Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Олимпиадные задачи по математическому анализу. Учебное пособие.pdf
Пусть
[2, 3]x ∈
2022 3 3 2019
4
( ) 2023 4 2023 ,
2023
fx x x x x
′
= += +
() 0
fx
′
=
2019
2
4
,
2023
x = −
() 0
fx
′
>
() 0fx
′
<
() 10, () ( 1) .
xx
f x xe f x x e
′ ′′
=−=+
() 0
fx
′
<
( ) 0.fx
′′
>
()fx
′
3
(3) 3 10 0fe
′
= −>
0
(0,3)x ∈
() 0fx
′
<
() 0fx
′
>
3
(1,5) 0,5 4 0,5 8 4 0,fe= −< ⋅−=
. Тогда P(x) ≥ P(2) = 72, Q(x) ≥ Q(2,5) = –0,25.
Поэтому и на отрезке [2, 3] выполняется f(x) > 0.
Пример 4. Сколько действительных корней имеет уравнение
2023
x
+ x4 + 1 = 0?
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = x
Так как
при x1 = 0 и
при x < x2 и при x > 0,
2023
+ x4 + 1.
то
при
x2 < x < 0. Поэтому на промежутке [x2, +∞) наименьшее значение f(x) равно
f(0) = 1, и уравнение не имеет корней на этом промежутке. На промежутке
(–∞, x2] функция f(x) возрастает и меняет знак. Поэтому уравнение имеет
единственный корень.
Пример 5. Сколько решений имеет уравнение (x – 1)ex – 10x + 11= 0?
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = (x – 1)ex – 10x + 11. Ее произ-
водные
При x > 0 имеет место
Следовательно,
При x < 0 выполняется
возрастает при
.
x > 0.
Так как
при x < x0 и
, то существует точка
такая, что
при x < x0. В точке x0 функция f(x) достига-
ет наименьшего значения.
Так как
то тем более f(x0) < 0. С дру-
гой стороны, f(0) = 10 > 0, f(3) = 2e3 – 19 > 0. Поэтому на каждом промежутке (–∞, x0) и (x0, +∞) функция обращается в нуль. Таким образом,
уравнение имеет два решения.
101
Пример 6. Найти число различных вещественных корней полинома
( )
2 2 3 2023
1
( ) ( 1) 2 3 ... 2023 .
2
Px x x x x x x= − + + ++ −+
(
)
2 3 2023 2 2022
2 3 ... 2023 1 2 3 ... 2023 ,xx x x x xx x+ + ++ = + + ++
( )
2 3 2023 2 3 2023
2 3 ... 2023 2 3 ... 2023 ,
d
xx x x x xx x x
dx
+ + ++ = + + ++
2023
2 3 2023
( 1)
2 3 ... 2023 ,
1
d xx
xx x x x
dx x
−
+ + ++ =
−
2025 2024
2 3 2023
2
2023 2024
2 3 ... 2023 .
( 1)
x xx
xx x x
x
−+
+ + ++ =
−
2025 2024
1
( ) 2023 2024 ,
2
Px x x
=−+
2
2024 2 2023 2023
2024
( ) 2023 2025 2024 2023 2025 .
2023 2025
Px x x x x
′
=⋅− =⋅ −
⋅
2
2024
,
2023 2025
+∞
⋅
2
2024
0,
2023 2025
⋅
1
(0) 0;
2
P = >
2
2024
2023 2025
x =
⋅
2
2024 1
(1) 0.
2023 2025 2
PP
< =−<
⋅
Решение. Выполним следующие преобразования
Отсюда полином и его производная имеют вид:
Следовательно, на интервалах (–∞, 0) и
P(x) возрастает, а на интервале
полином
– убывает. В точках смены
вида монотонности имеем: в точке x = 0 полином имеет максимум:
в точке
полином имеет минимум:
102
Определим поведение функции в бесконечно удаленных точках:
lim ( ) , lim ( ) .
xx
Px Px
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
2
2024
0,
2023 2025
⋅
2
2024
,
2023 2025
+∞
⋅
32
() 4 3f x x ax b
′
=++
lim ( ) ,
x
fx
→±∞
= +∞
Таким образом, на каждом из промежутков (–∞, 0),
и
полином меняет знак. Каждый из промежутков содер-
жит один корень полинома. Следовательно, полином имеет три различных
вещественных корня.
