Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Олимпиадные задачи по математическому анализу. Учебное пособие.pdf
11. Задача сводится к поиску экстремума функции
23
4
( ) 2 .
3
V r R r r
5
( ) 30f x x x
02x
2022 2024 2 2023.
.
2
R
r
.kN
1
6
( 2)
2
nn
1
4
14. Найти наименьшее и наибольшее значения левой и правой части
уравнения соответственно.
15. Использовать монотонность функции
.
16. Использовать монотонность синуса и косинуса на
17. Воспользоваться формулой Тейлора для функции y = sinx.
18. Применить правило Лопиталя.
19. Воспользоваться правилом Лопиталя и суммой арифметической
прогрессии.
20. Домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопря-
женное числителю, и применить правило Лопиталя.
21. Воспользоваться правилом Лопиталя дважды.
22. Найти предел правой части по правилу Лопиталя.
.
Ответы
1.
3. a) функция не имеет экстремумов; b) 2023.
5. Два. 6. x = 0. 7. Один. 8. x = 1011. 9. a) да; b) нет. 10. 4. 11.
13. 1. 14. x = e, y = (2k + 1)π,
20.
. 21. a = ±1, b = ±e. 22. a = 0, b = ±2.
15. 1. 17.
. 18.
12. 3 м.
. 19. 10.
111
Дисциплина «Олимпиадные задачи по математике и программированию» является факультативной дисциплиной, однако она вместе с базовыми общеобразовательными дисциплинами «Математический анализ»,
«Алгебра», «Геометрия» формирует содержательные и технологические
основы для дальнейшего освоения общепрофессиональных и специальных учебных дисциплин, использующих современный математический
аппарат.
Процесс освоения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
– способность осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
задач;
– способность управлять своим временем, выстраивать и реализовывать траекторию саморазвития на основе принципов образования в течение всей жизни.
Один из главных навыков, развиваемых в ходе изучения дисциплины,
– поиск решений в нестандартных ситуациях за ограниченный промежуток времени. Это умение незаменимо для достижения успехов в профессиональной и научно-исследовательской деятельности.
Подготовка и участие в олимпиадах по математике различного уровня
повышает профессиональную мотивацию, раскрывает научные и творческие способности студентов, способствует популяризации научных
знаний.
112
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аракчеев, С. А. Избранные задачи математических олимпиад для
втузов . учеб. пособие / С. А. Аракчеев ; Сибирский гос. ун-т путей сооб-
щения. – Новосибирск : Изд-во СГУПСа, 2011. – 128 с. – ISBN 978-5-
93461-527-8.
2. Беркович, Ф. Д. Задачи студенческих олимпиад с указаниями и решениями : учеб. пособие / Ф. Д. Беркович, В. С. Федий, В. И. Шлыков. –
Ростов на Дону : Феникс, 2008. – 171 с. – ISBN 978-5-222-13122-0.
3. Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу : учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович. – Москва : АСТ :
Астрель, 2005. – 558 с. – ISBN 5-17-010062-0.
4. Математика: материалы для подготовки к олимпиаде / сост. :
Н. С. Горбоносова, М. В. Девятерикова, Н. А. Черникова. – Омск : Изд-во
ОАБИИ, 2014. – 123 с.
5. Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике : учеб. пособие для втузов / В. П. Минорский. – 13-е изд. – Москва : Наука, 1987. –
349 с.
6. Пискунов, Н. С. Т. 1. : Дифференциальное и интегральное исчисления / Н. С. Пискунов. – Москва : Наука, 1985. – 429 с.
7. Пискунов, Н. С. Т. 2. : Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. – 13-е изд. – Москва : Наука, 1985. – 560 с.
8. Позднякова, Е. П. Ч. 2. Всеармейские олимпиады по математике :
учеб. пособие / Е. П. Позднякова, Л. В. Малышева. – Москва : ФУ БХУ-
ХО, 2017. – 405 с.
9. Садовничий, В. А. Задачи студенческих олимпиад по математике /
В. А. Садовничий, А. С. Подколзин. – Москва : Наука, 1978. – 208 с.
10. Салахутдинова, З. Г. Задачи межрегиональных межвузовских олимпиад по математике среди учащихся образовательных организаций высшего
образования 2013-2017 годов : учеб.-метод. пособие / З. Г. Салахутдинова,
Е. С. Салахутдинова. – Кострома : Изд-во ВА РХБЗ, 2017. – 80 с.
