Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Олимпиадные задачи по математическому анализу. Учебное пособие.pdf
Вторая теорема Больцано-Коши. Функция, непрерывная на отрезке,
0
0
lim ( ) lim ( ) ( ).
xa
xa
fx fx fa
→−
→+
= =
0
0
lim ( ) lim ( ),
xa
xa
fx fx
→−
→+
=
0
0
lim ( ) lim ( ) ( ),
xa
xa
fx fx fa
→−
→+
= ≠
0
0
lim ( ) lim ( ),
xa
xa
fx fx
→−
→+
≠
принимает хотя бы один раз любое значение, заключенное между ее
наибольшим и наименьшим значениями.
Теорема Кантора. Функция, непрерывная на отрезке [a, b ], равно-
мерно непрерывна на этом отрезке.
Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке
x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке, а точка x = a называется точкой разрыва.
Теорема. Функция f(x) непрерывна в точке x = а тогда и только тогда,
когда
Классификация точек разрыва
1. Если
определена таким образом, что
но f (x) не определена в точке а или
то разрыв
называется устранимым.
2. Если односторонние пределы в точке x = a существуют и конечные,
но
то точка x = a называется точкой разрыва 1-го
рода.
3. Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует,
либо является бесконечным, то точка разрыва называется точкой разрыва
2-го рода.
Пример 1. Доказать неравенство |x − y| ≥ |x| − |y|.
Решение. Очевидно, что |x| = |(x – y) + y|.
Применим неравенство треугольника |x| = |(x – y) + y| ≤ |(x – y)| + |y|.
Откуда |x| − |y| ≤ |x − y|.
Примеры решения задач
41
Пример 2. Решить неравенство
2
7 3 1 12x xx
− − −<
2
2
1
,
3 1 0,
3
1
11,
1 1 1;
10 11 0;
3
1
1
3 1 0,
,
2 17 .
3
3
4 13 0.
2 17 2 17.
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
≥
−≥
≤<
−< <
− −<
⇒⇒
−<
<
− <<
− −<
− <<+
(2 17;11)x ∈−
2022
(2022)
f
1
()fx x=
1
1
()
1 ()
n
n
fx
fx
+
=
−
1
()fx x=
2
1
()
1
fx
x
=
−
3
1
()
x
fx
x
−
=
4
()fx x=
32
()
n
f xx
−
=
31
1
()
1
n
fx
x
−
=
−
3
1
()
n
x
fx
x
−
=
2022
1
()
x
fx
x
−
=
2022
2021
(2022)
2022
f =
2
4
1
()
1
x
fx
x
+
=
+
2
22 2 4 4 2
4
1
(1 ) 0 1 2 0 1 2
2
1
x
x xx x x
x
− ≥ ⇒− + ≥ ⇒+ ≥ ⇒ ≤
+
4
11x+≥
22
4 44
1 1 13
1
22
111
xx
xxx
+
= + ≤+ =
+++
3
0 ()
2
fx<≤
.
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем
Откуда
Пример 3. Найти
.
, если
,
Решение. Используя рекуррентную формулу в условии задачи, имеем:
;
Видим закономерность
Поскольку 2022 кратно 3, то
Пример 4. Показать, что функция
;
;
;
; …
;
, поэтому
ограничена на интер-
.
.
.
вале (−∞; +∞).
Решение. Ясно, что f(x) > 0, т. е. функция ограничена снизу. Рассмот-
рим очевидное неравенство
Так как
функция f(x) ограничена на интервале (−∞; +∞), т. к.
x ∈ (−∞; +∞).
, то
42
.
. Следовательно,
,
Пример 5. Действительная функция f(x) определена на всей числовой
2
1
( ) ()
4
fx a f x+= −
22
1
0 () ,
2
1
( ) () .
