Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Олимпиадные задачи по математическому анализу. Учебное пособие.pdf
13. Доказать, что при любых a и b гиперболы x2 – y2 = b и xy = a пере-
2
2
1
2
x
y
+=
22
22
1
xy
ab
+=
2
3
2
x
yx= −
2
8
x
22
22
1
xy
ab
+=
секаются под прямым углом.
14. Доказать, что все параболы y = px2 пересекают эллипс
под прямым углом.
15. При каких значениях a и b эллипс
пересекается с па-
раболой y2 = 2px под наибольшим углом?
16. Доказать, что кривая y = x4 + 3x2 + 2x не пересекается с прямой
y = 2x – 1 и найти расстояние между их ближайшими точками.
17. Найти кратчайшее расстояние между линиями 3x2 + y2 = 3
и x + y = 5.
18. Найти кратчайшее расстояние между линиями x + y + 7 = 0
и y2 = 12x.
19. Найти кратчайшее расстояние между линиями
и x2 + y2 –18x + 6y + 89 = 0.
20. Найти кратчайшее расстояние между линиями y = lnx – 1
и x2 + y2 =1.
21. Найти кратчайшее расстояние между линиями 3x – 4y + 23 = 0
и x2 – 2x + y2 – 24 = 0.
22. Записать уравнение касательной к параболе y = x2 в точке, бли-
жайшей к точке M0 (2; 0,5).
23. На прямой y = 2x – 8 найти точку, через которую можно провести
две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции y =
.
24. Пусть точка A(2,1) лежит внутри гладкой замкнутой кривой
F(x, y) = 0, а точка B(–1,3) – ближайшая к A точка кривой. Записать урав-
нение касательной к кривой в точке B.
димое и достаточное условие касания эллипса и прямой.
25. Даны эллипс
и прямая Ax + By + C = 0. Найти необхо-
91
26. Написать уравнение касательных к эллипсу
22
1,
43
xy
+=
22
1.
63
xy
+=
22
22
1
xy
ab
+=
22
22
1.
xy
ba
+=
22
22
1
xy
ab
+=
3
2
(6 7) 9 4,yx x= + −+
1
.
1
x
y
x
+
=
−
раллельных прямой x + y = 1.
27. Написать уравнение касательных к эллипсу 3x2 + 8y2 = 45, рассто-
яние которых от центра эллипса равно 3.
28. Эллипс с фокусами в точках (–3, 0) и (3, 0) касается прямой
x + y = 5. Составить уравнение эллипса.
29. Составить уравнения касательных, проведенных из точки (4, –1)
па-
к эллипсу
30. Найти общие касательные к двум эллипсам
и
31. Найти уравнения сторон квадрата, описанного около эллипса
.
32. Даны парабола y2 = 2px и прямая y = kx + b. Найти необходимое
и достаточное условие касания параболы и прямой.
33. Найти общие касательные к кривым y2 = 4x и x2 + 4y2 = 1.
34. Написать уравнение касательной к параболе y2 = 2px, отсекающей
на осях координат равные отрезки.
лярной прямой y = kx + b (k ≠ 0).
в точках с ординатой (–1).
точки с равными координатами.
35. Написать уравнение касательной к параболе y2 = 2px, перпендику-
36. Составить уравнение параболы, касающейся эллипса 4x2 + y2 = 5
37. Составить уравнение касательной к графику функции
если известно, что на этой касательной нет ни одной
38. Дана функция
Найти y
92
(100)
(x).
39. Дана функция
1
.
1
x
y
x
−
=
+
2
1
.y
xx
=
−
2
1
.
43
y
xx
=
−+
100
.
1
x
y
x
=
−
.
x
x
y
e
=
()
( sin ) ( 2 ) sin .
4
x n nx
e x e xn
π
= +
( )
(2023)
2022
ln .xx
Найти y
(100)
(x).
40. Дана функция
Найти y
41. Дана функция
42. Дана функция
Найти y
43. Дана функция y = xex. Найти y
44. Дана функция
Найти y
45. Дана функция y = x2ex. Найти y
46. Дана функция y = x⋅ cosx. Найти y
47. Показать, что
(100)
Найти y
(100)
(x).
(100)
(x).
(100)
(x).
(100)
(x).
(100)
(x).
(100)
(x).
(x).
48. Вторая производная некоторой функции равна разности ее первой
производной и самой функции. Найти отношение этой функции и ее
2019-ой производной.
49. Вычислить
50. Вычислить (sinx⋅sin2x⋅sin4x)
51. Вычислить (cos4x)
52. Найти y
53. Найти y
(2022)
в точке х = 0 от функции y = cos(x3).
