Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Олимпиадные задачи по математическому анализу. Учебное пособие.pdf
77. Рассмотреть предел на интервалах 0 < x ≤ 1 и 1 < x < +∞.
( 1) , ,
44
nn
ππ
π − + π+
4
,
x
n
π
− +π
=
π
,.
4
n nZ
π
π+ ∈
nZ∈
nZ∈
nZ∈
1
,
1
t
x
t
−
=
+
11
,
1
x
xt
−
= −
+
1
.
1
t
p
t
+
=
−
.
1
x
t
x
=
+
78. Показать, что предел равен max(|x|, |y|).
79. Найти и приравнять пределы функции в точке x = 1 слева и справа.
Ввести обозначение h(x) = ax3 − 2x2 − 3a + b. Для непрерывности функции
f(x) должно выполняться равенство h(1) = 0.
80. Исследовать функцию на непрерывность на полуинтервале
где
и в точках
83. Исследовать функцию внутри и на концах полуинтервала [n, n+1),
, n = [x].
84. Исследовать функцию внутри и на концах полуинтервала [n, n+1),
, n = [x].
85. Исследовать функцию внутри и на концах полуинтервала [n, n+1),
, n = [x].
86. Рассмотреть непрерывные функции g(x) = f(x)sinx, h(x) = f(x)cosx.
87. Использовать определение предела.
88. Найти пределы функции f(x) = x − 2022 + (lnx)
2022
при x → +0
и x → +∞.
89. Произвести замену x + 2 = t.
90. Произвести замену 1 − x = t.
91. Произвести замену
лать замену
и в следующем уравнении
92. Произвести две замены переменных в заданном уравнении: t = x + 1
и
затем в полученном уравнении сде-
61
93. Произвести замену
.
1
x
t
x
=
−
1
.
1
x
t
x
+
=
−
1
2
xt= +
1
.
2
xt= −
1
1
x
t
x
+
=
−
1
.y
t
=
.
1
x
t
x
=
+
1
.
t
x
=
1
1tx
=
−
1
.
1
z
t
=
−
94. Произвести замену
95. а) записать данное равенство при x = 0 и x = 1; б) записать данное
равенство при
96. Записать данное равенство при
венстве произвести замену
97. Произвести замену
98. Произвести замену
и
и затем в полученном ра-
99. Записать данное равенство при
венстве произвести ту же самую замену
100. Произвести замену x = f(y) и в полученном уравнении положить
y = 0.
101. Для нахождения решения в классе линейных функций применить
метод неопределенных коэффициентов.
102. Прологарифмировать исходное уравнение и последовательно
подставить значения n = 2, 3, ...
103. Положить x = 1.
104. Подставить x = 0 и заменить y на −y.
105. Произвести замену x = ez.
и затем в полученном ра-
106. Заменить x на x + y и положить φ(x) = f(x) – c.
107. Положить m = 0, n = 0.
108. Заменить x на 1 ‒ x.
62
Ответы
21
4
π
2
43
() 1
77
fx x x= −−
2
11
()
x
fx
x
++
=
2
()
1
x
fx
nx
=
+
nZ∈
7
22
66
kx k
ππ
− +π≤ ≤ +π
1
||
3
x ≤
4
kx k
π
π ≤ ≤ +π
22
2
kx k
π
π≤ ≤ +π
3
2
−
1, | | 1,
0, 1,
1, | | 1 .
x
yx
x
−<
= =
>
nZ
∈
2
−π
2
π
2
π
nZ
∈
2
−π
2
π
2cos , при cos 0;
0, при cos 0.
xx
y
x
≥
=
<
2
2
2, при 2;
2,при 2.
xx x
y
xx x
+ ≥−
=
− − <−
1
2
x ≠
1
3
x ≠
11 13
10
x
±
≠
||
2
yx
π
=
, 0;
1 / 2, 0;
1, 0.
xx
yx
x
<
= =
>
2
1, | | 1;
||,1||2;
2, | | 2.
x
yx x
xx
≤
= <≤
>
1
2
±
2
T
π
=
λ
23.
