Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Олимпиадные задачи по математическому анализу. Учебное пособие.pdf
12. Найти f(x), если
2
1
1
f xx
x
=++
32 2
1
()
48
ab c
x ax a b x
−
++ ++
2
()
1
x
fx
x
=
+
lg 0,3 lg
0,3
x
x =
1
0
lg(5 ) lg 5
5
x
A
−
+⋅
=
xR∈
42
3
()
54
x
fx
xx
+
=
++
42
2
()
43
x
gx
xx
+
=
++
3
( ) arccos
4 2sin
fx
x
=
+
2
( ) 2 sinfx x= −
1
2
2
2
1
1
1
xx
y aa
bb
−
=
, x > 0.
13. Доказать, что если многочлен x3 + ax2 + bx + c = 0 имеет 3 различ-
ных действительных корня, то и многочлен
обладает тем же свойством.
14. Пусть
и f2(x) = f(f(x)), … , fn(x) = f(f
(x)). Найти fn(x).
n–1
15. Докажите, что если функция f при всех действительных x и y удо-
влетворяет неравенствам f(x) ≤ x, f(x + y) ≤ f(x) + f(y), то f(x) = x.
16. Задано правило, которое каждой паре чисел x, y ставит в соответ-
ствие некоторое число x*y, причем для любых x, y, z выполняются тождества: x*x = 0; x*(y*z) = (x*y) + z. Найти 1993*1932.
17. Пусть х0 – наименьший корень уравнения
Чему равно выражение
?
, кратный 4.
18. Найти сумму коэффициентов при четных степенях x многочлена
(x6 + x + 1)
2017
+(x5 + x – 1)
2017
.
19. При каждом
и
20. Найти область определения функции
21. Функция f(x) определена на отрезке [0; 1]. Найти область опреде-
ления функций: а) f(3x2); б) f(x – 7); в) f(tgx); г) f(sinx); д) f(2x+3).
22. Построить график функции
23. Построить график функции
сравнить значения функций
.
.
на отрезке [− 2π; 6π].
, где a ≠ b.
51
24. Построить график функции
lim
nn
nn
n
xx
y
xx
−
−
→∞
−
=
+
2
2
11 1
...
lim
1
n
n
n
n
n
xx x
x
xx
y
x
x
→∞
+ + + ++ +
=
+
11 1
11
1
23
11 1
11
1
23
x
xx
y
x
xx
++
−
−−
=
++
−
−−
lim ( arctg )
n
y x nx
→∞
= ⋅
lim
1
tx
tx
t
xe
y
e
→∞
+
=
+
2
| 3 2| 4y xx x=− −++
2
lim 1 | |
2
n
n
n
n
x
yx
→∞
= ++
.
nN∈
||
1
2 (| 1| | 1|)
22
x
xx
−
= ++ −
2
cos 4 5
2
x
xx
π
=−−
.
25. Построить график функции y = arcsin(sinx).
26. Построить график функции y = arcsin(cosx).
27. Построить график функции y = cos(2arccosx).
28. Построить график функции
29. Построить график функций y = cosx + |cosx|.
30. Построить график функции y = |x + 2|x.
, x > 0.
31. Построить график функции
32. Построить график функции
33. Построить график функции
34. Построить график функции
35. Построить график функции
36. Решить уравнение
.
.
.
.
,
.
37. Решить уравнение
.
52
38. Решить уравнение
2
arctg ( 1) arcsin 1
2
xx x x
π
+ + ++=
( ) cos cos 2 cos 3fx x x x=++
ln( sin )
lim
ln( cos )
x
xx
xx
→∞
−
−
lim ln
xx
xx
x
ee
ee
−
−
→∞
−
+
( )
lim cos ln( 1) cos ln
x
xx
→∞
+−
( )
lim cos( ) cos( )
xx xx
x
ee ee
−−
→±∞
−− +
2
()
lim
( )( )
xab
xa xb
x
xab
xa xb
++
++
→∞
++
++
sin( 1)
1 sin( 1)
1
sin( 1)
lim
1
x
xx
x
x
x
−
−− −
→
−
−
( )
1
2
arcsin
0
lim cos(sin )
x
xx→
2
1
arccos
10
lim tg
4
x
x
x
→−
π
2
0
cos sin
lim
( 1)arccos
x
x
xx
ex
−
→
⋅
−
.