(2022)
в точке х = 0 от функции y = ln(1– x2).
(2022)
.
(2022)
.
Указания
1. Функции | x |3 и | x |2 являются дифференцируемыми в точке x = 0.
2. Установить, какую степень может иметь этот многочлен.
4. Определить степень многочлена.
5. Представить f (2018) как функцию от g(2018).
8. Продифференцировать функциональное уравнение по x и решить
получившуюся задачу Коши.
93
9. См. пример 4 данного параграфа.
15. Наибольший угол между кривыми равен 90o.
16–18. Кратчайшее расстояние равно расстоянию между прямой и па-
раллельной ей касательной к кривой.
19. Найти кратчайшее расстояние от центра окружности до параболы.
20. Найти кратчайшее расстояние от центра окружности до кривой
y = ln x – 1.
21. Найти кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой.
22. Найти сначала уравнение нормали к параболе, проходящей через
точку M0.
23. Убедиться, что прямая y = 2x – 8 является касательной к параболе.
24. Касательная перпендикулярна отрезку AB.
25. Исключить одну переменную из системы уравнений, задающих
прямую и эллипс, и исследовать полученное квадратное уравнение.
26–31. См. задачу 25.
32. Исключить одну переменную из системы уравнений, задающих
прямую и параболу, и исследовать полученное квадратное уравнение.
33. Использовать условия касания эллипса и прямой, параболы
и прямой.
36. См. задачи 25, 32.
37. Касательная параллельна прямой y = x.
38. Представить числитель дроби как (1+ x) = −(1 − x −2).
39. Представить числитель дроби как (1− x) = 2 − (1 + x).
40, 41. Представить дробь как разность простейших дробей.
42. Представить числитель дроби как x
100
= (x
100
− 1) + 1.
43–46. Использовать формулу Лейбница.
47. Вывести формулу индукцией по порядку производной.
48. Продифференцировать несколько раз равенство, заданное в условии.
49. Вывести формулу индукцией по порядку производной.
50. Представить функцию как сумму синусов.
51. Воспользоваться формулой понижения степени.
52, 53. Разложить функцию в ряд Маклорена.
94
Ответы
1
2
2.
x
x
=
(2022) 2022!.f
′
=
(0) 2.f
′
= −
2
2arctg .
2
π−
.
4
π
.
6
π
2.ba=
1
.
5
32
.
2
17
1.
2
−
2 1.−
39
.
22
yx= +
22
1.
17 8
xy
+=
22
.y x ab=±± +
22
.y x ab=±± +
2
p
10921
.
729
yx= +
(100)
100 100
197!!(399 )
.
2 (1 ) 1
x
y
xx
−
=
−−
(100)
101
2 100!
.
(1 )yx
⋅
=
+
(100)
101 101
11
100! .
( 1)
y
xx
= −
−
(100)
101 101
100! 1 1
.
2
( 3) ( 1)
y
xx
= −
−−
(100)
101
100!
.
(1 )yx
=
−
(100)
100 .
xx
y e xe= +
(100)
100 .
xx
y e xe
−−
=−+
(100) 2
9900 100 .
x xx
y e xe x e=++
2022!
.
x
( )
2022 2022 2022
1
7 sin 7 sin 5 sin 5 3 sin 3 .
4
xx x x+− −
2022!
.
674!
−
2022!
.
1011
−
1. a = ±1. 2. P(x) = x. 3.
7.
11.
12.
8. f(x) = 1 – e
15.
–2022x
16.
4. P
= 8. 5. P
наим
. 9. a = n, b = – n – 1. 10.
17.
21. 0.2. 22. y = 2x – 1. 23. (3, –2). 24.
26. x + y ± 5 = 0. 27. ±3x ± 4y + 15 = 0. 28.
x – 5y – 9 = 0. 30.
33. x ± 2y + 4 = 0. 34. x + y +
= 0. 35. 2x + 2ky + pk2 = 0. 36. y = 2x2 – 3.
31.
= 14. 6.
наиб
18. 4. 19.
25. a2A2 + b2B2 = C2.
20.
29. x + y – 3 = 0,
32. p = 2kb.
37.
38.
40.
42.
43.
45.
49.
51. –2
2020
cos2x – 2
50.
4041
cos4x. 52.
41.
46. y
39.
44.
(100)
= 100sinx + x
53.
⋅
cosx. 48. –1.