2. На промежутках (–∞,0), [2, +∞) решений нет; x = 0,5 на [0, 1); x =1,5
на [1, 2). 3. x ∈ (2, +∞). 4. (–∞, –2] [–1,+∞). 5. 36. 6. 5. 7. f(x) = 3x2 – 2x +5.
8. 11. 10.
14.
20.
г)
. 11.
при
; д) [
. 12.
. 16. 61. 17. 9. 18. 1. 19. f(x) > g(x).
. 21. а)
; б) [7; 8]; в)
; –1]. 22. (πn; 0), n ∈{−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
24.
≤ y ≤
≤ y ≤
. 26. y = (–1)n(
. 27. y = 2x2 – 1.
25. y = (–1)nx + πn,
– x) + πn,
.
;
,
,
28. y = 1. 29.
31. y = 1; x ≠ 1;
34. (1; 4); (2; 8). 35.
;
;
30.
36.
. 32.
. 33.
. 37. 2. 38. 0; –1. 39. Если y < x,
то x = 1 при y < 1; если y = x, то y = x = 1; если y > x, то y = 1 при x < 1.
40.
. 41. 4k. 42. Не является периодической. 43. T = 2π. 44. x = 1.
63
45. 1. 46. 0. 47. 0. 48. 0. 49. e
1
2
e
4
e
π
−
2
−
π
2
π
( 1)
2
nn+
1
2
a
1
!n
( 1)
mn
m
n
−
−
2
1
,,
sin
akkZ
a
− ≠π ∈
3
2cos
,
sin
a
a
,
akkZ≠π ∈
4
cos2
cosaa
−
4
3
1
12
−
1, 0 1;
,1 .
x
y
xx
<≤
=
< < +∞
8 22
,.
33
ab= =
2
2
21
() .
1
xx
fx
xx
−+
=
−+
2
2
41
() .
55
xx
fx
xx
−+
=
−
1 11
() 4 2 .
91
x
fx x
xx
−
=++
−
() 2 .
1
x
fx x
x
= −
−
2
()
12
fx
x
=
−
1
,
2
x ≠
1
()
2
fx=
1
.
2
x
=
1
() 2 .
1
x
fx
x
+
=
−
2
( ) , 1.
1
x
fx x
x
= ≠
−
1
1
1
() 2 2 .
3
x
x
fx
+
=−+
1 11
() 1 .
21
fx x
xx
= +− −
−
1
() .
2
fx x= −
3
() .
2
fx x= −
lg( !)
() .
lg
n
fn
n
=
() .
k
f x Cx=
( )
2
1
( ) 2 1.
3
fx x x= +−
a+b
. 50. e−1. 51.
. 52.
. 53.
. 54.
.
55. 1. 56. 1. 57.
65.
. 66.
. 70. –3. 71. –24. 72.
77.
(±1; ±1). 79.
. 58. 10. 59. 1. 60. 0. 61. 0. 62. 1. 63. 0. 64.
. 67.
. 68. –cosa. 69.
. 73.
. 74.
, x > 0. 78. Контур квадрата с вершинами в точках
80. Непрерывна на R. 81. Непрерывна на R.
.
.
82. x = –1 – точка разрыва 2-го рода, x = 0 – точка разрыва 1-го рода,
в точке x = 1 – функция непрерывна. 83. x = 0 – точка разрыва 2-го рода,
в точке x = 1 – точка разрыва 1-го рода. 84. x = n – точки разрыва 1-го ро-
да, где n = [x]. 85. Непрерывна на R. 86. Да, существуют. 87. Функция g(x)
непрерывна. 89. f(x) = x2 + 1. 90.
92.
95. а) f(0) = 2 и f(1) = –2; б)
96.
99.
102.
97.
100.
103.
93.
при
98.
104. f(x) = x + 1. 105. f(x) = Clnx.
91.
94. f(x) = 2x + 1.
при
101.
106. f(x) = ax + c. 107. f(m) = m или f(m) = 0. 108.
