Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Олимпиадные задачи по математическому анализу. Учебное пособие.pdf
Рассмотрим каждый из пределов по отдельности, применяя теорему
1
2
( 1) ln ! ( 1) ln ! ln !
lim lim lim
( 1)
nnn
nn nn n
I
nn n
nn
→∞ →∞ →∞
++
= = = =
+
+
ln ! ln( 1)! ln
lim lim lim ln
( 1) 1
n nn
nn n
n
nn
→∞ →∞ →∞
−−
= = =
−−
ln ! ln ! ln( 1)!
2 lim 2 lim lim ln
2 2 2( 1)
nn n
n nn
n
n nn
→∞ →∞ →∞
∞ −−
= = = =
∞ −−
12
lim ln lim ln 0
nn
II n n
→∞ →∞
−= − =
2
1
1
lim
n
n
k
nk
→∞
=
∑
+
2 22 2
1
1 11 1
lim lim lim
12
n
n
nn n
k
S
nk n n nn
→∞ →∞ →∞
=
= + ++ =
∑
+ ++ +
2 2 2 22 2
1 1 1 11 1
11 1
n
S
nn nn nn n n n
+ ++ < < + ++
+ + + ++ +
22
1
n
nn
S
nn n
<<
++
22
lim lim lim
1
n
n nn
nn
S
nn n
→∞ →∞ →∞
<<
++
2
2
2
lim lim 1
nn
nn
nn
nn
→∞ →∞
= =
+
+
Штольца,
.
.
Откуда
.
Пример 10. Найти предел последовательности
Решение.
Очевидно, что
.
.
.
Откуда
.
.
21
2
2
2
lim lim 1
1
1
nn
nn
n
n
→∞ →∞
= =
+
+
.
2
1
1
lim lim 1
n
n
nn
k
S
nk
→∞ →∞
=
= =
∑
+
lim
n
nx→∞
2
1
1
4
n
n
x
x
+
= +
lim sinnn
→∞
lim
n
n
x
→∞
1
11
2
nn
n
xx
x
+
= +
4
1nn
x ax
+
=
3
lim .
n
n
xa
→∞
=
1
2
1
n
n
n
x
x
nx
+
=
+
lim
n
n
x
→∞
lim
!
n
n
c
n
→∞
1
1
2
n
n
a
a
+
= +
(
)
1
1
1
nn
nn
xe x
−
+
= ⋅
2 2 ... 2
n
a = + ++
Тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах
.
Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать, что существует
2. Существует ли
, где n – натуральное число?
3. Доказать, что существует
, если x1 = 1,
, если xn > 1,
при n ≥ 1.
4. Последовательность {xn} такова, что x1 = 1,
что
5. Задана числовая последовательность x1 > 0,
что существует
и найти его.
.
. Доказать,
. Доказать,
6. Найти
7. Найти предел последовательности {аn}, если а1 = 1,
n ∊ N.
8. Найти предел последовательности {xn}, если x1 = а,
9. Найти предел последовательности {аn}, если
(n – корней).
, где с > 0.
при
.
22
10. Вычислить предел {xn}, если последовательность задана рекур-
1
2
1
ln 1
0,25
nn
xx
nn
+
=+−
++
lim arctg( arctg( arctg ))
4
n
xx x
→∞
π
+ ++ =>
1n
x
+
=
2
2002
n
n
x
x= −
2002
1
2
x <
3
3
3
раз
66 6
n
n
x = + ++>
lim 6 (2 )
n
n
nx→∞
−
12
11
1
n nn
x xx
nn
−−
=−+
lim
n
n
x
→∞
12
1
4
xx= =
4
12
1
4
n nn
x xx
−−
= +
lim
n
n
x
→∞
3
1
5
6
n
n
x
x
+
+
=
lim
n
nx→∞
1
1
2
y =
1
11
24
n nn
x xy
+
= +
2
1
1
4
n nn
y xy
+
= +
рентным соотношением
11. Решить уравнение
12. Последовательность {xn} задана рекуррентно:
x0 = 1,
13. Пусть
. Доказать, что
. Найти предел
14. Пусть x0 = а, x1 = b, а
.
, а x1 = 2.
.
.
.
, n = 2, 3, … . Найти
15. При каком значении а1 последовательность a
= 3an + 2, n ≥ 1
n+1
имеет конечный предел?