95
2.2. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
12
() ()fx fx≤
12
() ()fx fx≥
(,)x ab∈
() 0fx
′
≥
( ( ) 0 ).fx
′
≤
(,)
x ab∈
() 0fx
′
≥
( ( ) 0 );fx
′
≤
[,]x pq
∀∈
() 0fx
′
=
0
[,]x pq∈
[,]x pq∀∈
0
()0fx
′
=
Определение. Функция у = f(x) называется неубывающей (невоз-
растающей), если из неравенства x1 < x2 следует, что
(
).
Определение. Функция у = f(x) называется возрастающей (убываю-
щей), если из неравенства x1 < x2 следует, что f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонны-
ми, а возрастающие и убывающие функции строго монотонными.
Критерий монотонности функции. Пусть функция у = f (x) опреде-
лена на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех его внутренних точках.
Функция у = f(x) не убывает (не возрастает), тогда и только тогда, когда
для любого
выполняется неравенство:
Критерий строгой монотонности функции. Пусть функция у = f(x)
определена на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех его внутренних
точках. Для того чтобы функция у = f(x) была возрастающей (убывающей)
функцией, необходимо и достаточно выполнение двух условий:
1) для любого
2) не существует отрезка [p, q] ⊂ [a, b] с условием:
верно
верно
.
Определение. Точка 0 является точкой локального максимума (минимума) функции у = f(x), если существует такой отрезок [p, q], содержа-
щийся в области определения функции, что
и
вы-
полняется f (x) ≤ f (x0) (f (x) ≥ f (x0)).
Необходимое условие существования экстремума. Если дифференцируемая функция у = f(x) имеет в точке x0 экстремум, то
Точки, в которых производная обращается в ноль или не существует,
называются стационарными точками.
.
ция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], содержащем одну стационарную
Достаточное условие существования экстремума (1). Пусть функ-
96
точку x0, и дифференцируема везде на (a, b), кроме, может быть, точки x0.
()fx
′
()
fx
′
()
fx
′′
00
()0, ()0fx f x
′ ′′
= ≠
0
()0fx
′′
<
0
( ) 0.fx
′′
>
( 1)
( ), ( ), ..., ( )
n
fx f x f x
−
′ ′′
()
0
()
n
fx
()
0
()0
k
fx=
()
0
( ) 0.
n
fx≠
()
0
()0
n
fx<
()
0
( ) 0;
n
fx>
Если при переходе через стационарную точку x0 производная функции меняет знак, то функция имеет в этой точке экстремум.
Заключение о характере экстремума и его наличии в стационарной
точке делается по следующей схеме (табл.).
Таблица
1
2
3
4
Знак
при x < x0 Знак
+
+
–
–
при x > x0
+
–
–
+
Заключение
Нет экстремума
Максимум
Нет экстремума
Минимум
Достаточное условие существования экстремума (2). Если функция
у = f(x) имеет вторую производную
выполнены условия
экстремум, а именно: максимум, когда
Достаточное условие существования экстремума (3). Пусть функ-
, причем в некоторой точке x0
, то в этой точке функция имеет
, и минимум, когда
ция у = f(x) имеет в некотором интервале |x – x0| < δ производные
и в точке x0 производную
(k = 1, …, n – 1),
В таком случае:
, причем
1) если n – число четное, то в точке x0 функция f(x) имеет экстремум,
а именно: максимум, когда
, и минимум, когда
2) если n – число нечетное, то в точке x0 функция f(x) экстремума не
имеет.
Наибольшее (наименьшее) значение на отрезке [a, b] непрерывной
функции f(x) достигается или в критической точке этой функции, или
в граничных точках a и b.
97
Определение. Функция у = f(x) называется выпуклой на интервале
1 21 2
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ).
f x x fx fx
λ + −λ ≤λ + −λ
1 21 2
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ).f x x fx fxλ + −λ ≥λ + −λ
() 0fx
′′
≥
() 0fx
′′
≤
() 0fa
′′
=
() 0fa
′′
=
()fa
′′
()fx
′′
0
lim ( ) 0,
xa
fx
→+
=
(a, b), если для любых x1, x
из интервала (a, b) и для любого λ из отрезка
2
[0,1] выполняется соотношение
Геометрически это значит, что все точки графика дифференцируемой
функции лежат выше любой ее касательной на этом интервале.
Определение. Функция у = f(x) называется вогнутой на интервале
(a, b), если для любых x1, x2 из интервала (a, b) и для любого λ из отрезка
[0,1] выполняется соотношение
Геометрически это значит, что все точки графика функции лежат ниже
любой ее касательной на этом интервале.
Достаточное условие выпуклости функции. Если во всех точках
интервала (a,b) вторая производная функции у = f(x) неотрицательна
(неположительна), т. е.
(
), то функция у = f(x) на этом
интервале выпукла (вогнута).