64
0
xXR∈⊆
00
0
00
( ) ()
( ) lim lim ,
xx
fx x fx
y
yx
xx
∆→ ∆→
+∆ −
∆
′
= =
∆∆
0 0 00
( ), ( ), ( ), ( ).
x
df
fxfx xyx
dx
′′
( )
1
1.
nn
x nx
−
′
=
( )
2. 1x
′
=
( )
3. ln
xx
a aa
′
=
( )
4.
xx
ee
′
=
( )
5. sin cosxx
′
=
( )
6. cos sinxx
′
= −
( )
2
1
7. tg
cosxx
′
=
(
)
2
1
8. ctg
sinxx
′
= −
( )
2
1
9. arcsin
1xx
′
=
−
( )
2
1
10. arccos
1xx
′
= −
−
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Определение. Пусть в некоторой окрестности точки
определена функция f: X → R. Если существует конечный предел
то он называется производной функции y = f(x) в точке x0.
Обозначения:
Определение. Если функция у = f (x) имеет производную во всех точках х ∊ X, то она называется дифференцируемой на числовом множестве Х.
Процесс нахождения производной функции называется дифференцирова-
нием этой функции.
Таблица производных
65
(
)
2
1
11. arctg
1xx
′
=
+
( )
2
1
12. arcctg1x
x
′
= −
+
( )
1
13. log
ln
a
x
xa
′
=
( )
1
14. ln x
x
′
=
( )
15. sh chxx
′
=
( )
16. ch hx sx
′
=
( )
2
1
17. thchx
x
′
=
(
)
2
1
18. cth
sh
x
x
′
= −
0, const;CC
′
= =
(
)
;Cu Cu
′
′
⋅=⋅
(
)
;uv u v
′
′′
±=±
( )
;uv u v uv
′
′′
= +
2
;
u u v uv
v
v
′
′′
−
=
1
;
y
x
x
y
′
=
′
;
x ux
y fu
′ ′′
= ⋅
111
11
... ... .
nn
i i ii n
ii
u u u uu u
−+
= =
′
′
=
∏∑
() 0fx
′
≠
xX∈
1
.
y
x
x
y
′
=
′
Пусть y = f(x), u(x), v(x) – дифференцируемые функции. Тогда:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. если y = f (u), где u = φ(x), то
8.
Производная обратной функции
Дифференцируемая функция f: X → R с производной
имеет однозначную непрерывную обратную функцию, причем об-
ратная функция также дифференцируема и для нее справедлива формула
при
66
Производная функции, заданной параметрически
( ),
,
( ),
xt
t
yt
= ϕ
α≤ ≤β
= y
() 0x
′
ϕ≠
tα≤ ≤β
1
( ( ))
yx
−
=yϕ
t
x
t
y
y
x
′
′
=
′
00
0
1
( ) ( ).
()
y fx x x
fx
=−−
′
00 0 00 0
( , )( ) ( , )( ) 0.
xy
Fxy x x Fxy y y
′′
−+ −=
22
22
1
xy
ab
+=
00
22
1.
xx yy
ab
+=
Система уравнений
цируемые функции и
при
ласти, как однозначную дифференцируемую функцию от x:
где φ(t) и ψ(t) – дифферен-
определяет y в некоторой об-
,
причем производная этой функции может быть найдена по формуле
.
Геометрический смысл производной
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х
Тогда угловой
0.
коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х0 равен значению производной этой функции в точке х0: k = f' ʹ(x0).
Уравнение касательной к графику функции у = f(x), проходящей через
точку (х0, f(x0)):
у = f (x0) + f ʹ(x0)(х – х0).
Уравнение нормали к графику функции у = f(x), проходящей через
точку (х0, f(x0)):
Уравнение касательной к плоской кривой, заданной уравнением
F(x, y) = 0 и проходящей через точку (х0, y0):
Уравнение касательной к эллипсу
, проходящей через точку
(х0, y0):
67
Уравнение касательной к гиперболе
22
22
1
xy
ab
−=
00
22
1.
xx yy
ab
−=
( )
( ) ( 1)
00
() ().
nn
yx y x
−
′
=
()
00
( ), ( ).
n
n
n
df
fx x
dx
( )
()
( )()
0
,
n
n
k nk k
n
k
uv C u v
−
=
=
∑
(0) (0)
!
,, .
