
2
x
π
=
1
( ) sin( )sin(3 )sin(5 ) (cos 2 cos 4 ))sin 5
2
yx x x x x x x= =−=
1 11 1
(cos2 sin 5 cos4 sin 5 ) (sin 3 sin 7 ) (sin sin 9 )
2 22 2
xx xx x x x x
= − = +− + =
( )
1
sin 3 sin 7 sin sin 9 .
4
xxxx= + −−
(2022) 2022
sin ( ) sin( ),ax a ax= −
Решение. Так как функция определена на
Следовательно,
, то
при
Пример 23. Пусть y(x) = sin(x)sin(3x)sin(5x). Найти значение произ-
водной функции
Решение. Преобразуем функцию y(x) следующим образом:
в точке
Так как
то
86
( )
(2022) 2022 2022 2022
1
( ) 3 sin 3 7 sin 7 sin 9 sin 9 .
4
yx xxxx=− − ++
(
)
(2022) 2022 2022 2022
1
3 7 19 .
24
y
π
= + ++
2
2
()
xx
yx e
−
=
22
11
() .
tt
yt e e e
−−
= = ⋅
46 2
12
( ) 1 ... ... .
2! 3! !
n
tt t
yt e t
n
−
= ++ + ++ +
(2022) 1 2
2022! 2024!
( ) ... .
1011! 2! 1012!
y te t
−
=++
⋅
(2022) ( 2022) 1
10
2022!
.
1011!
xt
yye
−
= =
= =
()
lim (0) .
n
n
f
→∞
= −∞
01 1
11 1
( ) ... .
! ! ( 1)! 2( 2)! 1!
mk
n
mk n
xx
fx x
mk n n n
∞∞ ∞
= = =
=− ⋅ =− + ++
∑∑ ∑
−− ⋅
()
0
(0)
() .
!
n
n
n
f
fx x
n
∞
=
=
∑
()
11 1
(0) ! ... ,
( 1)! 2( 2)! 1!
n
fn n
nn n
=− + + + <−
−− ⋅
()
lim (0) .
n
nf→∞
= −∞
Поэтому
Пример 24. Найти 2022-ю производную функции
ке x = 1.
Решение. Сделаем замену переменной t = x – 1. Следовательно, x = t + 1
и
Разложим функцию y = y(t) ряд Маклорена:
Тогда
в точ-
Если x = 1, то t = 0, следовательно,
Пример 25. Пусть f(x) = ex ln(1 – x). Доказать, что
Решение. С одной стороны,
С другой стороны,
Откуда
следовательно,
87
Пример 26. Пусть y(x) = arcsin (x). Найти y
,:yy
′ ′′
2 22
1
;.
1 1 (1 )
x
yy
x xx
′ ′′
= =
− −−
2
,
(1 )
x
yy
x
′′ ′
=
−
2
(1 ) 0.x y xy
′′ ′
− −=
(
)
( )
(
)
( 2)
( 2)
2
1 0,
n
n
x y xy
−
−
′′ ′
− −=
( ) 2 ( 1) ( 2)
( 2)( 3)
(1 ) ( 2) ( 2 ) ( 2)
2!
nn n
nn
y x ny x y
−−
−−
− + − ⋅− + − −
( 1) ( 2)
( 2) 0,
nn
y xn y
−−
− −− =
( ) 2 ( 1) 2 ( 2)
(1 ) (2 3) ( 2) 0.
n nn
y x n xy n y
−−
− − − −− =
( ) 2 ( 2)
(0) ( 2) (0).
nn
y ny
−
= −
(0) 0,y
′′
=
() 2 2 2 2
(0) (2 1) ... 5 3 1 .
n
yn= − ⋅⋅
() ()
.
() ()
y x yx
y x yx
′′′ ′
=
′′
2
()() () ()
0
()
y xyx y xy x
yx
′′′ ′′ ′
−
=
()
0, ( ( ) 0 ).
()
yx
yx x R
yx
′
′′
= ≠ ∀∈
(n)
(0).
Решение. Найдем
Получим соотношение, связывающее первую и вторую производную:
т. е.
