Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия и инженерная графика. Ч.1. Начертательная геометрия. Курс лекций по направлениям подготовки 23.03.01 «Технология транспортных
.pdf
Решение данной задачи заключается в нахождении точек встречи ребер
многогранника с поверхностью конуса. Для этого в качестве плоскостипосредника целесообразно использовать плоскость уровня а.
Определение точек излома. Здесь следует отметить, что точку встречи
ребра т с поверхностью конуса можно определить как общую точку двух
пересекающихся прямых, т.е. ребра т
и образующей р(m2∩p2)=l2→l1, l3.
Для получения других точек излома воспользуемся плоскостью-посредником α, которую проведем через грань, образованную ребрами k и п.
Линией сечения конуса будет окружность радиуса r. Точки пересечения 4
и 5 этой окружности и ребер k и п являются точками излома линии пересечения поверхностей λ и μ, т.е. k
1∩b1=51
→52 и n1∩b1=41→42.
Определение точек дуг. Здесь следует обратить внимание на то, что дуга между точками излома 4 и 5 на плоскости проекций совпадет с линией
сечения конуса с плоскостью-посредником а, т.к. плоскость а≡(k∩n).
Положения промежуточных точек для других дуг, например, 2 и 3, определяются как точки пересечения линий сечений поверхностей
стью-посредником а
*
.
плоско-
После определения необходимого количества точек наносят линию пересечения поверхностей с учетом ее видимости. Для нанесения дуг целесообразно использовать лекало. Видимость линии пересечения определяется
с помощью конкурирующих точек.
8.4. Пересечение двух поверхностей второго порядка
В случае пересечения двух кривых поверхностей второго порядка образуется пространственная кривая четвертого порядка.
Для построения линии пересечения поверхностей следует найти достаточное количество точек, в том числе характерных – высшую и низшую на
очерковых образующих. Определение положения точек может быть достигнуто двумя способами: способом вспомогательных плоскостей и способом вспомогательных
тельные плоскости пересекают поверхности по графически простым линиям, например, окружностям. Использование этого способа характерно для
тел, оси вращения которых параллельны или пересекаются (скрещиваются)
под прямым углом. Второй способ применяют, когда оси вращения тел пересекаются не под прямым углом.
Способ вспомогательных плоскостей (рис. 98).
сти-посредника целесообразно использовать горизонтальную плоскость
уровня α, т.к. она рассекает обе поверхности по окружности.
сфер. Первый способ применяют, если вспомога-
В качестве плоско-
81
Рис. 98
Методика определения точек линии пересечения поверхностей аналогична методике, приведенной выше (см. пересечение многогранника с поверхностью второго рода).
При построении линии пересечения (рис. 98) опорными точками являются:
– точки 1 и 2 как точки пересечения фронтальной очерковой конуса с
главным меридианом сферы;
– точки 3 и 4 как точки пересечения экватора сферы с конусом (точки
смены видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций).
А промежуточными точками были выбраны точки 5, 6, 7 и 8.
По этим точкам, с учетом видимости, строится линия пересечения конуса и сферы:
82
– на фронтальной проекции видна ближняя часть кривой (1
не видна дальняя (1
2-32-52-22
);
2-42-62-22
) и
– кривая пересечения поверхностей на фронтальной проекции симмет-
рична, значит (1
2-42-62-22
– на горизонтальной проекции видна часть кривой (3
положенная выше экватора сферы, а часть кривой (3
) ≡ (12-32-52 -22);
1-72-11-81-41
1-52-21-61-41
), рас-
), располо-
женная ниже экватора сферы.
Способ вспомогательных сфер. Способ секущих сфер основан на том, что сфера с центром на оси тела вращения пересекает это тело по окружностям (теорема
Монжа). Геометрическая интерпретация
этого положения показана на примере пересечения конуса и сферы (рис. 99). Здесь
линии пересечения m и
n являются окруж-
ностями.
Способ вспомогательных сфер применяется для построения линии пересечения
поверхностей тел вращения, имеющих пересекающиеся оси. Кроме того, оси этих
тел параллельны одной из плоскостей проекций т.е. образуют плоскость уровня.
Рассмотрим построение линии пересечения на примере конуса и цилиндра (рис.
100).
Выберем центр вспомогательных
в точке пересечения осей заданных поверх-
сфер
Рис. 99
ностей (точка О).
