Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Олимпиадные задачи по математическому анализу. Учебное пособие.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
————————————
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
«Омский государственный технический университет»
Т. Е. Болдовская, М. В. Девятерикова
ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Учебное текстовое электронное издание
локального распространения
екомендовано редакционно-издательским советом
Р
Омского государственного технического университета
Омск
Издательство ОмГТУ
2023
———————————————————————————–––—————
Сведения об издании: 1, 2
© ОмГТУ, 2023
ISBN 978-5-8149-3647-9
1
УДК 517(075)
ББК 22.161я73
Б79
Рецензенты:
Л. А. Заозерская, канд. физ.-мат. наук, доцент,
старший научный сотрудник ОФ ИМ СО РАН;
И. П. Бесценный, канд. физ.-мат. наук,
доцент ОмГУ им. Ф. М. Достоевского
Болдовская, Т. Е. Олимпиадные задачи по математическому анализу : учеб.
пособие / Т. Е. Болдовская, М. В. Девятерикова ; Минобрнауки России, Ом. гос. техн.
ун-т. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2023. – 1 CD-ROM (2,07 Мб). – Систем. требования:
процессор с частотой 800 МГц и выше ; 128 Мб RAM и более ; свободное место на
жестком диске 300 Мб и более ; Linux / Windows XP и выше ; MacOS X 10.4 и выше ;
CD/DVD-ROM-дисковод ; ПО для просмотра pdf- и mp4-файлов. – Загл. с титул.
экрана. – ISBN 978-5-8149-3647-9.
Издание содержит теоретический материал, примеры решения олимпиадных за-
дач и задачи для самостоятельного решения по основным разделам математического
анализа.
Предназначено для студентов, осваивающих дисциплину «Олимпиадные задачи
по математике и программированию», а также может быть рекомендовано преподавателям и студентам других специальностей при изучении раздела «Математический
анализ» и подготовке к олимпиадам по математике различного уровня.
Редактор Л. Д. Ниязова
Компьютерная верстка Л. Ю. Бутаковой
Для дизайна этикетки использованы материалы
из открытых интернет-источников
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Сводный темплан 2023 г.
© ОмГТУ, 2023
Подписано к использованию 12.05.23.
Объем 2,07 Мб.
2
ГЛАВЛЕНИЕ
О
ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................................4
1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ .................................................5
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ........................................................................5
1.1.
Примеры решения задач .................................................................................... 13
Задачи для самостоятельной работы ................................................................ 22
Указания .............................................................................................................. 29
Ответы .................................................................................................................. 34
1.2.
ФУНКЦИИ .......................................................................................................... 35
Примеры решения задач .................................................................................... 41
Задачи для самостоятельной работы ................................................................ 50
Указания .............................................................................................................. 58
Ответы .................................................................................................................. 63
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ....................................................... 65
2.1.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ .................................................................................. 65
Примеры решения задач .................................................................................... 70
Задачи для самостоятельной работы ................................................................ 90
Указания .............................................................................................................. 93
Ответы .................................................................................................................. 95
2.2.
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ........................................................................... 96
Примеры решения задач .................................................................................... 99
Задачи для самостоятельной работы .............................................................. 107
Указания ............................................................................................................ 110
Ответы ................................................................................................................ 111
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... 112
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................... 113
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ .................................................... 114
3
Учебный план по направлениям подготовки 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», 02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»
предусматривает формирование таких компетенций, как УК-1 «способность осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации,
применять системный подход для решения поставленных задач» и ОПК-1
«способность применять фундаментальные знания, полученные в области
математических и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности». Одним из путей формирования указанных
компетенций при подготовке квалифицированного специалиста, помимо
изучения дисциплин, предусмотренных учебным планом, является уча-
ВВЕДЕНИЕ
стие студентов в олимпиадах по математике различного уровня.
Математическая олимпиада не является просто усложненной контрольной работой. Олимпиады, кроме повышения интереса участников
к изучению математики и научной деятельности, формируют глубокие
и прочные знания, умения и навыки, способность к неалгоритмизированному мышлению, нестандартность подходов, реактивность мышления.
Дисциплина «Олимпиадные задачи по математике и программированию» относится к факультативным дисциплинам учебного плана подготовки бакалавров. Ее основной целью является подготовка студентов
к участию в олимпиадах по математике и программированию. Освоение
данной дисциплины закладывает основы для изучения последующих дисциплин профессионального цикла: «Математические основы защиты
информации», «Машинное обучение и большие данные», «Алгоритмы
и анализ сложности», «Обработка естественного языка».