4
fx
fxa fx
≤≤
++ =
2 2 22
1 11
( 2) ( ) () ()
4 44
fx a fxa fx fx
+ =− +=− − =
1
( ) sin
22
x
fx
a
π
=
2
2
2
11
2
()
11
n
n
n
n
n
n
xx
x
x
fx
xx
x
x
+−+−
=
+ ++
2
2
2
2
2
11
11
2
11
11 11
n
n
n
n
n
n
n
n
nn n
nn
nn
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
xx xx
xx
xx
+ −+
+−+−
= =+−+
+ ++ + ++
11
()
n
n
n
fx x x
x
x
=+ −+
1 2 2 4 12
( ) ...
n n nn
nn n
f x Cx Cx C x
− − −−
= + ++
оси и удовлетворяет тождеству
, где a – заданная по-
стоянная, a > 0. Доказать, что f(x) – периодическая функция.
Решение. Условие задачи эквивалентно следующему: для всех x ∈ R
Тогда
. Учитывая,
что f(x) ≥ 0, имеем f(x + 2a) = f(x), т. е. f(x) имеет период T = 2a.
В качестве примера такой функции можно привести функцию
.
Пример 6. Найти наименьшее значение функции
, x > 0, n ∈ ℕ.
Решение. Преобразуем выражение
.
Тогда
или
, x > 0
43
.
Так как
k nk
nn
СC
−
=
1
12 24
2
24
11 1
( ) ...
n
nn
nn n
nn
fx C x C x C x
x
xx
−
−−
−−
= ++ +++ +
1
12 24 2
22
24 2
11 1
( ) ...
nn
nn
n n nn
nn
fx C x C x C x C
xx x
−
−−
−−
= ++ +++ ++
1
()
k
k
gx x
x
= +
11
() 1 1 2 2
1
1
n
nn
n
fx
=+ −+ =−
( )( )
lim sin 1 sin cos 1 cos
x
x xx x
→+∞
+− ++
11
sin 1 sin 2cos sin
22
xxxx
xx
++ +−
+− = =
11
2cos sin
2
2( 1 )
xx
xx
++
=
++
1
1
( ) sin
2( 1 )
fx
xx
=
++
2
1
( ) 2cos
2
xx
fx
++
=
( )( )
lim sin 1 sin cos 1 cos 0
x
x xx x
→+∞
+− ++ =
, n, k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n, то
, если n – нечетное
и
, если
n – четное.
Функция
, x > 0, k ∈ N принимает наименьшее значе-
ние, равное 2, при x = 1. Поэтому и функция f(x) принимает наименьшее
значение при x = 1, равное
.
Пример 7. Найти предел функции
.
Решение. Воспользуемся формулой разности синусов двух углов:
.
При х → +∞ функция
функция, а функция
является ограниченной на всей
есть бесконечно малая
числовой прямой. Тогда
,
как предел произведения ограниченной функции на бесконечно малую.
44
Пример 8. Найти a, если
3
32
3
29
8 1 (3 ) 2
lim 10
8
x
x ax x
xx
→∞
−⋅ − ⋅ +
=
+
∞
∞
3
3
8 12xx−
(3 )
ax ax−−
2
2||xx+
3
29 3
8xx x+
3
2,при ,
2 ( )|| 2 ||
lim lim
2,при .
xx
ax
x ax x ax x
ax
x
x
→∞ →∞
− → +∞
⋅− ⋅ − ⋅
= =
→ −∞
5, при ,
5, при .
x
a
x
− → +∞
=
→ −∞
( ) lim cos
n
n
x
yx
n
→∞
=
cos cos 1 1 1 cos 1
n
nn
xx x
nn n
= −+ = + − =
2
2
2sin
1
2
2
2sin
2
1 2sin
2
n
x
n
x
n
x
n
−
−
= −
2
2
2sin
1
2
2
2sin
2
lim 1 2sin
2
x
n
x
n
n
x
e
n
−
−
→∞
−=
22
2
2
lim 2 sin lim
42
2
nn
x nx x
n
n
n
→∞ →∞
−⋅
−⋅ = =−
2
2
lim cos
n
x
n
x
e
n
−
→∞
=
2
2
()
x
yx e
−
=
.
Решение. Это неопределенность вида
. Заменим каждое выраже-
ние на эквивалентную бесконечно большую функцию:
;
;
.
Получим
Откуда
Пример 9. Построить график функции
;
.
Решение. Так как
,
,
, то
.
Таким образом, задача сводится к построению графика функции
.
