Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Конспект лекций
.pdf
32
Находим m1 алгоритм решения:
12 ^ 22 Є m2
12 ^ 22 Є Σ2
11 ^ 21 Є Σ1
11 ^ 21 Є m1
Находим D1; алгоритм решения:
D Є Σ => D2 Є n2
n1 Є Σ1
D1 = n1 ∩ D1D2
2. Главные линии плоскости
К главным линиям плоскости относятся линии, занимающие особое по-
ложение по отношению к плоскостям проекций.
Горизонталь – h – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная
горизонтальной плоскости проекций П1.
Фронталь – f – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная
фронтальной плоскости проекций П2.
Профильная прямая – р – это прямая, принадлежащая плоскости и па-
раллельная профильной плоскости проекций П3.
Линия наибольшего ската – л.н.с. – это линия наибольшего наклона
плоскости к плоскости проекций П1.
Горизонталь h: h2 ║ X – по определению.
33
h1 и h3 – строятся по принадлежности плоскости
АВС.
Фронталь f: f1 ║ X – по определению.
f2 и f3 – строятся по принадлежности плоскости
АВС.
Профильная прямая р: р1 Х, р2 Х – по определению.
р3 – строится по принадлежности плоскости АВС.
3. Определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций
Линия наибольшего ската – л.н.с. – на горизонтальной плоскости проек-
ций перпендикулярна горизонтали и служит для определения угла наклона
плоскости к плоскости проекций П1.
Для определения угла наклона плоскости к плоскости П2 проводится ли-
ния наибольшего наклона, перпендикулярная фронтали на фронтальной плоскости проекций.
Для определения угла наклона плоскости к плоскости П3 проводится ли-
ния наибольшего наклона, перпендикулярная профильной прямой на профильной плоскости проекций.
Определить натуральную величину углов наклона плоскостей к плоско-
стям проекций можно методом прямоугольного треугольника.
Контрольные вопросы
1. Как определить на чертеже, принадлежит ли прямая данной плоскости?
2. Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости?
3. Какие линии называют главными линиями плоскости?
4. По каким линиям можно определить углы наклона плоскости к плоскостям проекций?
34
Лекция № 6. Метрические задачи. Перпендикулярность и
Рис. 51
Дано:
Σ (А = В ∩ С)
К ( К1, К2 )
Построить:
m ( m1, m2 ) ║ Σ
Алгоритм решения:
1. m Є Σ
2. n ║ m => ( n1 ║ m1 ^ n2 ║ m2 )
3. n ║Σ
параллельность прямой и плоскости.
Перпендикулярность и параллельность плоскостей
Основные вопросы, подлежащие рассмотрению на лекции:
1. Параллельность прямой с плоскостью.
2. Параллельность плоскостей.
3. Перпендикулярность прямой и плоскости.
4. Перпендикулярность плоскостей.
Метрические задачи
Метрическими называются задачи на определение длин линий, размеров,
углов, площадей.
1. Параллельность прямой с плоскостью
Если плоскость содержит в себе хотя бы одну прямую, параллельную
данной, то такая прямая параллельна этой плоскости.
Пример: Через точку К провести прямую, параллельную плоскости Σ
35
2. Параллельность плоскостей
Рис. 52
Дано:
Σ (А = В ∩ С)
К ( К1, К2 )
Построить:
║ Σ
K Є
Алгоритм решения:
1. (m1 ║ b1 ^ m2 ║ b2) => m ║ b
2. (n1 ║ C1 ^ n2 ║ C2) => n ║ C
3. (m ║ b ^ n ║ C) => γ ║ Σ
Если две пересекающиеся прямые, принадлежащие одной плоскости, со-
ответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то
такие плоскости параллельны.
Пример: Через точку К провести плоскость параллельно заданной плоскости.
3. Перпендикулярность прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принад-
лежащим плоскости, то такая прямая перпендикулярна этой плоскости. Из
множества прямых выбираются горизонталь и фронталь, принадлежащие плоскости.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то на чертеже еѐ горизонталь-
ная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.
36
Пример: Построить прямую, перпендикулярную заданной плоскости.
1 вариант:
Дано:
Σ (АВС) К ( К1, К2 )
Построить:
Σ К ∩
Алгоритм решения:
1. (m2 f2 ^ m1 h1)
=> m γ, m Э К
2. n – произвольно.
3. (К = m ∩ n ) Σ
т.к. γ Э m ^ m Σ
4. Перпендикулярность плоскостей
Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую,
перпендикулярную второй плоскости.