Определение. Точка, в которой функция непрерывна и при переходе
через которую меняет направление выпуклости, называется точкой пере-
гиба.
Необходимое условие точки перегиба. Пусть x = a – точка перегиба
функции у = f(x), причем у = f(x) имеет непрерывную вторую производную
в точке x = a. Тогда
.
Достаточное условие точки перегиба. Пусть у = f(x) – дважды диф-
ференцируемая функция в окрестности точки x = a и
не существует. Тогда если вторая производная
при переходе через
или
точку x = a меняет знак, то точка x = a является точкой перегиба.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f: (a, b) → R
и g: (a, b) → R дифференцируемы на интервале (a, b),
98
0
lim ( ) 0,
xa
gx
→+
=
g′(x) ≠ 0 на (a, b) и существует (конечный или бесконечный)
0
()
lim .
()
xa
fx
A
gx
→+
′
=
′
0
()
lim
()
xa
fx
gx
→+
00
() ()
lim lim .
() ()
xa xa
fx f x
gx g x
→+ →+
′
=
′
lim ( ) ,
x
fx
→+∞
= +∞
lim ( ) ,
x
gx
→+∞
= +∞
()
lim .
()
x
fx
A
gx
→+∞
′
=
′
()
lim
()
x
fx
gx
→+∞
() ()
lim lim .
() ()
xx
fx f x
gx g x
→+∞ →+∞
′
=
′
2023
2022
2022
2023 ?
ln x
y
x
=
2
1 ln
x
y
x
−
′
=
2
1 ln
0 1 ln 0 .
x
x xe
x
−
= →− = → =
ln x
y
x
=
21
21
ln ln
.
xx
xx
<
Тогда
также существует и равен A, т. е.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f: (a, +∞) → R
и g: (a, +∞) → R дифференцируемы при x > α, причем g′(x) ≠ 0 при x > α,
гда
и существует конечный
также существует и равен A, т. е.
То-
Примеры решения задач
Пример 1. Что больше,
Решение. Рассмотрим функцию
или
, x > 0 и исследуем ее на мо-
нотонность. Для этого найдем производную
к нулю:
При x > e функция
бой пары точек x
и x2 таких, что e < x1 < x2 справедливо неравенство
1
строго убывает, следовательно, для лю-
и приравняем
99
Положим x1 = 2022, x2 = 2023 и подставим их в неравенство. Получим
2022 2023
ln 2023 ln 2022
2022 ln 2023 2023 ln 2022 ln 2023 ln 2022 .
2023 2022
< →⋅ <⋅ → <
2022 2023
2023 2022 .<
() 1 0
x
xe
′
ϕ = −>
() 1 0
x
xe
′
ϕ = −<
xR∈
65432
5 6 0.xxxxx x+−−+−+>
65432
() 5 6 () (),
f x x x x x x x Px Qx
=+−−+−+= +
65433 2
( ) ( 1)( 1) ,Px x x x x x x x=+−−= − +
2
( ) 5 6 ( 2)( 3).Qx x x x x= − += − −
[0,1]x ∈
[2, 3]
x ∈
[0,1]x ∈
2
1
( ) ( ) ( 1)( 1) .Px P x x x≥ =−+
2
1
( ) 3 2 1 ( 1)(3 1),Px x x x x
′
= + −= + −
1
3
1
3
11
1 2 16
() () 2.
3 39
PxPxP
≥ ≥ =− ⋅ >−
[0,1]x ∈
Так как функция y = ln(x) строго возрастающая, то
Пример 2. Доказать неравенство ex > 1 + x при x ≠ 0.
Решение. Рассмотрим функцию φ(x) = ex – 1 – x. Данная функция не-
прерывна на всей действительной оси. Так как
при x > 0,
то функция φ(x) возрастает на интервале (0, +∞). Следовательно, для лю-
бого x из (0, +∞) выполняется φ(x) = ex – 1 – x > φ(0) = 0. При x < 0 получаем
и функция φ(x) убывает на интервале (–∞, 0). Следова-
тельно, для любого x из (–∞, 0) также выполняется φ(x) = ex – 1 – x > φ(0) = 0.
Таким образом, для любого x ≠ 0 справедливо ex > 1 + x, что и требо-
валось доказать.
Пример 3. Доказать, что для любого
выполняется
Решение. Пусть
где
Достаточно доказать неравенство при
и
всех других промежутках оба многочлена положительны.
Пусть
Так как
и возрастает на [
видно, что при
. Тогда
то P1(x) убывает на [0,
, 1]. Поэтому
выполняется Q(x) ≥ 2. Следовательно, f(x) > 0.
так как на
]
Оче-
100