Пример 7. Уравнение x4 + ax3 + bx + с = 0 имеет четыре различных
корня. Докажите, что ab < 0.
Решение. Пусть x1 < x2 < x3 < x4 – корни данного уравнения. Рассмот-
рим непрерывную дифференцируемую функцию f(x) = x4 + ax3 + bx + с.
Корни уравнения являются нулями функции f(x). Чтобы функция имела четыре нуля, её производная
должна обратиться в нуль
в трёх различных точках p1, p2, p3, причём x1 < p1 < x2 < p2 < x3 < p3 < x4.
Так как
то примерный график функции при наличии
четырех корней имеет вид (рис. 4).
Рис. 4
103
Очевидно, что
() 0
fx
′
>
12
(, )x pp∈
() 0fx
′
<
23
(,)
x pp
∈
2
( ) 12 6f x x ax
′′
= +
2
a
x = −
(0) 0,
2
a
ff
′′
−<
2
2
4
0.
b
ab
a
<− <
при
и
при
.
Вторая производная
ных точках x = 0 и
(рис. 5).
обращается в нуль в двух различ-
Рис. 5
Значения первой производной в этих точках имеют разные знаки. Это
значит, что a ≠ 0 и
4b2 +a3b < 0 и
Что и требовалось доказать.
т. е. b(4b + a3) < 0. Следовательно,
Пример 8. Найти наименьшую из площадей прямоугольных тре-
угольников, описанных вокруг окружности радиуса R.
Решение. Пусть x и y – катеты описанного прямоугольного треуголь-
ника. Тогда x > 2R, y > 2R, а гипотенуза равна x + y – 2R (рис. 6).
Рис. 6
104
По теореме Пифагора получаем (x + y – 2R) 2 = x2 + y2, откуда
2
2( )
.
2
Rx R
y
xR
−
=
−
22
.
2
Rx R x
S
xR
−
=
−
22
2
( 4 2)
,
( 2)
dS R x Rx R
dx
xR
−+
=
−
0
dS
dx
<
2 (2 2)Rx R<< +
0
dS
dx
>
(2 2) .xR>+
( )
2
(2 2) (3 2 2)SR R+=+
2
(3 2 2) .SR= +
3 1 1 2 2 sin .
2
y
xx
π
− + +=+ −
() 3 1fx x x= −+ +
( ) 1 2 2 sin
2
y
gy
π
=+−
sin
2
yπ
22 () 2 22gy≤ ≤+
min
2 2,g =
max
2 2 2.g = +
sin 1,
2
yπ
=
2, .
22
y
kk Z
ππ
= +π ∈
.kZ∈
1 13 1
() .
23 2 1 23 1
xx
fx
x x xx
−− +
′
=−+=
− + −+
Рассмотрим площадь треугольника как функцию от x:
и
Так как
при
Поэтому
то
при
– наи-
меньшее значение площади описанного прямоугольного треугольника.
Ответ:
Пример 9. Решить уравнение с двумя неизвестными:
Решение. Рассмотрим две функции:
и
и найдем их минимальные и максимальные
значения.
Функция g(y) определена при всех действительных y. Так как
–1 ≤
Минимальное значение g(y) принимает, когда
≤ 1, то
Следовательно, y = 4k + 1,
и
т. е. при
Функция f(x) определена только на отрезке [–1, 3], так как должны
одновременно выполняться условия 3 – x ≥ 0, x + 1 ≥ 0. Найдем производную f(x):
105
Найдем стационарные точки функции f(x):
( ) 0 3 1 0 1.fx x x x
′
=→ − − +=→ =
()fx
′
() 0fx
′
>
() 0fx
′
<
22
max
2 2.f =
3 1 1 2 2 sin .
