Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Олимпиадные задачи по математическому анализу. Учебное пособие.pdf
16. Доказать, что
1
0
2
n
n
x<≤
1
1
n
n
x
n
−
= +
01
n
x<≤
1
0
2
n
y<≤
22
lim ( ) 0
nn
n
xy
→+∞
+=
( )
(
)
22
11
1
1
nn
nn
−+
−=
1 ( 1)( 2)
1
( 1)
( 1)
2
nn
nn
nn
−+
−=
+
+
32 2
32 2
22 2
1 ( 1)( 1) ( 1)(( 1) ( 1) 1)
1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
nn n
kk k
k k kk k k k
k k kk k kk
= = =
− − ++ − + − + +
= =
∏∏ ∏
+ + −+ + −+
1
( 1)( 2)nn n++
1
1
1
1
!
n
n
k
k
a
an
=
+
+=
∏
, и воспользоваться теоремой Вейер-
штрасса.
17. Методом математической индукции найти xn.
18. Воспользоваться вспомогательной последовательностью
.
19. Использовать теорему Вейерштрасса.
20. Показать, что
,
для всех n и
21. Использовать теорему Вейерштрасса.
22. Общий член разложения можно представить в виде
.
23. Общий член разложения представить в виде
.
24. Числитель дроби представить в виде k3 + 6k2 + 11k + 5 =
= (k + 1)(k + 2)(k + 3) – 1.
25. Произведение под знаком суммы представить в виде
.
26. Выражение (n – 1) возвести в степень x, используя бином Ньютона.
27. Дробь
разложить на сумму простейших дробей.
28. Произведение представить в виде
31
.
.
29. Дробь под знаком предела представить в виде
22 2
2 22
11
(1 )(2 )...( )
1 exp ln 1
nn
n
kk
n n nn k k
n nn
= =
++ +
= += +
∏∑
2
( 2)n nnπ + −π
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
1
33
32
3
3
3
3
3
1 11
1 1 1 1.
1
n
kn
nn nn
k
n
n
+
=
⋅+−+> > ⋅+−+
∑
+
tg tg
tg( )
1 tg tg
xy
xy
xy
−
−=
+⋅
1
(6 5)(6 1)
nn−+
1
( 1)nn+
11
1
n
a
nn
= −
+
1
ln 1
1
1
n
n
n
e
n
+
+=
1
!n
и воспользоваться
известным неравенством ln(1 + x) < x при x > 0.
30. Аргумент функции представить в виде
31. Оценить дробь, стоящую под знаком предела.
32. Оценить сумму
33. Воспользоваться формулой
.
34. Воспользоваться формулой синуса двойного угла.
35. Дробь
36. Дробь
разложить на сумму простейших дробей.
разложить на сумму простейших дробей.
.
37. Возвести в квадрат выражение, стоящее под знаком предела,
и оценить его сверху.
38. Общий член последовательности представить в виде
.
39. Преобразовать
и разложить логарифм в ряд
Маклорена.
40. Доказать методом математической индукции an =
.
41. Воспользоваться формулой суммы бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии.
32
42. Расписать числа по определению десятичной записи числа
2 раз
11...1
n
раз
22...2
n
ln ln( 1)nn−−
1
2( 1) 2( 1 1)mm
m
− + > +−
и
.
46. Рассмотреть критические точки функции y = x4 – 5x3 – 3x2 при
x ≥ 1.
47. Заданную последовательность представить в виде суммы двух по-
следовательностей и оценить каждую.
48. Составить и решить систему неравенств ak ≥ a
и ak ≥ a
k–1
k+1
49. Применить метод математической индукции.
50. Преобразовать общий член суммы к виду
51. Преобразовать числитель дроби, используя формулу суммы n чле-
нов геометрической прогрессии.
53, 54. Применить теорему Штольца.
.
.
55. Прологарифмировать общий член последовательности.
56. Используя теорему Пифагора, найти радиус 1-го круга. Аналогич-
но найти радиус k-го круга.