16. Дана последовательность {xn},
,
.
17. При каких действительных a и b сходится последовательность:
x0 = a, x1 = 1 + bx0, …, x
18. Между какими целыми числами лежит число 6·(1 – 1,001
19. Последовательность {xn} задана формулами:
Доказать, что существует
= 1 + bxn?
n+1
–1000
, x1= 0,23.
и найти его.
20. Две последовательности {xn} и {yn} заданы условиями x1 = 1,
. Найти
)?
,
делы этих последовательностей и найти их.
,
. Доказать, что существуют пре-
23
21. Последовательность {xn} задана формулами: x0 = 1,
3
1
13 1
nn
xx
−
=+−
lim
n
nx→∞
22 2
11 1
lim 1 1 1
23
n
n
→∞
−− −
11 1 1
lim 1 1 ... 1
( 1)
36 3
2
n
nn
→∞
−− − =
+
32
1
6 11 5
lim
( 3)!
n
n
k
kk k
k
→∞
=
+++
∑
+
33 3
33 3
1
2 13 1 1
lim
2 13 1 1
n
n
k
n
n
→∞
=
−− −
⋅ ⋅⋅
∑
++ +
>
2021
1
lim
2022
( 1)
xx
n
n
nn
→∞
=
−−
11 1
lim
123 234 ( 1)( 2)
n
nn n
→∞
+ ++
⋅⋅ ⋅⋅ + +
>
1
1
lim 1
n
n
k
k
a
→∞
=
+
∏
22 2
2
(1 )(2 )...( )
lim
n
n
n n nn
n
→∞
++ +
22
lim sin ( 2 )
n
nn
→∞
π+
11 1
1 ...
35 2 1
lim
111 1
...
246 2
n
n
n
→∞
++++
−
++++
( )
3
3
1
3
11
lim .
n
x
kn
n
k
+
→∞
=
⋅
∑
( )
tg1 tg2 tg2 tg3 . .. tg 1 tg
lim
tg tg1
n
nn
nn
→∞
⋅ + ⋅ ++ −⋅
−⋅
.
Доказать, что
22. Найти предел
23. Доказать равенство
24. Вычислить предел
25. Вычислить предел
26. Найдите x, если
существует и найти его.
.
.
.
.
.
27. Найти предел
28. Пусть a1 = 1, ak = k(a
29. Найти предел
30. Найти предел
31. Найти предел
32. Вычислить предел
+ 1). Вычислить
k–1
.
.
.
.
.
33. Найти предел
24
.
34. Найти предел
23
lim cos cos cos ... cos
2
22 2
n
n
→∞
ϕϕ ϕ ϕ
⋅ ⋅ ⋅⋅
(
)( )
11 1 1
lim
7 7 13 13 19 6 5 6 1
n
nn
→∞
+ + +⋅⋅⋅+
⋅ ⋅ −+
( )
11 1
lim
12 23 1
n
nn
→∞
+ +⋅⋅⋅+
⋅⋅ +
( )
1 3 5 ... 2 1
lim .
2 4 6 ... 2
n
n
n
→∞
⋅⋅⋅ ⋅ −
⋅⋅⋅ ⋅
( )
123
lim ...
n
n
aaa a
→∞
+ + ++
(
)
1
11
n
a
n n nn
=
+ ++
1
lim 1
n
n
ne
n
→∞
+−
( )
1
1!
nn
n
aa
n
+
= −
+
( )
lim ! 1 1
n
n
na
→∞
+−
2
2
1 ...
lim
1 ...
n
n
n
aa a
bb b
→∞
++ ++
++ + +
2 раз раз раз
11...1 22...2 33...3
nn n
−=
1
1
1
n
n
n
a
a
a
−
−
=
+
2
1
21
nn
aa
−
= +
1
3
3
1
n
n
n
a
a
a
+
=
+
, где φ ≠ 0, φ ∈ R.
35. Найти предел
36. Найти предел
37. Найти предел
38. Найти предел
n = 1, 2, …
39. Найти предел
.
40. Дана числовая последовательность a1 = 1,
, где
.
.
,
.
Найти предел
41. Найти предел
42. Доказать, что
.
, где | a | < 1, | b | < 1.
.