4
123 123
()
nn
x x x xx x x x<<<< >>>>
>>
123 123
()
nn
xxx xxxx x≤≤≤≤ ≥≥≥≥>>
lim
n
n
xa
→∞
=
1
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1.1. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Определение. Числовой последовательностью называется функция,
определенная на множестве натуральных чисел: каждому натуральному
числу n (n = 1, 2, 3, …) ставится в соответствие по некоторому закону число xn.
Обозначение: x1, x2, x3, … , xn или {xn}.
Определение. Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей (убывающей), если
и неубывающей (невозрастающей), если
.
Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}
(сходится к а), если для любого ε > 0 существует число N = N(ε), что при
всех n > N(ε) выполняется неравенство |xn – a| < ε:
(∀ε > 0) (∃N) (∀n > N) |xn – a| < ε.
В этом случае пишут
.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Геометрический смысл понятия предела последовательности: пусть
члены последовательности и её предел изображены точками числовой оси.
Двойное неравенство а – ε < xn < а + ε означает, что в любой ε-окрестности
точки находятся все члены последовательности с номерами больше n,
а вне ее – лишь конечное число членов с номерами: 1, 2, 3, …, n – 1, n.
5
Например,
1
lim 0
nn→∞
=
11
0
nn
−=
1
ε
1
n
lim 0
n
n
x
→∞
=
lim
n
nx→∞
= ∞
1
1
n
n
+
1
lim 1
n
n
e
n
→∞
+=
1
1
n
n
a
n
= +
2
( 1) ( 1)( 2)...( ( 1))
(1 ) 1 ...
1! 2! !
nn
n nn nn n n n
aa a a
n
− − − −−
+ =+ + ++
. Действительно,
. Если задано ε > 0,
то для n > N, где N =
+ 1, выполняется
< ε.
Определение. Последовательность называется бесконечно малой, ес-
ли
.
Определение. Последовательность называется бесконечно большой,
если для любого M > 0 существует такое N, что при всех n > N выполняет-
ся неравенство |xn| > M:
(∀ M > 0) (∃N) (∀n > N) |xn| > M.
В этом случае пишут
.
Замечание. Бесконечно большие последовательности не имеют предела в том смысле, как он определен для конечного предела. Поэтому
термин «сходящаяся последовательность» употребляется только для последовательностей, имеющих конечный предел.
Утверждение. Последовательность
щей и ограниченной. Она имеет предел
является возрастаю-
, где
е = 2,718281828459045… – неперово число (основание натурального лога-
рифма).
Доказательство. Рассмотрим последовательность
и покажем, что она является сходящейся. Воспользуемся формулой бинома Ньютона
6
.
Получим
2
1 ( 1) 1 ( 1)...( ( 1)) 1
1 1 1 ...
2! !
n
n
n
nn nn n n
a
nn
nn
− − −−
= + =++ + + =
11112 112 1
1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1
2! 3! !
n
n nn nnn n
−
=++ −+ − −++ − − −
2 11
11 1
2
2! 2 2!2
a aa=+ ⋅= + >
32
1 2 12
2 ...
2! 3 3! 3 3
aa
⋅
=+ ⋅+ >
⋅⋅
1
1
n
n
+
12 1
1 1 ... 1
n
nn n
−
−− −
11 1
, ,...,
3! 4! !n
21
11 1
1 1 ...
2
22
n
n
a
−
<++ + + +
21 1 1
1
1
11 1 21 1
2
1 1 ... 1 1 2 1 2 1
1
2
22 2 2
1
2
n
n
n nn− −−
−
−
++ + + + =+ =+⋅ =+ − =
−
1
2
12 3
2
n−
=+− <
1
1
n
n
+
1
lim 1
n
n
e
n
→∞
+=
.
a1 = 2;
Соответственно, последовательность
;
является монотонной
возрастающей последовательностью. Покажем, что она ограничена
сверху. Заменим в аn все множители
а в знаменателях дробей
получим:
.
числа, большие 2-х числом 2, тогда
числом 1,
В правой части данного неравенства получили геометрическую про-
грессию (не считая первого слагаемого). Поэтому
и аn < 3 при любом n. Таким образом,
Таким образом, эта последовательность имеет предел, который обозначают:
.
7
∈ [2,3].