39. Построить график неявно заданной функции max{x, y} = 1.
40. Определить период функции f(x) = Acosλx + Bsinλx.
41. Функция y = f(x) определена на всем множестве действительных
чисел и для некоторого числа k ≠ 0 удовлетворяет соотношению
f(x + k)(1 – f(x)) = 1 + f(x). Доказать, что f(x) – периодическая функция.
42. Определите, является ли функция
периодической.
43. Докажите, что если число a – иррационально, а число b > 0, то
функция f(x) = cosx + bcosax непериодическая.
44. Найти наименьший период функции y = tg(sinx).
45. Найти предел
46. Найти предел
47. Найти предел
48. Найти предел
.
.
.
.
49. Найти предел
50. Найти предел
51. Найти предел
52. Найти предел
53. Найти предел
.
.
.
.
.
53
54. Найти предел
( )
2
lim arctg cos ln
x
x xx
→∞
−⋅
( )
1
0
lim 2 cos
x
x
x
→
−
( )
2
1
0
lim 1 sin
x
x
xx
→
−+
( )
2
1
0
lim cos
x
x
x
→
( 1)
lim ,
n
n
x
ax
nZ
xb
→∞
+
∈
+
lim cos
x
x
a
x
→∞
[
]
lim ( 2) ln( 2) 2( 1) ln( 1) ln
x
x x x x xx
→∞
+ + − + ++
lim cos cos ... cos
24
2
n
x
xx x
→∞
⋅⋅
2
2
11
lim arctg arctg
2
x
x
x
x
x
→∞
+
−
+
( )
lim cos 1 cos
x
xx
→∞
+−
22
lim
xa
x a xa
xa
→
−+−
−
3
1
1
(1 )(1 ) ... (1 )
lim
(1 )
n
n
x
xx x
x
−
→
− − ⋅⋅−
−
sin
lim
sin
x
mx
nx
→π
ctg ctg
lim
xa
xa
xa
→
−
−
2
0
cos( 2 ) 2 cos( ) cos
lim
x
a x ax a
x
→
+ − ++
2
0
ctg( 2 ) 2ctg( ) ctg
lim
x
a x ax a
x
→
+ − ++
.
55. Найти предел
56. Найти предел
57. Найти предел
58. Найти предел
59. Найти предел
60. Найти предел
61. Найти предел
.
.
.
.
, где а – любое число.
.
.
62. Найти предел
63. Найти предел
64. Найти предел
65. Найти предел
66. Найти предел
67. Найти предел
68. Найти предел
.
.
.
.
.
.
.
69. Найти предел
.
54
70. Найти предел
2
2
6
2sin sin 1
lim
2sin 3sin 1
x
xx
xx
π
→
+−
−+
3
3
tg 3tg
lim
cos
6
x
xx
x
π
→
−
π
+
2
2
0
tg( )tg( ) tg
lim
x
ax ax a
x
→
+ −−
2
0
lim
1 sin cos
x
x
xx x
→
+−
3
2
0
cos cos
lim
sin
x
xx
x
→
−
lim arcctg arcctg
xa
xa
→
=
lim arcsin arcsin
xa
xa
→
=
11a−≤ ≤
lim 1
n
n
n
yx
→∞
= +
lim | | | | 1
nn
n
n
xy
→∞
+=
32
2
42
sin , 1;
3 23
()
23
, 1.
1
x
xx
fx
ax x a b
x
x
π
+≤
=
− −+
>
−
4
4
( ) ( 1) (cos sin ) 2 2 , .
x
x
π
− +π
π
π
− +π
=− ++ ∈
π
( )
[]
() [][] (1) cos , .
x
fx x x x x R
= −− π ∈
.
71. Найти предел
72. Найти предел
73. Найти предел
74. Найти предел
75. Доказать тождество
76. Доказать тождество
77. Построить график функции
.
.
.
.
.
,
.
, x > 0.
78. Построить кривую
79. Дана функция
.