45
Пример 10. Найти
[ ]
[ ]
2
lim
x
x
x
x
→∞
[
]
[
]
2
x
x
yx
=
[
]
[
]
2
ln ln
x
yx
x
=
lim lnxy
→∞
[ ]
11
x xx
−≤ ≤ +
[ ]
[
]
22 2
ln
ln( 1) ln( 1)
( 1) ( 1)
xx
xx xx
xx
x
−+
≤≤
+−
1
1
2
ln( 1) ln( 1)
lim lim lim 1 lim ln( 1)
( 1) ( 1)
( 1)
x
x xx x
xx x x
x
xx
x
+
→∞ →∞ →∞ →∞
−∞ −
== ⋅ =⋅ −=
∞+ +
+
11
1
()
1
0
( 1)
1
lim ln 1 lim ln lim ln 0
1/
x
xx
xx
x xx
ee
x
− ⋅− ⋅
−
+
+
→∞ →∞ →∞
=+===
−
2
ln( 1)
lim 0
( 1)
x
xx
x
→∞
+
=
−
[ ]
[ ]
2
ln
lim ln lim 0
xx
xx
y
x
→∞ →∞
= =
0
lim 1
x
ye
→∞
= =
tg 2
( ) arctg , ,
22
2
xx
fx x n
+π π
= +π ≠π +
π
,,.
2
f n nn Zx R
π
π+ =π ∈ ∈
22x
n
+π
=
π
,,
2
x n nZ
π
≠π + ∈
,.
22
xn n
ππ
∈π− π+
([x] – целая часть х, т. е. наибольшее из
целых чисел, не превосходящих х).
Решение. Имеем неопределенность вида [∞⋅0]. Обозначим
Тогда
равенство
. Для нахождения
:
используем двойное не-
.
Найдем
.
.
Аналогично получаем, что
о предельном переходе в неравенствах
Откуда
.
. Значит, по теореме
.
Пример 11. Исследовать на непрерывность функцию
Решение. Если
и
то
46
На каждом интервале
,,
22
n n nZ
ππ
π− π+ ∈
tg
( ) arctg
2
x
fx n
= +π
,.
2
x n nZ
π
=π+ ∈
0
2
tg
0 lim arctg ,
22
2
xn
x
fn n n
π
→π + −
ππ
π + − = +π = +π
0
2
tg
0 lim arctg ( 1) ( 1) .
2 22
2
xn
x
fn n n n
π
→π + +
π ππ
π + + = +π + =− +π + = +π
00
22
fn fn
ππ
π+ − = π+ +
nZ∈
1
5
1
() ()
5
x f x fx
ϕ= +−
4
0, .
5
x
∈
1234
0,,,,:
5555
1
(0) (0),
5
ff
ϕ= −
121
,
555
ff
ϕ= −
( )
44
1.
55
ff
ϕ= −
функция
является непрерывной. Проверим непрерывность функции f(x) в точках
Имеем
Таким образом,
для любого
,
и, следовательно, функция f(x) непрерывна на R, что и требовалось доказать.
Пример 12. Пусть непрерывная на отрезке [0, 1] функция f( x) удовле-
творяет условию f(0) = f(1). Доказать, что существует хорда длины
раллельная оси абсцисс (хорда – отрезок прямой с концами на графике
функции).
Решение. Рассмотрим функцию
при
Необходимо доказать, что внутри этого отрезка найдется x такое, что
φ(x) = 0. Запишем значения функции φ(x) в точках
, па-
… … … … … …
47
Складывая все равенства, получим
14
(0) ... (1) (0) 0.
55
ff
ϕ +ϕ + +ϕ = − =
1
0, 0,1,...,4
5
kk
ϕ==
12
4
0.
5
xx≤<≤
0 12
(, )x xx∈
00
1
( ) 0.
5
f x fx
+− =
3 ( ) (10 ) 3 ,
(10 ) ( ) 3 (10 ) 13 ,
f x xf x x
xfx f x x
+ −=+
− + −=−
2
2
2
10 9
( ) , 10 9 0.
10 9
xx
fx x x
xx
−+
= − +≠
Это означает, что, либо все слагаемые в левой части равенства равны
нулю:
и тогда утверждение доказано, либо среди них есть числа разных знаков.