2
y
xx
π
− + +≤+ −
cos cos( 2 )yx x= +
( ) ()fx T fx+=
(())()()()fxT fxTxT fxT
′′ ′′
+ = + += +
( ) ()fxT fx
′′
+=
cos 2cos( 2 )yx x
′′
=−−
cos( 2 )yy x
′′
+=−
2 cosyy x
′′
+=
cos( 2 )x−
2
2
π
22l
T
π
=
Производная
при –1 < x < 1 и
мума. Из равенств f(1) =
значение функции f(x) равно
Следовательно, для любых x, y из области определения функций f(x),
g(y) справедливо
Равенство достигается, когда f(x) принимает свое максимальное, а g(y) –
минимальное значение, т. е. в точках x = 1, y = (4k + 1), k ∈ Z.
Ответ. x = 1, y = (4k + 1), k ∈ Z.
не существует в точках x = –1 и x = 3. Так как
при 1 < x < 3, то x = 1 – точка макси-
, f(–1) = f(3) = 2 следует, что максимальное
Пример 10. Доказать, что функция
периодической.
Решение. 1) Покажем, что если дифференцируемая функция
имеет период Т, то её производная так же имеет период Т. Действительно, если
т. е.
2) Пусть заданная функция имеет период Т, тогда её вторая производ-
ная
функции
Т как период косинуса равно целому кратному его наименьшего периода
2π, т. е. Т = 2k π, k ∊ Z. С другой стороны, период функции
.
, то
также имеет период Т, и, следовательно,
,
имеют период Т. Тогда число
не является
ра-
,
вен
и, следовательно,
, l ∈ Z. Так как Т не равно 0, то k и l от-
106
личны от 0. Но тогда из равенства
2
2
2
l
k
π
π=
2
l
k
=
() ()
() .
1 () ()
fx fy
fx y
fxf y
+
+=
−
( ) (0)
() .
1 ( ) (0)
fx f
fx
fxf
+
=
−
2
(0)(1 ( )) 0f fx+=
( ) ()
.
fx h fx
h
+−
2
( ) () () 1 ()
.
1 () ()
fx h fx fx f x
h h f xfh
+− +
= ⋅
−
2
( ) (1 ( )),
fx f x
′
=α+
2
cos 1
2
x
x >−
3
sin
6
x
xx−<
получаем, что
− ра-
циональное число, что не верно. Следовательно, данная функция не является периодической.
Пример 11. Найти все действительные дифференцируемые функции,
удовлетворяющие функциональному уравнению
Решение. Пусть f(x) удовлетворяет данному уравнению и y = 0, тогда
Значит,
Рассмотрим выражение
и, следовательно, f(0) = 0.
После преобразований получим
Воспользуемся дифференцируемостью функции f(x) и перейдем в этом
равенстве к пределу при h → 0. Учитывая, что f(0) = 0, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
общим решением которого является функция f(x) = tg(αx + C). Но так как
f(0) = 0, имеем С = 0 и f(x) = tg(αx), что и подтверждает проверка.
Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать, что
a) sin x < x при x > 0;
b)
c)
d) x > ln(1 + x) при x > 0;
при x > 0;
при x > 0;
107
e) 1 + 2ln x < x2 при x > 0;
ln 1
1
x
x
x
≤
−
2
sin xx
≥
π
0, ;
2
x
π
∈
0, ;
2
x
π
∈
0, ;
2
x
π
∈
0, ;
2
x
π
∈
2
arcsin arccos
16
xx
π
⋅≤
12
tg sin
33
x xx+>
0, ;
2
x
π
∈
sin
sin
xx
yy
>
0.
2
xy
π
<<<
2022 2024+
2 2023
11 1
( ) ... .
1 2023
fx
xx x
=+ ++
++
2
1
1 0.
2
xx
xe e x
−−
+ + −=
f) e x > 1 + (1 + x)ln(1 + x) при x > 0;
g)
h)
при x > 0, x ≠ 1;
при
i) sin x + tg x > 2x при
j) x cos x < 0,6 при
k) cos2x⋅sin x ≤ 0,4 при
l)
m)
при
при x ∈ [–1, 1];
n) cos2x⋅sin x > –0,(6) при x ∊ [–π, π];
o)
2. Что больше
3. Пусть
при
или
?
