Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Конспект лекций
.pdf
72
Лекция № 14. Взаимное пересечение поверхностей вращения.
Метод секущих сфер
Основные вопросы, подлежащие рассмотрению на лекции:
1. Условия, допускающие использование метода секущих сфер.
2. Пересечение тора и наклонного цилиндра.
1. Условия, допускающие использование метода секущих сфер
Метод секущих сфер используется при построении линии пересечения
двух поверхностей вращения с пересекающимися осями и общей плоскостью
симметрии, параллельной одной из плоскостей проекций.
2. Пересечение тора и наклонного цилиндра
Пример: Построить линию пересечения двух поверхностей вращения
(закрытый тор и наклонный цилиндр).
Рис. 99
Оси заданных поверхностей пересекаются и принадлежат общей фронтальной плоскости симметрии. Линию пересечения строим способом секущих
73
сфер. Точку О пересечения осей заданных поверхностей примем за центр концентрических секущих вспомогательных сфер – посредников.
Точки пересечения фронтальных очерков поверхностей являются высшей
и низшей точками линии пересечения. Любая сфера – посредник пересекает тор
и цилиндр по параллелям (окружностям).
Из центра О проводят сферу, например, радиусом r, фронтальной проекцией сферы является окружность радиусом r. Вспомогательная секущая сфера
пересекает заданные поверхности по окружностям. Окружности во фронтальной проекции изображаются отрезками прямых – параллелями. Эти параллели
пересекаются в двух точках 3. Во фронтальной проекции это точка 32, меняя
радиус r вспомогательной секущей сферы, можно получить ряд точек линии
пересечения. Горизонтальные проекции точек линии пересечения определяют
на соответствующих параллелях тора.
Контрольные вопросы
1. Что получается с линией взаимного пересечения двух поверхностей враще-
ния, описанных вокруг общей для них сферы или вписанных в такую сферу?
2. В каких случаях возможно и целесообразно применение вспомогательных
секущих сфер?
Лекция № 15. Касательные линии и плоскости к поверхности
Основные вопросы, подлежащие рассмотрению на лекции:
1. Задание касательной плоскости к поверхности.
2. Построение касательной плоскости к сфере.
3. Построение касательной плоскости к наклонному цилиндру.
1. Задание касательной плоскости к поверхности
Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию.
Касательную плоскость в данной точке поверхности можно определить
как плоскость, образованную касательными к двум любым построенным на поверхности пересекающимся линиям в точке их пересечения.
74
Рис. 100
2. Построение касательной плоскости к сфере
На рис. 101. построена плоскость, касательная к сфере. Она перепендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. Поэтому, проведя радиусОА,
строим плоскость, задавая ее горизонталью h и фронталью f, перпендикулярными к ОА. Эти прямые h и f определяют плоскость, касательную к сфере в
точке А.
Рис. 101 Рис. 102
75
3. Построение касательной плоскости к наклонному цилиндру
На рис. 102 показано проведение плоскости, касательной к цилиндру.
Наклонный цилиндр поверхность линейчатая. Поэтому через точку С
можно провести образующую АВ, которая является одной из двух пересекающихся прямых, определяющих касательную плоскость.
В качестве второй прямой можно взять касательную ВF к окружности –
основанию цилиндрической поверхности.
Прямые АВ и ВF пересекаясь в точке В определяют искомую касательную плоскость.
Контрольные вопросы
1. Какая плоскость является касательной к поверхности?
2. Как задаѐтся плоскость касательная к поверхности?
3. Как построить касательную плоскость: а) к сфере, б) к наклонному цилиндру?
Лекция № 16. Развертки
Основные вопросы, подлежащие рассмотрению на лекции:
1. Построение разверток многогранников.
2. Построение разверток кривых поверхностей.
3. Неразвертываемые поверхности.
Развертки
Многие технические конструкции изготовлены из гнутого листового материала. Заготовки этих конструкций представляют собой их развертки.
1. Построение разверток многогранников
Разверткой многогранника называется плоская фигура, составленная из
граней многогранника.
Построение развертки сводится к построению граней многогранника в
натуральную величину.
Пример: Построить развертку пирамиды.
76
Рис. 103
Развертывание поверхности пирамиды можно производить по следующей схеме:
1. Определить длины ребер и сторон основания пирамиды.
2. Построить последовательно треугольники – грани пирамиды.
На рис.103 выполнено построение развертки пирамиды.
Найдена длина каждого из ребер, затем построен треугольник АоSоВо по
трем сторонам: основание АоВо взято равным горизонтальной проекции А1В1
(основание АВС║П1 следовательно на плоскость П1 проецируется без искажения), а боковые стороны взяты равными натуральным величинам ребер SА и
SВ, (т.е. отрезкам S2Ао и S2Во).
Аналогично построен второй треугольник ВоСоSо и третий СоАоSо. Четвертый треугольник АоВоСо – основание пирамиды равен горизонтальной проекции А1В1С1
На рис. 104 показано развертывание призматической поверхности.