Возможны два варианта построения перпендикулярных друг другу плоскостей:
1. Плоскость проводится, через прямую, перпендикулярную к плоскости Σ.
2. Плоскость проводится перпендикулярно прямой, лежащей в плоскости Σ.
Пример: Через точку К провести плоскость перпендикулярно заданной.
37
2 вариант:
Рис. 54
Алгоритм решения:
1. (h1 В1С1 ^ f2
B2C2) =>
(h BC ^ f BC) =>
BC (h ∩ f = K)
1. Как установить взаимное положение прямой и плоскости?
2. Какое взаимное положение могут занимать две плоскости?
3. Каков признак параллельности двух плоскостей?
4. Как построить прямую, параллельную заданной плоскости?
5. Как построить плоскость, параллельную заданной плоскости?
6. Каков признак перпендикулярности прямой и плоскости?
7. Как построить прямую, перпендикулярную плоскости?
8. Каков признак перпендикулярности двух плоскостей?
9. Как построить плоскость, перпендикулярную заданной плоскости?
Лекция № 7. Позиционные задачи. Взаимное пересечение
прямой с плоскостью, пересечение плоскостей
Основные вопросы, подлежащие рассмотрению на лекции:
1. Свойства проецирующих плоскостей.
2. Построение проецирующей плоскости через прямую линию.
3. Общий случай пересечения прямой с плоскостью.
4. Общий случай пересечения плоскостей.
Контрольные вопросы
38
1. Свойства проецирующих плоскостей
Рис. 56
К = АВ ∩ Г
К Є АВ, К Є Г
Проецирующие плоскости имеют свойство, заключающееся в том, что
любой геометрический образ, расположенный в этой плоскости, имеет одну из
своих проекций в виде прямой, совпадающей со следом этой плоскости.
Рис. 55
Это свойство проецирующих плоскостей позволяет легко решать задачи
на построение точек пересечения прямой с проецирующей плоскостью и линии
пересечения плоскости общего положения с проецирующей плоскостью.
Пример: Определить точку пересечения прямой АВ с горизонтально-
проецирующей плоскостью.
39
То же можно сказать и о плоскостях уровня, так как они, являясь парал-
Рис. 57
К = Г ∩ m
К Є Г, К Є m
Рис. 58
Дано:
Σ (АВС) П
1
a (а1,а2)
Построить:
M = Σ ∩ a
Алгоритм решения:
M Є Σ
M Є a
M = Σ ∩ a
лельными какой-либо плоскости проекции, в то же время перпендикулярны
двум другим плоскостям.
Пример: Определить точку пересечения прямой a и плоскости Σ (АВС).
Пример: Построить линию пересечения двух плоскостей, одна из кото-
рых – проецирующая.
40
Дано:
Ф (АВС), Σ П2
Построить:
a = Ф ∩ Σ
Алгоритм решения:
a Є Σ, a Є Ф
a2 Є Σ2, а2 = Σ2
а1 Є Ф
1
2. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
При решении задач часто приходится проводить проецирующую плос-
кость через прямую линию. Через прямую общего положения можно провести
любую из таких плоскостей. На рисунке 60 через прямую АВ проведена:
1. Горизонтально-проецирующая плоскость, выраженная еѐ горизонтальной проекцией Г1.
2. Фронтально-проецирующая плоскость, выраженная еѐ фронтальной проекцией Ф2.
Но через прямую общего положения нельзя провести ни фронтальную, ни
горизонтальную плоскость. Такие плоскости можно проводить лишь через соответственно расположенные прямые: через горизонтальную прямую – горизонтальную плоскость; через фронтальную прямую – фронтальную плоскость.
Рис. 60
41
Позиционные задачи
Рис. 61
Дано:
α (АВС), τ (τ1, τ2)
Построить:
М = α ∩ τ
3. Общий случай пересечения прямой с плоскостью
Пример: Построить точку пересечения прямой с плоскостью.
Алгоритм решения:
1. Заключаем прямую τ во вспомогательную плоскость Г.
2. Находим пересечение вспомогательной проецирующей плоскости с заданной
3. На пересечении полученной прямой (1 – 2) с заданной прямой τ нахо-
дим искомую точку М.
4. Видимость прямой по отношению к плоскости определяется методом
конкурирующих точек.
Линию пересечения двух плоскостей можно определить по двум их об-
τ Э Г, Г П1, Г1 = τ
1
(1 – 2) = Г ∩ α
М = (1 – 2) ∩ τ
4. Общий случай пересечения двух плоскостей
щим точкам.
Для этого определяют точки пересечения любых двух прямых одной
плоскости с другой плоскостью.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]