Определить:
a) сколько экстремумов имеет функция f(x);
b) сколько нулей имеет уравнение f(x) = 0.
4. Доказать, что уравнение x4 – 4x – 1 = 0 имеет ровно два действи-
тельных корня.
5. Сколько решений имеет уравнение x = 1,001x ?
6. Найти все действительные решения уравнения
7. Сколько положительных корней имеет уравнение x
108
x+1
= (x + 1)x?
8. Решить уравнение
2023 2023 2023
( 1) ... ( 2022 ) 0.xx x++ +++ =
cos
ln
.
y
x
e
x
=
5
5
30 2xx++ =
cos(sin ) sin(cos )xx
>
02x
π
<<
3
0
sin
lim
x
xx
x
→
−
0
(1 )(1 2 ) ... (1 ) 1
lim
x
x x nx
x
→
+ + ⋅⋅+ −
0
tg tg2 ... tg
lim 55
arctg
x
x x nx
x
→
+ ++
=
0
3 3 cos
lim
ln(1 cos 2 )
x
x
ex
xx
−
→
+ −+
−
2
0
ln( )
lim 1
ax
x
e e bx
x
→
−+
=
2
5
2
00
cos ln(1 2 sin )
lim lim
1 15
ax
xx
e bx x x
x
x
→→
−−
=
−+
9. a) Известно, что x3 + ex = y3 + ey. Верно ли, что sin x = sin y?
b) Известно, что x2 + ex = y2 + ey. Верно ли, что arctg x = arctg y?
10. В параболу, заданную уравнением y = 3 – x2, вписан прямоуголь-
ник наибольшей площади такой, что одна его сторона лежит на оси Ox,
а две вершины на параболе. Найти площадь прямоугольника.
11. Сферическое яйцо варится в цилиндрической кастрюле радиуса R.
При каком радиусе яйца r потребуется больше воды, чтобы закрыть его
целиком?
12. Тоннель имеет горизонтальное основание и параболический свод.
И ширина основания и высота равны 4 м. Найти наибольший диаметр
трубы, которую можно разместить внутри тоннеля.
13. К параболе y = x2 проведены две взаимно перпендикулярные каса-
тельные. Чему равно наименьшее из расстояний между точками касания?
14. Решить уравнение с двумя неизвестными:
15. Найдите вещественные корни уравнения
16. Докажите, что
17. Найти предел
.
,
18. Найти предел
19. Найти n из уравнения
20. Найти предел
.
.
.
.
.
21. Найти a и b, если
22. Найти a и b, если
.
.
109
Указания
sin
()
x
x
x
ϕ=
0,
2
π
() .xxϕ=
() 0fx
′
<
lim ( ) 0.
x
fx
→±∞
=
1. a) исследовать на монотонность функцию φ(x) = x – sinx;
b) см. задачу 1a;
с) см. задачу 1b;
d) исследовать на монотонность функцию φ(x) = x – ln(1+x);
e) достаточно доказать, что функция φ(x) = 1 + 2lnx – x2 имеет
единственный максимум φ(1) = 0;
f) исследовать на монотонность функцию
φ(x) = ex – 1 – (1 + x)ln(1 + x);
h) на концах отрезка достигается равенство, а функция φ(x) = sin x
на нем вогнута;
k) найти наибольшее значение левой части неравенства на данном
отрезке;
o) для функции
убывание на интервале
к известному неравенству tgx > x.
2. Использовать вогнутость функции
3. a) показать, что
всюду, где () существует;
b) на каждом промежутке (–2023, –2022), (–2022, –2021), ..., (–1, 0)
функция убывает от +∞ до –∞, а
4. Найти интервалы монотонности левой части уравнения.
5. Найти интервалы монотонности функции f(x) = x – 1,001x.
6. Найти интервалы монотонности левой части уравнения.
7. Перейти к эквивалентному уравнению (x + 1)lnx – xln(x + 1) = 0.
сводится
монотонность.
8. Сделать замену переменных x = t – 1011 и исследовать функцию на
9. Учесть монотонность функций.
10. Прямоугольник наибольшей площади – квадрат со стороной 2.
110