Опорные точки 1 и 2 на очерковых образующих, расположенные в од-
ной плоскости, определяются непосредственно. Линия пересечения заключается между этими точками. Одна из них определяет максимальный радиус вспомогательных сфер R
проекция от точки пересечения осей О
= O212 (наиболее удаленная фронтальная
max
). Минимальный радиус R
2
берет-
min
ся наибольшим радиусом сферы, которую можно вписать в одну из заданных поверхностей, при этом пересекая другую поверхность.
Для построения промежуточных точек проводят несколько вспомогательных сфер (R
min
<R<R
). Эти сферы пересекают заданные поверхности
max
по окружностям b и п. Окружности b и п, пересекаясь, дают дополнительные точки линии пересечения 3 и 4, проекции которых определяются вначале на π
(b2∩п2=32 и b2∩п2=42), а затем на плоскости π1 как точки окруж-
2
ностей радиусами r.
Полученные точки (опорные и промежуточные) последовательно соединяют на фронтальной и горизонтальной проекциях.
83
На фронтальной проекции видна ближняя часть кривой (1
видна дальняя (1
значит (1
вой (... -3
2-42-22
1-11-41
)≡(12-32-22). На горизонтальной проекции видна часть кри-
2-32-22
– ...), проекции точек которой расположены выше фрон-
). Кривая пересечения поверхностей симметрична,
2-42-22
) и не
тальной проекции оси симметрии наклонного цилиндра. В этом случае
границей видимости линии пересечения на горизонтальной проекции служат точки на горизонтальных проекциях очерковых образующих наклонного цилиндра.
Рис. 100
84
8.5. Контрольные вопросы
1. Как строят линию пересечения двух поверхностей?
2. Какова типа линия пересечения двух многогранников?
3. Расскажите алгоритм определения линии пересечения двух много-
гранников.
4. В чём сущность способа вспомогательных секущих плоскостей при
построении линии пересечения двух поверхностей?
5. Каков алгоритм решения задач на определение линии пересечения
многогранника с телом вращения?
6. Каков принцип построения
вращения, оси которых параллельны или пересекаются (скрещиваются)
под прямым углом?
7. По каким линиям пересекаются соосные поверхности?
8. В чём суть теоремы Монжа?
9. В каких случаях удобно применять метод секущих сфер?
10. Каков принцип построения линии пересечения двух поверхностей
методом секущих сфер?
линии пересечения двух поверхностей
85
Лекция 9. РАЗВЕРТКИ
9.1. Общие сведения.
9.2. Развертка пирамиды.
9.3. Развертка призмы.
9.4. Развертка конической поверхности общего вида.
9.5. Развертка наклонного цилиндра.
9.6. Частные случаи разверток.
9.7. Развертка сферы.
9.8. Контрольные вопросы.
9.1. Общие сведения
Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью. Построение разверток
поверхностей имеет большое практическое применение при изготовлении
различных изделий из листового материала. Это обшивка самолётов и судов, всевозможные резервуары и трубопроводы в нефтехимической и газовой промышленности, изделия швейной и кожевенной промышленности и
т.д
.
Для построения развёртки используются ортогональные проекции поверхности. Связь между ними описывается инвариантным свойством сохранения площадей соответствующих фигур. Это свойство влечёт за собой
ещё такие свойства:
– длины соответствующих линий поверхности и её развёртки равны;
– углы, образованные линиями поверхности, равны углам, составленным их образами на развёртке;
– прямая поверхности
– параллельные прямые поверхности отображаются на параллельные
прямые развёртки.
Разработка наиболее простых и точных способов построения разверток
необходима для изготовления тонкостенных изделий заданной формы и
размеров. Чем рациональнее и точнее способ выполнения разверток и их
раскроя, тем экономичнее технология изготовления изделий. При этом
экономятся листовой материал и
Теоретически точно развертываются поверхности многогранников,
прямых круговых конусов и цилиндров. Приближенными развертками являются развертки поверхностей наклонных конусов и цилиндров, а развертки сфер относятся к условным.
В общем случае, построение любой развертки сводится к построению
натуральной величины и формы элементов, составляющих поверхность.
отображается на прямую развёртки;
рабочее время.
86
9.2. Развертка пирамиды
Развертка пирамиды относится к точным разверткам. Ее получения ка-
1
1
B
тет S
известным сторонам, где в качестве сторон треугольника используются на-
туральные величины ребер пирамиды.
найти натуральные величины ее боковых ребер и основания.
в натуральную величину на плоскости π
плоскостью уровня.