!( )!
k
n
n
u uv vC
knk
= = =
−
0
( ,)c xx∈
()
( 1)
1
00
00 0 0
() ()
()
()() ()... () ()
1! ! ( 1)!
n
n
nn
fx f x
fc
fx fx xx xx xx
nn
+
+
′
= + − ++ − + −
+
точку (х0, y0):
Производные высших порядков
Производная функции y = f(x) порядка n в точке x0:
, проходящей через
Обозначения:
Формула Лейбница:
где
Ряд Тейлора
Теорема. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки 0 и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, то
для любого x из этой окрестности найдется точка
такая, что
справедлива формула:
Данная формула называется формулой Тейлора или рядом Тейлора
для функции f(x). Ее можно записать в виде f(x) = Pn(x) + Rn(x), где
68
.
()
00
00 0
() ()
( ) ( ) ( ) ... ( )
1! !
n
n
n
fx f x
Px fx xx xx
n
′
= + − ++ −
называется многочле-
( 1)
1
0
()
() ( )
( 1)!
n
n
n
fc
Rx x x
n
+
+
= −
+
( ) ( 1)
1
(0) (0) ( )
( ) (0) ...
1! ! ( 1)!
nn
nn
f f fc
fx f x x x
nn
+
+
′
= + ++ +
+
23
1 ... ..., ;
2! 3! !
n
x
xx x
e x xR
n
=++ + ++ + ∈
3 5 21
1
sin ... ( 1) ..., ;
3! 5! (2 1)!
n
n
xx x
xx xR
n
−
+
= − + − +− + ∈
−
24 2
cos 1 ... ( 1) ..., ;
2! 4! (2 )!
n
n
xx x
x xR
n
=−+−+− + ∈
23
1
ln(1 ) ... ( 1) ..., ( 1,1];
23
n
n
xx x
xx x
n
−
+ = − + − +− + ∈−
23
ln(1 ) ... ..., [ 1,1);
23
n
xx x
xx x
n
− =− − − − − − ∈−
3 5 21
1
arctg ... ( 1) ..., [ 1,1];
3 5 ( 2 1)
n
n
xx x
xx x
n
−
+
= − + − +− + ∈−
−
3 5 21
1 1 3 (2 1)!!
arcsin ... ..., [ 1,1];
2 3 2 4 5 (2 )!! 2 1
n
x x nx
xx x
nn
+
−
=+⋅ +⋅⋅ ++ + ∈−
+
23
( 1) ( 1)( 2)
(1 ) 1 ..., ( 1,1);
12 123
m
mm mm m
x mx x x x
− −−
+ = + + + + ∈−
⋅ ⋅⋅
ном Тейлора, а
– остаточным членом в форме
Лагранжа.
При x0 = 0 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу
(ряд) Маклорена:
где c принадлежит интервалу (0, x).
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
69
9.
23
1
1 ... ( 1) ..., ( 1,1);
1
nn
xx x x x
x
= − + − + +− + ∈−
+
23
1
1 ... ..., ( 1,1);
1
n
xx x x x
x
= + + + + + + ∈−
−
3 5 21
sh ... ..., ;
2 3! 5! ( 2 1)!
xx n
ee x x x
x x xR
n
−−
−
= =+ + ++ + ∈
−
24 2
ch 1 ... ..., .
2 2! 4! (2 )!
xx n
ee x x x
x xR
n
−
+
= =++++ + ∈
0
00
00
0
( ) ()
1
lim lim ( ) .
xx n
xfx xfx
n f x fx
xx n
→ →∞
−
= +−
−
00
00 0
1
()
1
lim ( ) lim ( ).
1
nn
f x fx
n
n f x fx f x
n
n
→∞ →∞
+−
′
+− = =
0
00 000000
00
() () () () () ()
lim lim
xx
xfx xfx xfx xfx xfx xfx
xx xx
→
− −+−
= =
−−
0
0 00 0
0
( )( ) ( ( ) ( ))
lim
xx
fx x x x fx fx
xx
→
−− −
= =
−
10.
11.
12.
Примеры решения задач
Пример 1. Известно, что функция y = f(x) дифференцируема в точке
x = x0 и удовлетворяет соотношению
(*)
Докажите, что график функции проходит через точку (−1; 0).
Решение. В силу дифференцируемости функции в точке x0, предел
в правой части равенства (*) существует и равен f '(x0):
Найдем предел в левой части равенства (*):
70