113
123
, , ,..., ,...
n
aaa a
123
, , ,..., ,...
n
uuu u
0d >
0d <
1q >
1q <
0q <
1
( 1)
n
aa n d=+−
11n
n
u uq
−
=
1
()
2
n
n
aan
S
+⋅
=
[ ]
1
2 ( 1)
2
n
a dn n
S
+ −⋅
=
1
1
n
n
u uq
S
q
−⋅
=
−
( 1)q ≠
1q <
1
1
n
u
S
q=−
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Прогрессии
Арифметическая прогрессия − числовая последовательность, в которой
каждое число, начиная со второго, равно
предыдущему, сложенному с одним
и тем же числом d (d − разность
арифметической прогрессии)
− прогрессия возрастающая;
Геометрическая прогрессия − числовая последовательность, в которой
каждое число, начиная со второго, равно
предыдущему, умноженному на одно
и то же число q (q − знаменатель гео-
метрической прогрессии)
− прогрессия возрастающая;
− прогрессия убывающая
Общий член прогрессии:
Сумма n первых членов прогрессии:
или
− прогрессия убывающая;
− прогрессия знакопеременная
,
Если
конечно убывающей прогрессии
, то
− сумма бес-
.
114
Тригонометрические тождества
Операции над
22
sin cos 1α+ α=
sin
tg
cos
α
α=
α
cos
ctg
sin
α
α=
α
tg ctg 1α⋅ α=
1
sec
cos
α=
α
1
cosec
sin
α=
α
22
sec 1 tgα= + α
2
22
22
1 ctg
cos 1 sin
1 1 ctgtg
α
α= − α= =
+α + α
2
22
22
1 tg
sin 1 cos
1 ctg 1 tg
α
α= − α= =
+ α +α
sin( ) sin cos cos sinα±β = α β± α β
cos( ) cos cos sin sinα±β = α β α β
tg tg
tg( )
1 tg tg
α± β
α±β =
αβ
2
22 2
2
1 tg
cos 2 cos sin 1 2 sin
1 tg
−α
α= α− α= = − α
+α
2
2tg
sin 2 2sin cos
1 tg
α
α= α α=
+α
2
2tg
tg2
1 tg
α
α=
−α
2
1 cos 2
sin
2
−α
α=
2
1 cos 2
cos
2
+α
α=
sin sin 2 sin cos
22
α+β α−β
α+ β=
sin sin 2 cos sin
22
α+β α−β
α− β=
cos cos 2 cos cos
22
α+β α−β
α+ β=
cos cos 2sin sin
22
α+β β−α
α− β=
sin( )
tg tg
cos cos
α±β
α± β=
αβ
тригонометрическими функциями
Соотношения между
тригонометрическими функциями
Формулы
для суммы и разности углов
Тождества
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Формулы двойного угла
Формулы понижения степени
Формулы суммы и разности
тригонометрических функций
;
;
;
;
;
;
115
Окончание
Операции над
1
sin sin (cos( ) cos( ))
2
α β= α−β − α+β
1
cos cos (cos( ) cos( ))
2
α β= α−β + α+β
1
sin cos (sin( ) sin( ))
2
α β = α−β + α+β
tg tg
tg tg
ctg ctg
α+ β
α β=
α+ β
α
sin
cos
cosα
tg
−α
ctg−α
2
π
±α
cosα
sin α
ctg α
tg α
π±α
sin α
cos−α
tg±α
ctg±α
32π
±α
cos−α
sin±α
ctg α
tg α
sin±α
cosα
tg±α
ctg
±α
α
−
α
sin−
тригонометрическими функциями
Формулы произведений
тригонометрических функций
Формулы приведения
Тождества
;
;
;
tg ctg
116
Замечательные кривые
( ) ( )
2
22 222
xy axy+= −
22
cos 2ra= ϕ
Циклоида
( sin ),
(1 cos )
x at t
ya t
= −
= −
3
3
cos ,
sin
xa t
ya t
=
=
222
333
xya+=
( 0)ra r=ϕ≥
a
re
φ
=
(cos sin ),
(sin cos )
xa tt t
y a tt t
= +
= −
sin 3 ( 0)ra r= ϕ≥
(1 cos )ra=+ϕ
Лемниската Бернулли
или
Астроида
или
Логарифмическая спираль
Спираль Архимеда
Эвольвента (развертка) окружности
Трехлепестковая роза
Кардиоида
117
Поверхности второго порядка
2 22
222
1
xyz
abc
++=
2 22
222
0
xyz
abc
+−=
Однополосный
2 22
222
1
xyz
abc
+−=
2 22
222
1
xyz
abc
+−=−
22
22
2
xy
z
ab
+=
22
22
2
xy
z
ab
−=
22
22
1
xy
ab
+=
2
2y px=
22
22
1
xy
ab
−=
Эллипсоид
Двуполостный
гиперболоид
Конус
Эллиптический
параболоид
гиперболоид
Гиперболический
параболоид
Эллиптический
цилиндр
Параболический
Гиперболический
цилиндр
цилиндр
118