Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Конспект лекций
.pdf
52
Лекция № 10. Многогранники. Задание многогранников
на комплексном чертеже. Пересечение геометрических образов
Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:
1. Многогранники. Общие сведения.
2. Принадлежность точки и линии гранной поверхности.
3. Пересечение геометрических образов.
3.1. Пересечение проецирующей прямой и многогранника.
3.2. Пересечение плоскости и многогранника.
3.3. Пересечение прямой общего положения с многогранником.
3.4. Пересечение двух многогранников.
1. Многогранники. Общие сведения
Гранная поверхность – это результат движения прямой образующей по
ломанной линии – направляющей. Тело, ограниченное замкнутой гранной поверхностью и основаниями в виде плоских многоугольников называется многогранником.
Призма – результат движения образующей, движущейся параллельно ка-
кому-то направлению по замкнутой ломанной направляющей (рис. 74).
Пирамида – результат движения образующей, проходящей постоянно
через вершину S по замкнутой ломанной направляющей (рис. 75).
Основные элементы многогранников – вершина, ребра, грани, основания.
На чертеже многогранник изображается проекциями своих вершин и ребер с учетом их видимости относительно плоскостей проекций. Видимость ребер определяется по конкурирующим точкам. Контурные ребра всегда видимы.
2. Принадлежность точки и линии гранной поверхности
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии этой поверхности. В качестве линий используются главные линии гранной поверхности. Это прямые, параллельные основанию и ребрам для призмы; прямые параллельные основанию и прямые соединяющие вершину с основанием для пирамиды (рис. 75).
53
Рис. 74 Рис. 75
Пример: поверхность пирамиды.
Построить: k2; m2.
Алгоритм решения:
Находим k2.
1. S1 1
K1
1
2. 12 (A2 E2) 11 (А1 Е1)
3. S2 12 (A2 S2 E2)
4. K
2
S2 12
Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат поверхности. Если надо построить недостающую проекцию прямой, то необходимо
определить две точки, принадлежещие поверхности. Их обычно находят на пересечении данной прямой с ребрами. Находим m2.
Алгоритм решения:
1) 21 = m1 (A1 S1); 31 = m1 (B1 S1);
2) 22 (A2 S2); 32 (B2S2); m2 = (22-32).
54
3. Пересечение геометрических образов
Дано:
λ (λ1, λ2)
а
П
2
Построить:
M и N = λ a
Алгоритм решения:
1. a
П
2
a2 =M2=N2
2. M2 S2 12;
N
2
S2 22.
3. M1= a
1
S1 11;
N1 = a1 S1 21.
.
В результате пересечения геометрических образов получаются общие
элементы принадлежащие обоим геометрическим образам (при пересечении
многогранника с прямой – точки; при пересечении многогранника с плоскостью – ломаные линии).
Задачи на пересечение геометрических образов облегчаются в решении,
если хотя бы один из них занимает проецирующее положение.
3.1. Пересечение проецирующей прямой и многогранника
Пример: Найти точки пересечения прямой a с поверхностью наклонной
пирамиды.
55
3.2. Пересечение плоскости и многогранника
Дано:
λ (λ1 λ
2
)
∑ (∑2)
Построить:
(1-2-3) = λ ∑
Алгоритм решения:
1. ∑П
2
(12-22-32)= ∑2
2. 1
2
A2S
2
1
1
A1S
1
2
2
B2S
2
2
2
B2S
2
3
2
C2S
2
3
1
C1S1
3.Натуральную величину линии пересечения
(1-2-3) находим методом
вращени развернув вырожденную фронтальную проекцию линии
пересечения.(1
1
2
-2
1
2
-3
1
2
)║Х;
(1
1
1
-2
1
1
-3
1
1
)=(1-2-3)-
натуральная величина
линии пересечения.
Пример: Построить линию пересечения плоскости с поверхностью пира-
миды и определить ее натуральную величину.
56
3.3. Пересечение прямой общего положения с многогранником
Рис. 78
Дано:
λ (λ1, λ2)
(
1
,
2
)
Построить:
M и N = λ
Алгоритм решения:
.1.Через заданную прямую проводим вспомогательную проецирующую плоскость.
2
=
2
, П2
2.Строим линию пересечения
плоскости с поверхностью пирамиды:
(12-22-32) =
2
1
2
A2S
2
1
1
A1S1
2
2
B2S
2
2
1
B1S1
3
2
C2S
2
3
1
C1S1
3.На пересечении построенной
линии (11-21-31) с заданной
прямой определяем искомые точки.
4.Определяем видимость прямой
по отношению к поверхности
пирамиды, методом конкурирующих точек.
Пример: найти точки пересечения прямой l с поверхностью пирамиды.