57. Обозначить a
= 1 – a1 – a2 – …– an и применить неравенство
n+1
Коши для средних при каждом i = 1, 2, …, (n + 1).
58. 1) – 6) Применить метод математической индукции. 7) Доказать
сначала неравенство
, а затем исходное не-
равенство доказать методом математической индукции.
59. Применить метод математической индукции.
60. Воспользоваться определением предела последовательности.
61. Ввести вспомогательную последовательность yn = xn – 3π и приме-
нить к ней теорему Вейерштрасса.
63. Применить метод математической индукции.
33
Ответы
1
4
x
π
= −
1
1 b−
1
1ab
=
−
lim 0
n
n
x
→+∞
=
lim 0
n
ny→+∞
=
1
2
5
3
2
3
1
4
1
2
e
sin
ϕ
ϕ
1
6
2
e−
1
2
11b
a
−
−
1
n
21
n
n
a
= −
0
3
3
0
1
n
a
a
na
=
+
117
46
−
10
81
1
1k +
( )
1
n
n +
1 115 1 115
11
2222
55
nn
n
a
+−
=+ +−
( )
1
(1 2 ) (1 2 )
22
nn
n
a = + −−
2
3 cos 2sin
22
n
n
nn
a
ππ
= +
( 2) ( ( )2 )
nn
n
an= − α+ β+γ
( ) ( )
()– 2 2 –
2
nn
i ii
++
11
(1 ) (1 )
22
nn
n
ii
ai i
−+
= ++ −
23
21 1
1
32 6
n
a nn n=++ −
3
2
66
n
nn
b =−− +
2
3
ab+
3
4
ab+
1. 2. 2. Нет. 3. 1. 5. 0. 6. 0. 7. 2. 8. ае. 9. 2. 10. 2 – ln3. 11.
13. 0. 14. a + (a – b)(e
и любом a; 2) при b ≠ 1 и
3 и 4. 19. 1. 20.
26. 2022. 27.
. 28. e. 29.
36. 1. 37. 0. 38. 1. 39.
45.
-1
. 46. a
– 1). 15. –1. 16. 0. 17. Сходится к
; в прочих случаях расходится. 18. Между
,
. 30. 0. 31. 1. 32. 3. 33. ctg1. 34.
. 40.
= –122. 47. a5 =
4
. 41.
. 21. 0. 22.
. 43.
. 48. 2001. 50. 1. 51.
: 1) при |b| > 1
. 24.
. 25.
. 44.
. 35.
.
.
.
.
.
53.
. 54. 1. 55. 1. 63.
2) an = 1; 3) an = n+1; 4)
5)
7)
9) an =
66. 1) an = 2
n+1
– 4n + 2n + 3; 2) an = –2n – (–1)n + 2; 3) an = 1 + 2n – 3n + n(n+2);
; 8)
; 10)
4) an = 2·(–4)n – 3·2n + 5n. 67.
. 60. 703 точки. 64. 1. 65. 1) a
; 6) an = cos(nα);
;
,
= 3n – 2n;
n
.
;
.
68.
. 69.
. 70. 0.
34
1.2. ФУНКЦИИ
, если 0,
, если 0.
xx
x
xx
≥
=
−<
||
||
xx
yy
=
1, если 0,
sign( ) 0, если 0,
1, если 0.
x
xx
x
−<
= =
>
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительно-
го числа х называется неотрицательное число
Свойства абсолютных величин
1. |x + y| ≤ |x| + |y|.
2. |x − y| ≥ |x| − |y|, |x| > |y |.
3. |xy| ≤ |x|⋅|y|.
4.
.
Знак действительного числа х (обозначается sign(x)) – это – 1, 0 или 1,
в зависимости от того, является число отрицательным, нулем или положительным, т. е.
Между модулем и знаком числа очевидны следующие соотношения
x = |x|⋅sign(x), |x| = x⋅sign(x).
Геометрический смысл абсолютной величины
|x – a| означает расстояние между точками x и a.
