Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Конспект лекций
.pdf
22
4. Взаимное положение прямых
Рис.19
М – общая точка для прямых а и
в и еѐ проекции М2 и М1 лежат
на одной линии связи.
М = а ∩ в
Рис.20
( а || в ) => ( a1 || b1, a2 || b2 )
Если прямые параллельны, то
параллельны и их проекции.
Две прямые, занимая различные положения одна по отношению к другой,
могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
Пересекающиеся прямые – это прямые, принадлежащие одной плоско-
сти и имеющие одну общую точку (рис.19).
Параллельные прямые – это прямые, принадлежащие одной плоскости
и не имеющие общих точек (рис.20).
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не принадлежащие одной
плоскости и не имеющие общих точек (рис.21).
23
Рис.21
а в (скрещивающиеся)
Точки 1 и 2 – конкурирующие
относительно плоскости П2.
Точка 1 ближе к наблюдателю,
поэтому она видима, а точка 2
невидима на плоскости П2.
Точки 3 и 4 – конкурирующие
относительно плоскости П1.
Точка 3 ближе к наблюдателю,
поэтому она видима, а точка 4
невидима на плоскости П1.
5. Определение длины отрезка прямой и углов наклона его к
Рис. 22
( АС ) || ( A1B1 )
∆ АВС – прямоугольный, следовательно, для того чтобы
определить величину отрезка
[АВ] надо построить прямоугольный ∆ АВС.
| AC | = | A1B1 |
| BC | = | BB1 | - | CB1 |
| BB1 | = ZB
| CB1 | = | AA1 | = ZA
| BC | = ∆ Z
плоскостям проекций
сматривая фронтальную плоскость проекций.
строить прямоугольный треугольник, одним катетом которого должен быть отрезок, равный по величине горизонтальной (фронтальной) проекции отрезка, а
второй катет – отрезок, равный по величине разности координат по оси Z (Y)
Таким же образом можно получить натуральную величину отрезка, рас-
В общем случае для определения длины отрезка прямой необходимо по-
24
крайних точек этого отрезка. Гипотенуза построенного прямоугольного тре-
Рис. 23
α – угол наклона отрезка
АВ к плоскости П1.
β – угол наклона отрезка
АВ к плоскости П2.
Гипотенуза прямоугольных треугольников – одна и та же натуральная величина отрезка АВ.
угольника определяет длину отрезка прямой.
Если при построении за один из катетов треугольника выбран отрезок,
равный по величине горизонтальной проекции отрезка, то угол между этим катетом и гипотенузой определяет величину α наклона прямой к плоскости П1.
Если при построении за один из катетов треугольника выбран отрезок,
равный по величине фронтальной проекции отрезка, то угол между этим катетом и гипотенузой определяет величину β наклона прямой к плоскости П2.
Пример: определить натуральную величину отрезка АВ
6. Деление отрезка прямой в заданном отношении
Если точка принадлежит отрезку прямой, то она делит этот отрезок в ка-
ком-либо определенном отношении. Такое деление называется внутренним.
Если точка лежит не на отрезке, а на его продолжении, то она также делит отрезок в отношении. Такое деление называется внешним.
Пример: Отрезок АВ разделить точкой С в отношении AC/CB = 2/3
25
Рис. 24
Из точки А проведем в
произвольном направлении
вспомогательную прямую и на
ней отложим 2 + 3 = 5 равных
отрезков любой длины. Точки 5
и В соединим прямой линией.
Через точку 2 проведем прямую
параллельную В15; в пересечении этой прямой с отрезком А1В1
получим искомую точку С1. Отрезку А1С1 соответствует два отрезка. Отрезку С1В1 – три таких
отрезка. Точка С делит отрезок
АВ в заданном отношении.
Контрольные вопросы
1. При каком положении относительно плоскостей проекций прямая называется
прямой общего положения?
2. Какие положения прямой называются «частными»?
3. Что называется следом прямой линии?
4. Какая координата равна нулю: а) для горизонтального следа; б) для фрон-
тального следа; в) для профильного следа.
5. Как определить натуральную величину отрезка и углы наклона к плоскостям
проекций методом прямоугольного треугольника?
6. Как разделить на чертеже отрезок прямой линии в заданном отношении?
Лекция № 4. Задание плоскости на комплексном чертеже.
Плоскости частного и общего положения. Следы плоскости
Основные вопросы, подлежащие рассмотрению на лекции:
1. Способы задания плоскости на комплексном чертеже.
2. Плоскости общего положения. Следы плоскости.
3. Плоскости частного положения.
26
1. Способы задания плоскости на комплексном чертеже
Рис. 25
Рис. 26
Рис. 27
Рис. 28
На чертеже плоскость задается проекциями своих геометрических элементов.
Плоскость может быть задана:
1. Проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис.25).
2. Проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис.26).
3. Проекциями двух пересекающихся прямых (рис.27).
4. Проекциями двух параллельных прямых (рис.28).
Все представленные способы заданий плоскости могут быть преобразо-
ваны из одного в другое.