Пусть это будут числа φ(x1) и φ(x2), где
В силу непрерыв-
ности функции f(x) непрерывна и функция φ(x), поэтому существует
, такое, что φ(x0) = 0. Отсюда
Это дока-
зывает, что такая хорда существует.
Пример 13. Найти все функции, определенные на множестве дей-
ствительных чисел, удовлетворяющие тождеству 3f(x) + x· f(10 – x) = 3 + x.
Решение. В заданном равенстве 3f(x) + x·f(10 – x) = 3 + x заменив x
на 10 – x, получим уравнение относительно функции f(x)
(10 – x) ⋅ f(x) + 3f(10 – x) = 13 – x.
Составим систему уравнений
решив которую, находим
Следовательно, f(x) = 1 (x ≠ 1, x ≠ 9). В точках x = 1, x = 9 значения функ-
ции произвольны, но связаны условием 3f(1) + f(9) = 4.
48
Пример 14. Найти все функции, определенные на множестве дей-
2
1
3
cos 2
x
24
2–()
3
tt
[ 2, 2]t
∈−
[ 2, 2]−
2
x
1 1 11 1
()
2 2 422 4 8 44 4 416
x xxx xxx
fx f f f
= += + += ++ =
1
... ... .
4 16
22 4
nn n
x xx x
f
== ++ ++
ствительных чисел, удовлетворяющие тождеству:
f(sinx + cosx) + 2f(sinx – cosx) = cos22x.
Решение. Заменим в исходном равенстве x на π – x:
f(sinx – cosx) + 2f(sinx + cosx) = cos22x.
Получим систему двух линейных уравнений. Умножим второе тожде-
ство на 2 и вычтем из него первое:
f(sinx + cosx) =
.
Введем обозначение t = sinx + cosx. Тогда
cos22x = 1 – sin22x = 1 – (t 2– 1)2 = 2t2 – t4,
а f(t) =
t = sinx + cosx). Вне отрезка
при
(множество значений функции
значения f(t) зададим произвольно.
Непосредственно проверяем, что для таких функций выполняется заданное соотношение.
Пример 15. Найти все непрерывные функции, удовлетворяющие
функциональному уравнению 2f(2x) = f(x) + x.
Решение. Пусть f(x) удовлетворяет данному уравнению. Подставим
вместо x выражение
, получим
49
Воспользуемся непрерывностью функции f(x) и перейдем к пределу
1
1
( ) lim lim lim .
2
22 4
n
nn n
nn n
k
x xx
fx f
→∞ →∞ →∞
=
= +=
∑
() .
2
x
fx=
12 1 2
... | | (| | | | ... | |).
nn
xx x x x x x x+ + + + ≥ − + ++
22
3( 4 2) | 1| 3 | 4 1|.xx x xxx
+++−≥+ ++
1, если 1;
()
2 ( 1), если 1
n
fn
fn n
=
=
−≠
3 ( 1), если 3;
()
( ), если 3.
gn n
gn
fn n
+≠
=
=
22
xx−
+
4 4 23
xx−
+=
2
()
f x ax bx c= ++
2
2
49
()fx x
x
= +
7
5x
x
+=
1
( ) lg
1
x
fx
x
−
=
+
∈
12
12
12
() ()
1
xx
fx fx f
xx
+
+=
+
10
( ) arctg2
x
fx
−
=
в обеих частях равенства при n → ∞:
Таким образом, получаем
Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать неравенство
2. Решить уравнение |x| + |x − 1| + |x − 2| − 2,5 = 0.
3. Решить неравенство |x + |1 − x| | > 3.
4. Решить неравенство
5. Пусть f(x) и g(x) − функции, определенные для положительных це-
лых чисел и связанные следующим образом:
и
Найти величину g(1).
6. Найти
7. Найти
8. Вычислить
9. Дана функция
ведливо тождество
10. Дана функция
, если
.
, если f(0) = 5, f(−1) = 10, f(1) = 6.
в точках, в которых
. Доказать, что ∀x1, x
.
(−1; 1) спра-
2
.
. Найти сумму f(0) + f(1) +…+ f(20).
11. Найти все функции f: [0; 1] → R, удовлетворяющие равенству
3f(2uv) + 4f(u2–v2) = 2uv при u2 + v2 = 1 и u, v > 0.
50