43. Найдите формулы общего члена последовательности a1 = 1,
.
44. Найти формулу общего члена последовательности a1 = 1,
.
45. Найти формулу общего члена последовательности
,
a0 > 0.
25
46. Найти наименьший член последовательности an = n4 – 5n3 – 3n2.
2
2
25
2 20 48
(5 31) 10
n
an n
n
= − +−
−+
2
1,001
k
k
1 11 111 111 1
lim .
10
n
n
n→∞
++ ++
+
>>
1
1 2 ...
lim
kk k
k
n
n
n
+
→∞
+ ++
3
1 2 3...
lim
n
n
n
n
→∞
++ +
1
!
lim
n
nn
n
n
ne
−
→∞
⋅
.
2ln
)1ln(ln
)1/(ln
4ln3ln
3/4ln
3ln2ln
2/3ln
lim
n
nn
nn
n
−+
−
++
+
+
+
∞→
>
47. Найти наименьший член последовательности
, n ∈ N.
48. При каком натуральном k величина
достигает максималь-
ного значения?
49. Доказать, что для последовательности чисел Фибоначчи {un} спра-
ведлива формула u
рекуррентным соотношением u
n+m
= u
n–1 um
+ un u
= u
n+2
(числа Фибоначчи определяются
m+1
+ un, u0 = 0, u1 = 1).
n+1
50. Найти предел
51. Найти предел
52. Бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия такова, что
произведение каждых двух её различных членов – также являются членами этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.
53. Найти предел
54. Найти предел
55. Найти предел
.
.
.
56. На плоскости расположены две касающиеся друг друга внешним
образом окружности единичного радиуса. К ним проведена внешняя касательная. В фигуру, заключенную между окружностями и касательной,
26
вписан круг. Затем в образовавшуюся между этим кругом и исходными
1
12 1
12 1 2
( ... )(1 ) ... (1 )
... (1 ... )
n
nn
nn
aa a a a
n
aa a a a a
+
+ ++ − ⋅⋅−
≥
⋅⋅ − − −−
!
n
n
n
e
<
1 1 13
...
1 2 25nn n
+ ++ >
++
11 1
1 ... 2( 1 1)
23
n
n
+ + + + > +−
( )
2
33 3
1
1 2 ...
2
nn
n
+
+ ++ =
( )( )
222 2
12 1
1 2 3 ...
6
nn n
n
++
+ + ++ =
2
11 1 1
1 1 ... 1
49 2
n
n
n
+
− − −=
111 1 1 1 1 1
1 ... ...
234212 122n nn n n
−+−++ − = + ++
− ++
окружностями фигуру вписывают еще один круг и т. д. Какова суммарная
длина диаметров вписанных кругов, полученных на n-ом шаге.
57. Пусть a1, a2, …, an – положительные числа и выполнено равенство
a1 + a2 + …+ an < 1. Доказать, что
.
58. Доказать неравенства:
1) (n+1)! ≥ 2n при n ∈ N;
2) 2n ≥ n2 при n ≠ 3;
3) если x > – 1, то для всех натуральных значений n истинно нера-
венство (1 + x)n ≥ 1 + nx (неравенство Бернулли);
4)
5)
при n ∈ N;
при n ≥ 3;
6) ((n)!)2 > nn при n ≥ 3;
7)
при n ∈ N
.
59. Доказать тождества:
1) 1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n2 для любого натурального числа n;
2)
3)
при n ∈ N;
при n ∈ N;
4)
5)
27
при n ≥ 2;
при n ∈ N.
60. Дана последовательность с общим членом
35
94
n
n
x
n
−
=
+
1
lim
3
n
nx→∞
=
997 1003
;
3000 3000
lim
n
n
x
→∞
2
1
11
n
n
k
k
S
n
=
= +−
∑
1
lim
4
n
n
S
→∞
=
23
32 6
nn n
++
lim
!ln
n
n
nn
→∞
∆
3 1 1 ... 1 1
1 4 1 ... 1 1
1 1 5 ... 1 1
... ... ... ... ... ...
1 1 1 ... 1
1 1 1 ... 1 1
n
n
n
∆=
+
1
23a =
. Известно,
что
интервала
. Определить число точек последовательности, лежащих вне
.
61. Пусть x0 = 10 и при любом натуральном n выполняется
x
= xn + sin(xn). Найти
n+1
62. Пусть
63. Доказать, что
.