Построение можно произвести по схеме:
1. Пересечь поверхность плоскостью, перпендикулярной ребрам (провести
нормальное сечение (1-2-3));
77
2. Определить длины отрезков ломаной линии, полученной при пересечении
поверхности призмы этой плоскостью;
3. Развернуть ломаную в прямую 1о-2о-3о-1о и на перпендикулярах, проведен-
ных в точках 1о, 2о, … к прямой 1о-2о-3о-1о отложить длины отрезков ребер
Ао1о = А111; А’о1о=А’111; Во2о=В121; В’о2о=В’121 и т.д.
4. Провести отрезки АоВо, ВоСо, СоАо, А’оВ’о, В’оС’о, С’оА’о.
5. Построить треугольники АоВоСо и А’оВ’оС’о оснований.
2. Построение разверток кривых поверхностей
78
На рис.105 изображена развертка поверхности прямого кругового цилиндра с плоским срезом по эллипсу. В основе лежит основание цилиндра –
окружность, которая развернута в прямую. Эта прямая разделена на 12 равных
частей, соответствующая делению окружности. На каждом делении откладывается соответствующая длина образующей.
На рис.106 показана развертка прямого кругового конуса.
Рис. 106
Развертка прямого кругового конуса представляет собой сектор круга, радиус которого равен длине образующей конуса (рис.106).
Центральный угол сектора = 360о х r/l
3. Неразвертываемые поверхности
Сфера, торсовые поверхности являются неразвертываемыми. На эти поверхности строят условные развертки.
Контрольные вопросы
1. Что называется развѐрткой многогранника?
2. Как построить развѐртку пирамиды?
3. Чем является развѐртка прямого кругового цилиндра?
4. Чем является развѐртка прямого кругового конуса?
79
5. Какие поверхности относятся к неразвѐртываемым? Какие развѐртки строят
на эти поверхности?
Лекция № 17. Аксонометрические проекции
Основные вопросы, подлежащие рассмотрению на лекции:
1. Общие сведения.
2. Прямоугольная изометрическая проекция.
3. Прямоугольная диметрическая проекция.
1. Общие сведения
Ортогоеальный чертеж не дает полной наглядности предмета. Для построения более наглядных изображений применяют проекции, называемые аксонометриическими.
Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что предмет
вместе с осями прямоугольных координат параллельно проецируется на некоторую плоскость.
Аксонометрия дает наглядное изображение предмета и одновременно является обратимым чертежом, т.е. по такому чертежу легко представить форму,
размеры и положение предмета в пространстве.
Аксонометрия бывает прямоугольной и косоугольной, в зависимости от
того, как мы проецируем предмет на плоскость – под углом = 90о или /=90о.
Виды аксонометрии: изометрия, диметрия, триметрия.
2. Прямоугольная изометрическая проекция
Основная формула прямоугольной аксонометрии u2 + v2 + w2 = 2
u, v, w – показатели искажения по осям x, y, z.
Для изометрии u = v = w и α = β = γ = 120o
α, β, γ – углы между осями x, y, z;
u = v = w = √2/3 = 0,82, т.е. в масштабе М 1:1 показатели искажения по осям 0,82.
На практике для упрощения построения берут масштаб М = 1,22:1, тогда
u = v = w = 1, т.е. размеры по осям x, y, z откладывают без искажения.
80
Окружности на аксонометрических проекциях изображаются в виде эллипсов. Большая ось эллипса перпендикулярна свободной оси аксонометрии, не
лежащей в плоскости окружности, а малая ось перпендикулярна большой оси.
Сопряженные диаметры выбирают параллельными осям той плоскости, в которой лежит окружность.
На рис.107 показано построение окружности диаметром D, вписанной в
грани куба, в трех плоскостях изометрии.
Большая ось эллипса = 1,22 D.
Малая ось эллипса = 0,71 D.
Сопряженные диаметры = D.
Сопряженные диаметры – диаметры окружностей, параллельные осям.
Рис. 107
81
3. Прямоугольная диметрическая проекция
В прямоугольной диметрии коэффициенты искажения:
u = ω = 0,94; v = 0,47
u, v, ω – показатели искажения по осям х, у, z.
Приведенные коэффициенты искажения:
u = ω = 1; v = 0,5
В прямоугольной диметрии ось z располагается вертиально, ось х составляет с горизонтальной линией угол 7º 10’, ось y – угол 41º 25’.
При построении аксонометрических осей х и у можно не измерять углы, а
воспользоваться соотношением катетов прямоугольных треугольников, гипотенузы которых указывают направление осей (рис. 108).
tg 7º 10’ = 1/8; tg 41º 25’ = 7/8
На рис. 109 показано построение окружности диаметром D, вписанной в
грани куба, в диметрической проекции.
В диметрии, так же как в изометрии, малые оси эллипсов имеют направления аксонометрических осей, а большие – перпендикулярны осям.
Большая ось эллипса = 1,06 D.
Малая ось эллипса в плоскостях xoy и yoz = 0,35 D.
Малая ось эллипса в плоскости xoz = 0,95 D.
Диаметры окружности, параллельные осям, являются сопряженными
диаметрами эллипсов.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]