Плоскость может быть задана на чертеже и проекциями любой плоской
фигуры (треугольника, квадрата, круга и т.п.).
2. Следы плоскости
На рис. 29 изображена плоскость общего положения.
27
Плоскостью общего положения называется плоскость, наклоненная ко
Рис. 31
Рис. 32
Рис. 33
всем трем плоскостям проекций.
У плоскости общего положения три линии пересечения с плоскостями
проекций – три следа:
Σ П1 – горизонтальный след.
Σ П2 – фронтальный след.
Σ П3 – профильный след.
Точки пересечения следов плоскости с осями Х, Y, Z называются точками
схода следов – ΣX, ΣY, ΣZ. Следами можно задать плоскость на чертеже (рис.30).
3. Плоскости частного положения
Плоскости параллельные или перпендикулярные как минимум одной из
плоскостей проекции называют плоскостями частного положения.
Плоскости уровня – это плоскости, параллельные одной из плоскостей
проекций и перпендикулярные к двум другим, на которых данные плоскости
уровня изображаются в виде прямых линий.
Проецирующие плоскости – это плоскости, перпендикулярные к одной
из плоскостей проекций, на которой они изображаются в виде прямой линии.
Горизонтальная плоскость уровня.
28
На рис. 32 дан пример горизонтальной плоскости, заданной фронтальным
Рис. 34
Рис. 35
Рис. 36
следом.
На рис. 33 горизонтальная плоскость задана проекциями треугольника.
АВС ║ П1, АВС П2, АВС П
3
А2В2С2 ║ Х. А1В1С1 – натуральная величина треугольника АВС.
Фронтальная плоскость уровня.
На рис. 35 дан пример фронтальной плоскости, заданной горизонтальным следом.
На рис. 36 горизонтальная плоскость задана проекциями треугольника.
АВС ║ П2, АВС П1, АВС П3
А1В1С1 ║ X. А2В2С2 – натуральная величина треугольника АВС
Профильная плоскость уровня.
На рис. 38 дан пример профильной плоскости, заданной горизонтальным
и фронтальным следами.
На рис. 39 профильная плоскость задана проекциями треугольника.
29
АВС ║ П3, АВС П1, АВС П2
Рис. 40
Рис. 41
Рис. 42
Рис. 43
Рис. 44
Рис. 45
А1В1С1 ║ X, А2В2С2 ║ X, А3В3С3 – натуральная величина треугольника АВС.
Горизонтально-проецирующая плоскость
На рис. 41 дан пример горизонтально-проецирующей плоскости, задан-
ной горизонтальным и фронтальным следами.
На рис. 42 горизонтально-проецирующая плоскость задана проекциями
треугольника.
АВС П
1
А1В1С1 ^ X = АВС ^ П2 = β – угол наклона плоскости АВС к плоскости П2.
Фронтально-проецирующая плоскость
На рис. 44 дан пример фронтально-проецирующей плоскости, заданной
горизонтальным и фронтальным следами.
угольника.
А2В2С2 ^ X = АВС ^ П1 = α – угол наклона плоскости АВС к плоскости П1.
На рис. 45 фронтально-проецирующая плоскость задана проекциями тре-
АВС П
2
30
Профильно-проецирующая плоскость
Рис. 46
Рис. 47
Рис. 48
На рис. 47 дан пример профильно-проецирующей плоскости, заданной
следами.
На рис. 48 профильно-проецирующая плоскость задана проекциями тре-
угольника.
АВС П
3
А3В3С3 ^ Y = АВС ^ П1 = α – угол наклона плоскости АВС к плоскости П1
А3В3С3 ^ Z = АВС ^ П2 = β – угол наклона плоскости АВС к плоскости П2
Контрольные вопросы
1. Какие положения относительно друг друга могут занимать две прямые?
2. Как по чертежу двух прямых определить их положение в пространстве от-
носительно друг друга?
3. Как задается плоскость на чертеже?
4. Что такое след плоскости?
5. При каком положении относительно плоскостей проекций плоскость назы-
вается плоскостью общего положения?
6. Какие плоскости называют плоскостями уровня?
7. Какие плоскости называют проецирующими?
31
Лекция № 5. Принадлежность точки и линии плоскости.
Рис. 49
Дано:
Σ (АВС)
m Σ, m (m2)
D Є Σ, D (N2)
Построить:
m1, D1
Главные линии плоскости
Основные вопросы, подлежащие рассмотрению на лекции:
1. Принадлежность точки и линии плоскости.
2. Главные линии плоскости.
3. Определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций.
1. Принадлежность точки и линии плоскости
Построение на чертеже точки и прямой, принадлежащих плоскости, ос-
новано на двух положениях:
1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
принадлежащие этой плоскости.
2. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, при-
последовательности графические операции, которые указываются в виде словесного описания или с использованием символики. Такое описание хода решения задачи называют алгоритмом решения задачи.
надлежащей этой плоскости.
Все задачи начертательной геометрии решают, выполняя в определенной
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]