Найти a, b такие, что функция f(x) непрерывна в точке x = 1.
80. Исследовать на непрерывность функцию
81. Исследовать на непрерывность функцию
55
82. Определить точки разрыва функции
11
1
() ,
11
1
xx
fx
xx
−
+
=
−
−
\ { 1, 0 , 1}xR∈−
1
1
() ,
1
x
x
fx
e
−
=
−
( ) [ ],f x xx x R= ∈
( ) [ ]sin ,f x x xx R= ∈
RR→
0
0
( ) lim ( ).
xx
gx f x
→
=
.xR∈
1
( ) 2 1,
1
x
xf x f
x
−
+=
+
.xR∈
2 ( 1) 1.
1
x
f fx x
x
+ +=+
+
, f(–1) = f(0) = f(1) = 0 и исследовать характер этих точек.
83. Определить точки разрыва функции
x ≠ 0, x ≠ 1,
f(0) = f(1) = 0 и исследовать характер этих точек.
84. Определить точки разрыва функции
и исследо-
вать характер этих точек.
85. Определить точки разрыва функции
и иссле-
довать характер этих точек.
86. Пусть f(x) – непрерывная функция действительного переменного.
Всегда ли существуют непрерывные функции g(x) и h(x) такие, что для
всех действительных x выполняется f(x) = g(x)sinx + h(x)cosx?
87. Пусть у функции f:
предел
Верно ли, что функция g(x) непрерывна?
в каждой точке x0 существует конечный
88. Доказать, что уравнение x = 2022 + (lnx)
решение.
89. Найти все функции, определенные на множестве действительных
чисел, удовлетворяющие тождеству: f(x + 2) = x2 + 4x + 5.
90. Решить уравнение x(1 – f(x)) = f(1 – x),
91. Решить уравнение
92. Найти функцию f(x) непрерывную всюду на вещественной оси
за исключением точек x = 0 и x = 1 и удовлетворяющую уравнению:
2022
имеет хотя бы одно
56
93. Найти функцию, удовлетворяющую тождеству
2 () 3
1
x
fx f x
x
+=
−
1
( 1) ( ) .
1
x
x f fx x
x
+
− −=
−
1
( ) (1 ) 1.
2
fx x f x
++ −=
11
2 2.
11
xx
ffx
xx
+−
+=
−+
2
.
1
x
fx
x
=
+
1
( ) 2 2 , 0.
x
fx f x
x
−=≠
1
( ) , 1.
1
f x f xx
x
+=≠
−
( ) 1 ( 1)
( 1) , 2.
fn fn
nn n
−−
=−≥
при всех x ≠ 1.
94. Найти все непрерывные функции f (x), которые для всех действи-
тельных x ≠ 1 удовлетворяют уравнению
95. Функция f(x) определена на всем множестве действительных чисел
и удовлетворяет равенству
Найдите: а) f(0) и f(1);
б) все такие функции f(x).
96. Найти все функции f(x), удовлетворяющие функциональному урав-
нению
97. Найти вид функции f(x), если
98. Найти функцию f(x), определенную при всех ненулевых значениях
аргумента и удовлетворяющую уравнению
99. Найти все функции f(x), удовлетворяющие функциональному урав-
нению
100. Найти все функции f: R→R, которые при любых действительных
x, y удовлетворяют уравнению f(x – f( y)) = 1 – x – y.
101. Найти все непрерывные функции f: R→R, удовлетворяющие
уравнению 3f(2x + 1) = f(x) + 5x.
102. Найти функцию f(n) такую, что
103. Найти функцию f(x) такую, что f(xy) = yk⋅f(x).
104. Найти функцию f(x) такую, что f(x+y) – 2f(x – y) + f(x) – 2f(y) = y – 2.
57
105. Найти функцию f(x) такую, что f(xy) = y⋅f(x), x > 0.
() ()
.
22
x y fx fy
f
++
=
12 12
| | ( ... ) ( ... )
nn
x xxx x xx x= + + ++ − + ++
1
arctg arcctgx
x
=
arctg arcctg
2
xx
π
+=
123
123
12 13 23
,
,
,
xxx a
xxx c
xx xx x x b
++=−
= −
++ =
106. Найти функцию f(x) такую, что
107. Пусть S – множество неотрицательных целых чисел. Найдите все
функции f(x), определенные на множестве S и принимающие значения
такие, что f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n).