Взаимосвязь между бесконечно большими
{ }
1
n
x
{ }
1
n
x
lim lim
nn
nn
y za
→∞ →∞
= =
lim
n
n
xa
→∞
=
n np
xx
+
− <ε
lim
n
n
x
→∞
lim
n
n
y
→∞
nn
xy
≤
lim lim
nn
nn
xy
→∞ →∞
≤
( )
lim lim lim
nn n n
n nn
xy x y
→∞ →∞ →∞
±= ±
( )
lim lim lim
nn n n
n nn
xy x y
→∞ →∞ →∞
⋅= ⋅
lim
lim
lim
n
nn
n
nn
n
x
x
yy
→∞
→∞
→∞
=
lim 0
n
ny→∞
≠
и бесконечно малыми последовательностями
1. {xn} – бесконечно большая последовательность и xn ≠ 0, то после-
довательность
– бесконечно малая.
2. {xn} – бесконечно малая последовательность и xn ≠ 0, то последова-
тельность
– бесконечно большая.
Признаки существования предела
1. Теорема о предельном переходе в неравенствах. Если yn ≤ xn ≤ zn
и
2. Теорема Вейерштрасса. Всякая ограниченная и монотонная после-
довательность имеет конечный предел.
3. Критерий Коши. Для существования предела последовательности
{xn} необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало
, то
.
N = N(ε), такое, что
Основные теоремы о пределах
Предполагая, что существуют
1) если
2)
3)
4)
, то
, если
, если только n > N и p > 0.
и
, имеем:
;
;
;
.
8
Теорема Штольца
1
1
lim
nn
n
nn
xx
yy
−
→∞
−
−
−
1
1
lim lim
n nn
nn
n nn
x xx
y yy
−
→∞ →∞
−
−
=
−
lim
n
n
xa
→∞
=
12
lim
n
n
n
xx x a
→∞
⋅⋅ =
>
12
lim
n
n
xx x
a
n
→∞
+++
=
>
lim
n
n
n
xa
→∞
=
1
lim
n
n
n
x
a
x
+
→∞
=
aa=
nN∈
1
()
2
n
n
aa
Sn
+
= ⋅
1
(2 ( 1))
2
n
a dn
Sn
+−
= ⋅
Пусть даны две последовательности {xn} и {yn}, удовлетворяющие
условиям:
1) y
> yn при всех достаточно больших n;
n+1
2) yn ⟶ ∞;
3) существует конечный (или бесконечный) предел
Тогда
.
Некоторые предложения о пределах
1. Если
и все xi > 0 (i = 1, 2, …), то
,
.
.
2. Если для последовательности {xn} существуют пределы
и
, то
.
Прогрессии
1. Арифметическая прогрессия – числовая последовательность {an},
, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему,
сложенному с одним и тем же числом d (d – разность арифметической
прогрессии).
Если d > 0 – прогрессия возрастающая, d < 0 – прогрессия убывающая.
Общий член арифметической прогрессии: an = a1 + (n – 1)d.
Сумма n первых членов прогрессии:
или
.
9
2. Геометрическая прогрессия – числовая последовательность {un},
nN∈
1
1
n
n
u uq
S
q
−⋅
=
−
1
1
u
S
q
=
−
, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему,
умноженному на одно и то же число q (q – знаменатель геометрической
прогрессии).
Если q > 1 – прогрессия возрастающая, | q | < 1 – прогрессия убываю-
щая, q < 0 – прогрессия знакопеременная.
Общий член арифметической прогрессии: un = u1q
n–1
.
Сумма n первых членов прогрессии:
Если |q| < 1, то
– сумма бесконечно убывающей прогрессии.
, (q ≠ 1).
Линейные рекуррентные последовательности
Определение. Последовательность чисел a0, a1, a2, a3, …, an, …, для
которой при n ≥ k выполняется линейное рекуррентное соотношение порядка k
C0an + C1a
+… + Ck a
n–1
n–k
= C,
где C0, С1, …, Сk ≠ 0, C – некоторые константы, называется линейной рекуррентной последовательностью порядка k.
В случае, когда C = 0, говорят о линейном однородном рекуррентном
соотношении (ЛОРС), при С ≠ 0 – линейном неоднородном рекуррентном
соотношении (ЛНРС).
Линейная рекуррентная последовательность порядка k однозначно задается своим рекуррентным соотношением и совокупностью из её k последовательных элементов, которые называют начальными условиями;
обычно это элементы a0, a1, …, a
k–1
.
Определение. Поставим в соответствие линейному однородному рекуррентному соотношению характеристический многочлен
P(x) = xk + C1x
k–1
+… + C
10
x + Ck.
k–1