. Показать, что
.
– целое число для любого натурального n.
64. Найти предел
, где
65. Найти формулу n-го члена для последовательности, заданной
условиями:
1) a0 = 0, a1 = 1, a
2) a0 = 1, a1 = 1, a
3) a0 = 1, a1 = 2, a
4) a0 = 1, a1 = 1, a
5) a0 = 0, a1 = 1, a
6) a1 = cosα, a2 = cos2α, a
7) a0 = 1,
n+2
n+2
n+2
n+2
n+2
, a
= 5a
= 3a
= 2a
= a
= 2a
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
n+2
+ 3an = 0;
n+2
– 6an;
– 2an;
– an;
+ an;
+ an;
– 2cosα a
+ an = 0;
n+1
.
8) a
n+3
+ 10a
9) a0 = 0, a1 = 1, a
10) a0 = 1, a1 = 2, a
n+2
+ 32 a
n+2
n+2
+ 32 an = 0;
n+1
= 4a
= 2a
n+1
n+1
– 5an;
– 2an.
28
66. Найти общий член рекуррентной последовательности, удовлетво-
1
1
00
;
2 1;
1, 2.
nn
n nn
a bn
b ab
ab
+
+
=−+
=++
= = −
12
2
nn
n
xx
x
−−
+
=
lim
n
n
x
→∞
1
2
2
3
nn
n
xx
x
+
+
+
=
lim
n
nx→∞
12
5
3
nn
n
xx
x
−−
−
=
ряющей соотношению:
1) a0 = 4, a1 = 5, a
2) a0 = 0, a1 = 1, a
3) a0 = 1, a1 = 3, a2 = 4, a
4) a1 = –9, a2 = 45, a
n+2
n+2
= 6a
– a
n+1
+ 2a
n+2
– 8an + 6n + 1;
n+1
– 2an + 4 = 0;
n+3
– 6a
n+1
+ 11a
n+2
– 8an = 27·5n.
– 6an = 4n;
n+1
67. Решить систему линейных рекуррентных соотношений
68. Последовательность {xn} определяется формулами x1 = а; x2 = b;
(n = 3, 4, …). Найти
.
69. Последовательность {xn} определяется формулами x0 = а, x1 = b,
. Найти
.
70. Доказать, что последовательность {xn}, заданная формулами
x0 = x1 = –1,
(n ≥ 2), имеет предел и найти его.
Указания
1. Доказать, применяя метод полной математической индукции, что
x
< 2 и применить теорему Вейерштрасса.
n+1
2. Воспользоваться предположением, что если предел существует, то
sin(n + 2) – sin(n) → 0.
3. Для доказательства монотонности последовательности рассмотреть
разность (x
– xn), а для доказательства ограниченности последователь-
n+1
29
ности снизу использовать связь между средним арифметическим и сред-
2
ab
ab
+
≥
4
у ax=
!
n
n
c
a
n
=
!2 .
n
n
nn
e
π
11
1
n
nk
k
xx a
+
=
= +
∑
2
1
ln 1
0,25
n
a
nn
= −
++
1
11
nn
xx
+
−
lim 2
n
n
x
→∞
=
( )
11
3 1 1.
n
n
aa
+
= +−
ним геометрическим двух чисел
.
4. Для доказательства монотонности последовательности рассмотреть
функцию
, x ∈ [1, +∞). Ограниченность последовательности до-
казать методом математической индукции.
5. Применить теорему Вейерштрасса.
6. 1 способ. Рассмотреть последовательность {аn}, где
пользоваться теоремой Вейерштрасса.
2 способ. Использовать формулу Стирлинга:
7. 1 способ. Использовать теорему Вейерштрасса.
, и вос-
2 способ. Найти общий член последовательности.
8. Найти произведение x1 · x2 ·…· xn и вывести общую формулу для x
9. См. пример 3.
10. Общий член последовательности представить в виде
, где
11. Найти предел последовательности a
.
= arctg(x + an), где
n+1
an = arctg(x + arctg(x + ... + arctgx).
12. Сравнить обратные величины
13. По теореме Вейерштрасса показать, что
.
.
n+1
.
14. Найти xn – x
15. Общий член последовательности представить в виде
n–1
.
30