108. Значение функции определено для всех действительных чисел
и является действительным. Найдите вид функции, если известно, что для
всех x выполняется 2f(x) + f(1 – x) = x2.
Указания
1. Представить
и приме-
нить неравенство треугольника.
10. Применить соотношения
(x ≠ 0).
11. Произвести замену x = 2uv.
13. Воспользоваться теоремой Виета для уравнения
x3 + ax2 + bx + c = 0:
где x1, x2, x3– корни уравнения.
14. Применить метод математической индукции.
15. Найти f(0).
16. Для любых a и b вывести соотношение ba = b − a.
17. Прологарифмировать обе части уравнения.
;
;
18. Составить функцию f(x) = (x6 + x + 1)
значения в точках 1 и –1.
19. Рассмотреть разность функций f(x) – g(x).
58
2017
+ ( x5 + x – 1)
2017
и найти
23. Сначала построить график функции
2
2
2
1
() 1
1
xx
gx a a
bb
=
sin0x
x
→
cos0x
x
→
()()
xa xb
xab xab
++
++ ⋅ ++
, а затем по-
строить искомую функцию как обратную к данной.
28. Используя неравенство y – 1 < [y] ≤ y, оценить общий член после-
довательности, стоящей под знаком предела.
36. Решить графически.
37. Решить графически.
38. Найти область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.
43. Использовать метод неопределенных коэффициентов для равен-
ства f(x) = f(x + T).
44. Найти значения функции f(x + 2k), f(x + 4k).
45. Преобразовать числитель и знаменатель дроби, вынося x за скоб-
ки; воспользоваться тем, что
,
при x → ∞.
46. В числителе и знаменателе вынести e−x за скобки.
47. Воспользоваться формулой преобразования разности косинусов
в произведение, а также ограниченностью sinx.
48. См. указания к задаче 47.
49. Выражение в числителе расписать на произведение множителей
и воспользоваться 2-м замечательным пределом.
50–52. Прологарифмировать выражение, стоящее под знаком предела.
53. Воспользоваться понятием эквивалентных бесконечно малых
функций.
54. Вынести x за скобки и перейти к пределу в аргументе функции
в силу её непрерывности.
55, 56. Применить 2-й замечательный предел.
57. Воспользоваться эквивалентностью бесконечно малых величин
при x → 0 и с учетом полученного соответствия применить 2-й замеча-
тельный предел.
59
58. Вычислить предел при
,nN∈
.kN∈
sin
2
n
x
arctg arctg arctg
1
ab
ab
ab
−
−=
−
arctg arcctg
2
xx
π
+=
2
arcsin arctg
1
x
x
x
=
−
2
1
arcsin arcctg
x
x
x
−
=
n = 0, n = −k,
59. Воспользоваться тригонометрическим тождеством для косинуса
двойного угла и применить 2-й замечательный предел.
60. Перегруппировать выражение, стоящее под знаком предела,
и воспользоваться формулой разности логарифма.
61. Умножить и разделить функцию на
62. Воспользоваться формулой
.
.
63. Воспользоваться формулой преобразования разности косинусов в
произведение, а также ограниченностью функции sinx.
64. Разложить дробь на сумму двух дробей.
65. Произвести замену 1 − x = t и воспользоваться таблицей эквива-
лентных бесконечно малых величин.
66. Произвести замену x = π + t, t → 0.
67. Воспользоваться формулой разности тангенсов.
68, 69. Выражение в числителе преобразовать в произведение.
70. Разложить числитель и знаменатель на множители.
71. Разложить числитель на множители.
72. Преобразовать числитель с помощью тригонометрических тож-
деств.
73. Избавиться от иррациональности в знаменателе.
74. Прибавить и вычесть в числителе единицу.
75. Воспользоваться тождеством
76. Воспользоваться тождеством
и
, 0 < x ≤ 1.
60
.
, 0 ≤ x < 1