57
3.4. Пересечение двух многогранников
Рис. 79
Дано:
λ, ;
П2
Построить:
λ
= ?
Алгоритм решения:
1. Результатом пересечения будет про-
странственная ломаная линия, которая
строится по точкам.
П
2
(12-22-32-42-52-62)
^ (72-82-92-102) =
2
2. Для построения горизонтальных
проекций точек, принадлежащих линии пересечения проводим вспомогательные секущие плоскости, параллельные основаниию пирамиды.
Г║П
1
Г2 = (12-22-32-82-72)
∑║П
1
∑2=(42-52-62-92-102)
3. Горизонтальные проекции искомой
линии пересечения (11-21-31-41-51-61) и
(71-81-91-101) лежат на горизонтальных
линиях пересечения пирамиды и
вспомогателных плоскостей.
Лекция № 11. Кривые линии. Кривые поверхности.
Линейчатые поверхности. Поверхности вращения
Основные вопросы, подлежащие рассмотрению на лекции:
1. Плоские и пространственные кривые линии.
2. Цилиндрическая винтовая линия.
3. Линейчатые поверхности.
4. Поверхности вращения.
5. Принадлежность точки и линии кривой поверхности.
58
1-2. Кривые линии. Цилиндрическая винтовая линия
Рис. 80
Цилиндрическая винтовая ли-
ния представляет собой траекторию
движения точки, равномерно перемещающейся вдоль образующей
цилиндра, которая в свою очередь
равномерно вращается вокруг оси
цилиндра.
Цилиндрические винтовые
линии одинакового уклона называются гелисами. На чертеже гелиса
задается диаметром, шагом и
направлением (ходом). Правым ходом считается движение по часовой
стрелке (см. в торец цилиндра); левым ходом – против часовой стрелки.
3. Кривые поверхности. Линейчатые поверхности
ность всех последовательных положений движущейся в пространстве линии.
Линия, которая при своем движении образует поверхность, называется образующей. Линии, в которые опираются образующие при своем движении, называются направляющими.
линейчатыми. К ним относятся цилиндрические и конические поверхности.
разующей по криволинейной направляющей; при этом образующая в каждом
своем положении параллельна заданному направлению. Если в качестве
направляющей служит окружность, то получается цилиндр (рис. 82).
Поверхность в начертательной геометрии рассматривается как совокуп-
Поверхности, у которых образующей является прямая линия, называется
Цилиндрическая поверхность образована движением прямолинейной об-
Коническая поверхность образована движением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей; при этом образующая во всех своих
59
положениях проходит через некоторую точку, называемую вершиной конической поверхности. Если при этом в качестве направляющей служит окружность
и поверхность ограничена плоским основанием, совпадающим с направляющей, то получим конус (рис. 81).
4. Поверхности вращения
Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением линии вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. На чертеже
поверхность изображается своим очерком. Очерк – это граница изображения.
Прямые цилиндр и конус можно классифицировать как поверхности вращения.
Конус прямой (рис. 81) – результат вращения прямой а вокруг оси i, причем
a ∩ i = S.
Цилиндр прямой (рис.82) – результат вращения прямой τ вокруг оси i, причем
τ || i.
Сфера – результат вращения окружности вокруг оси, причем ось проходит через центр окружности.
Тор – результат вращения окружности m или еѐ дуги вокруг оси i, причем m и i
лежат в одной плоскости и ось i не проходит через центр окружности.
Если К > r то открытый тор.
Если К ≤ r то закрытый тор.
5. Принадлежность точки и линии кривой поверхности
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии этой поверхности. Для построения точки на поверхности используют главные линии
кривых поверхностей.
Такими линиями являются:
1. Для цилиндра и конуса – образующие прямые и окружности, лежащие
в плоскостях, параллельных плоскостям проекций.
2. Для сферы – окружности, расположенные на сфере и лежащие в плос-
костях, параллельных плоскостям проекций.
60
3. Для тора – окружности - образующие и окружности, расположенные в
Рис. 81
m1 – горизонтальный очерк конуса.
а2 и в2 – фронтальные очерковые
образующие.
S – вершина конуса.
L – ось вращения.
плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Линия принадлежит поверхности, если все еѐ точки принадлежат этой
поверхности.
Для построения линии на поверхности необходимо наметить несколько
точек на заданной линии, найти их проекции, а затем соединить проекции этих
точек с учѐтом их видимости.
Намечаемые точки:
точки на контурных линиях;
точки на линиях оснований;
точки начала и конца заданной линии;
точки с наименьшей и наибольшей высотой, глубиной, шириной;
промежуточные точки.
Конус прямой
61
Цилиндр прямой
Рис. 82
i – ось вращения.
τ – образующая.
Цилиндр наклонный
Рис. 83
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]