ε-окрестность точки а есть интервал вида (а – ε; а + ε), где ε > 0 задает
радиус окрестности. Если x ∊ (а – ε; а + ε) (или x ∊ Oε(а)), то а – ε < x < а + ε
(или |x − a| < ε).
Определение. Если каждому значению, которое может принять переменная х, по некоторому правилу или закону ставится в соответствие
единственное значение переменной у, то говорят, что у – функция от х,
и обозначают у = f(x). Переменная х называется независимой переменной
или аргументом, а y – функцией или зависимой переменной.
35
Определение. Совокупность всех значений аргумента х, для которых
∈
функция у = f(x) определена, называется областью определения этой
функции (D(f)). Совокупность всех значений, принимаемых переменной y,
называют областью значений функции у = f(x) (E(f)).
Обратная функция
Определение. Пусть f(x) – взаимно-однозначная функция (для всех
x1, x
D(f) таких, что x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)). Тогда для всех у ∊ E(f ) ∃!
2
х = g (y) ∊D(f), такое что y = f(x). Функция х = f –1(у) = g(y), определенная на
E(f ), называется обратной для функции y = f(x).
Обозначим аргумент обратной функции через х, а функцию через y:
y = g(x). Графики взаимно-обратных функций у = f(x) и y = g(x) симмет-
ричны относительно прямой y = x.
Сложная функция
Функцией от функции, или сложной функцией (суперпозицией), назы-
вается функция
y = f(φ(x)),
где y = f(u) и u = φ(x).
Областью определения функции y = f(φ(x)) является или вся область
определения функции u = φ(x), или та её часть, в которой определяются
значения u, не выходящие из области определения функции f(u).
Функции: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции − называются основ-
ными элементарными функциями.
Всякая функция, которая получается из основных элементарных
функций путем конечного числа суперпозиций и четырех арифметических
действий (сложения, вычитания, умножения и деления), называется эле-
ментарной функцией.
Например, элементарными функциями будут целая рациональная
и дробно-рациональная функции.
36
Способы задания функции
lim () 0 () 0:(| | | () | )
xa
fx A x a fx A
→
= ⇔ ∀ε> ∃δ ε > − <δ⇒ − <ε
lim ( )
xa
fx A
→
=
lim ( )
xa
gx B
→
=
lim( () ())
xa
f x gx A B
→
±=±
lim () ()
xa
f x gx AB
→
⋅=⋅
()
lim
()
xa
fx A
gx B
→
=
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
1
0
1
lim 1 lim(1 )
x
x
xx
xe
x
→∞ →
+ = +=
lim ( ) 0
xa
x
→
α=
1. Явный: y = f(x).
2. Интервальный: область определения разбивается на несколько ин-
тервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.
3. Параметрический: x = x(t); y = y(t), t ∈ [α, β].
4. Неявный: F(x, y) = 0.
Предел функции
Определение. Пусть функция y = f (x) определена в области D. Число А
называется пределом функции f (x) при х → а, если для любого ε > 0 существует число δ > 0 такое, что из неравенства |х – а| < δ следует неравенство
|f (x) – A| < ε.
В символической форме:
Теорема. Пусть
1.
2.
3.
,
, при В ≠ 0.
,
.
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
.
, тогда:
.
.
Бесконечно малые функции, их свойства.
Сравнение бесконечно малых
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой (БМФ) при
х → a, если
.
37
По определению предела функции в точке: функция α(x) называется
() БМФ 0 ( ) 0 : (| | | ( ) | )x xa xα − ⇔ ∀ε> ∃δ ε > − <δ⇒ α <ε
1
lim 0
xx→∞
=
lim ( ) 0
xa
fx A
→
= ≠
()
()
()
x
x
fx
α
π=
lim ( ) 0
xa
x
→
α=
бесконечно малой при х → a, если для любого числа ε > 0 можно найти
окрестность точки a такую, что для всех значений х из этой окрестности (за
исключением, быть может, точки a) выполняется неравенство: |α(x)| < ε.
В символической форме определение БМФ имеет вид:
.
Наряду с понятием БМФ в точке рассматривается понятие БМФ на
бесконечности, т. е. при х → ∞, х → +∞, х → −∞. Так, например,
.