Возьмем производную (n–2)-го порядка от обеих частей этого равен-
ства:
Таким образом, мы получим рекуррентное соотношение для произ-
вольного х. В точке x = 0 имеем
то все производные четного порядка равны нулю, а для произ-
водных нечетного порядка получаем
Пример 27. Найти все функции y(x), такие, что для любого действи-
тельного x выполняется
Так как
Решение. Перепишем условие в виде
или
88
Но это равносильно тому, что для любого действительного x выпол-
() (), () 0,y x m yx yx
′′
=⋅≠
12
() ,
kx kx
y x Ce Ce
−
= +
12
( ) cos siny x C mx C mx= −+ −
() ()
y x m yx
′′
= ⋅
0
arcsin arcsin 2 ... arcsin 6
lim
sin sin 4 ... sin( ! ) 23
x
x x nx
x x n nx
→
+ ++
=
+ ++
0
0
0
arcsin arcsin 2 ... arcsin 0
lim
sin sin 4 ... sin( ! ) 0
x
x x nx
x x n nx
→
+ ++
= =
+ ++
2 2 22
0
12
...
1 2 ...
1 14 1
lim
cos 4cos4 ... ! cos( ! ) 1 4 ... !
x
n
n
x x nx
x x nn nnx nn
→
+ ++
++ +
−− −
= = =
+ ++ +++
( 1)
( 1)
2
1 (3! 2!) ... ( ! ( 1)!) (( 1)! !) 2(1 2! ( 1)!)
nn
nn
nn n n n
+
+
= =
+− ++−− + +− −++
( 1) 6
2 (1 2! ( 1)!) 23
nn
n
+
=
−+ +
няется
Если m = k2 > 0, то
где m – отличная от нуля постоянная.
где, в силу того, что y(x) ≠ 0
для любого x, числа C1 и C2 удовлетворяют условиям: C1C2 > 0, или С1 ≠ 0,
C2 = 0, или C1 = 0, C2 ≠ 0.
Если m < 0, то решение
уравнения
обращается в нуль на действительной оси при любых C1
и C2.
Пример 28. При каком натуральном n верно равенство
.
Решение. К неопределённости
применим правило Лопиталя:
Условие задачи приводит к уравнению для вычисления n
.
.
Методом подбора имеем n = 3.
89
Задачи для самостоятельной работы
3
() (|| ) 3||fx x a x= −−
( ( )) ( ( )) 1.PP x P Px
′′
= ≡
42
()
f x ax bx c
=++
1
2
.
x
x
2
1
() () ().
4
Px P x P x
′ ′′
≡+
()
56
()
fx
gx
1
() 1
nn
P x ax bx
+
= ++
yx
α
=
1
1
yx
+α
−α
=
ln(1 / 3)yx= +
1. При каком значении a функция
имеет про-
изводную в точке x = 0?
2. Найти все многочлены P(x), для которых
3. Пусть
и для некоторых положительных чисел
x1, x2 выполнено f(x1) = f(0), f ʹ(x2) = 0. Найти
4. Многочлен ненулевой степени P(x) удовлетворяет соотношению
Найти наименьшее значение P(x).
5. Известно, что производные функций f(x), g(x),
в точке
x = 2018 равны между собой и не равны нулю. Найти наибольшее возможное значение величины f (2018).
6. Пусть f(x) = x(x – 1) (x – 2) …(x – 2022). Найти f ʹ(2022).
7. Функция f(x) определена и ограничена на отрезке [–1; 1], причем
f(x) + x f (x2) = 2 для любого x из отрезка [–1; 1]. Доказать, что функция
f(x) дифференцируема в точке x = 0, и найти значение производной в этой
точке.
8. Найти все непрерывно дифференцируемые функции f(x), удовле-
творяющие функциональному уравнению f (x + y) = f(x) + (1 – f(x)) f(y)
для всех x, y, причем f (0) = 0, f ʹ(0) = 2022.
9. Найти а и b, при которых многочлен
делится
на (x – 1)2.
10. Под каким углом пересекаются кривые y = sin x и y = cos x
(0 < x < π)?
11. Под каким углом пересекаются кривые
в точке (1,1)?
12. Под каким углом кривая
90
и
(0 < α < 1)
пересекает ось Ox?