Замечание: все свойства БМФ в дальнейшем будем рассматривать для
БМФ в точке. На бесконечности эти свойства будут аналогичны.
Теорема. (Связь между функцией, ее пределом и БМФ). Для того,
чтобы функция f( x), определенная в окрестности точки а, имела в ней предел, равный A, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:
f(x) = A + α(x), где α(x) − БМФ в окрестности точки х = а.
Свойства БМФ
1. Если α(x) и β(x) – БМФ при х → а, то φ(x) = α(x) ± β(x) – БМФ при
х → а.
2. Если α(x) – БМФ при х → а, и f(x) – функция, ограниченная в окрестности точки а, то τ(x) = α(x)f(x) − БМФ при х → а. В частности f(x) = Cα(x) –
БМФ при х → а.
3. Если α(x) – БМФ при х → а и
БМФ при х → а.
Сравнение БМФ
Бесконечно малые функции обладают общим свойством
вместе с тем их поведение в окрестности точки а может значительно от-
личаться.
38
, то
−
,
Пусть α(x) → 0 и β(x) → 0 при х → а. Тогда
()
lim 0
()
xa
x
x
→
α
=
β
()
lim
()
xa
x
x
→
α
= ∞
β
()
lim 0
()
xa
x
C
x
→
α
= ≠
β
() ()
lim lim 1
() ()
xa xa
xx
xx
→→
αβ
= =
βα
11
11
() () () ()
lim lim lim lim
() () () ()
xa xa xa xa
x xx x
x x xx
→→ → →
αα αα
= = =
ββ β β
если
, то α(x) − бесконечно малая высшего порядка мало-
сти, чем β(x);
если
, то α(x) − бесконечно малая низшего порядка мало-
сти, чем β(x);
если
, то α(x) и β(x) являются бесконечно малыми ве-
личинами одного порядка малости.
Бесконечно малые функции α(x) и β(x) одного порядка называются
эквивалентными, если
.
Свойства эквивалентных БМФ
1. Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу
отношения эквивалентных им функций. Если α(x) ~ α1(x), β(x) ~ β1(x)
в окрестности точки а, то
.
2. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) эквивалентны тогда и только
тогда, когда их разность есть бесконечно малая функция более высокого
порядка малости, чем α(x) и β(x).
3. Сумма конечного числа БМФ различных порядков эквивалентна
слагаемому низшего порядка.
Таблица эквивалентных БМФ
1) sinаx ~ ах при х → 0 и а ∈ R;
2) tgax ~ ах при х → 0 и а ∈ R;
39
3) arctgax ~ ах при х → 0 и а ∈ R;
11
m
a
ax x
m
+−
2
1
2
x
2
12 1
2
x
x+−
12 1x
+−
lim ( ) ( ).
xa
fx fa
→
=
12
, [,]x x ab∈
4) arcsinax ~ ах при х → 0 и а ∈ R;
5) eax – 1 ~ ax при х → 0 и а ∈ R;
6)
7) 1 − cos(х) ~
при х → 0 и а ∈ R;
при х → 0;
8) ln(ax + 1) ~ ах при х → 0 и а ∈R.
Примечание: следует иметь в виду, что если (α1 ~ β), (α2 ~ β), то α1 ~ α2.
Например, arcsinx ~ х при х → 0,
arcsin x ~ (
) при х → 0.
при х → 0. Откуда
Определение. Пусть функция f(x) определена в точке a. Функция f(x)
непрерывна в точке а, если
Функция, непрерывная в каж-
дой точке некоторого интервала, называется непрерывной на этом интер-
вале.
Определение. Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной
на отрезке [a, b], если для всякого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для
всех
из условия |x1 – x2| < δ следует |f(x1) – f(x2)| < ε.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Первая теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Вторая теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на отрезке,
принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Первая теорема Больцано-Коши. Функция, непрерывная на отрезке
и принимающая на его концах значения разных знаков, хотя бы в одной
внутренней точке принимает нулевое значение.
40