способом прямоугольного треугольника (см. п 3.4). Так в треугольнике
∆S
S
0
ординат по оси 0Z его концов. Следовательно, гипотенуза S
угольника, есть натуральная величина ребра SB. Аналогично находятся и
другие натуральные величины ребер.
равен основывается на способе построения треугольника по трем
1
1
Поэтому для построения развертки пирамиды (рис. 101) необходимо
Основание пирамиды представляет собой треугольник, изображенный
, так как является горизонтальной
1
Для определения натуральных величин боковых ребер воспользуемся
1
1
B
горизонтальной проекции ребра S1B1, а катет S0S
1
1
1
– разности ко-
1
1
B
, этого тре-
0
1
Рис. 101
87
После определения натуральных величин ребер строится развертка боковой поверхности пирамиды. Для этого на любом из ребер, например,
S
(или отдельно), последовательно строятся треугольники каждой грани
0A0
по трем известным их сторонам: ∆S
0A0B0
→ ∆S0B0C0 → ∆S0C0A0. Следует
помнить, что построение боковых граней заканчивается тем же ребром, с
которого начинается построение развертки боковой поверхности пирамиды. После построения боковой поверхность пирамиды к любому ребру основания пирамиды пристраивается ее основание.
Нанесение линии на развертку производится по точкам. Количество
точек зависит от сложности конфигурации линии. Для определения положения любой точки поверхности на развертке, например, точки N, вначале
находят положения проекций k
и k2, прямой k, проходящей через вершину
1
S и данную точку. Затем прямую k наносят на развертку при условии, что
[А
]=[А111]. Далее, используя теорему Фалеса, определяется истинное
010
положение точки N
на развертке.
0
9.3. Развертка призмы
Развертка призмы может осуществляется несколькими способами, одними из которых являются способ раскатки и способ нормального сечения.
Способ раскатки
. В общем случае каждая грань призмы (рис. 102) имеет форму параллелограмма. В данном примере натуральные величины ребер определяется на плоскости π
, а оснований – на плоскости π1.
2
Если в исходных данных призма занимает общее положение, то необходимо способами преобразования эпюра преобразовать его проекции так,
чтобы грани призмы были либо фронталями, либо горизонталями, а плоскости оснований – плоскостями уровней.
Развертка боковой поверхности осуществляется совмещением граней
призмы с плоскостью проекций. Для этого все точки вращают в плоскостях,
перпендикулярных проекциям ребер, а расстояния между ребрами
берутся равными соответственно величинам сторон основания.
Рассмотрим на примере (рис. 102). За начало развертки принимается
одна из фронтальных проекций ребра (на примере – С
ции вершины F
ра B
. Принимая вершину Е0 за центр окружности делается засечка на
2F2
перпендикуляре радиусом равным E
шиной параллелограмма F
параллельности достраивается параллелограмм E
но строится грани A
проводится перпендикуляр к фронтольной проекции реб-
2
. Полученная засечка является вер-
1F1
. Используя вершину F0, ребро С0Е0 и принцип
0
0C0B0F0
0B0F0D0
и A0D0E0C0.
0Е0=С2Е2
. Далее аналогич-
). Из проек-
После построения развертки боковой поверхности к ней пристраиваются основания.
Нанесение линии на развертку производится точкам. Для определения
положения любой точки поверхности на развертке, например, точки N,
88
вначале находят положения проекций k
и k2 прямой k, которая параллель-
1
на боковым ребрам призмы и которой принадлежит эта точка. Затем прямую k наносят на развертку при условии, что [A
зуя [K
]=[K0N0], определяют истинное положение точки N0.
2N2
]=[A1K1]. Далее, исполь-
0K0
Рис. 102
Способ нормального сечения. Сущность данного способа построения
развертки призмы заключается в следующем.
Заданную призму пересекается плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам, и строится проекция и натуральная величина сечения призмы
этой плоскостью (нормальное сечение). Также определяются натуральные
величины отрезков боковых рёбер призмы, лежащих выше и ниже нормального сечения.
На рис. 103 показано:
– натуральная величина нормального
сечения (∆142434) призмы
АВСDEF, полученное сечением ее фронтально-проецирующей плоскостью
α с использованием способа замены плоскостей проекций;
– натуральные величины ребер и их деления секущей плоскостью определяется на плоскости π
– натуральные величины оснований определяются на плоскости π
;
2
.
1
89
Для построения развертки на свободном поле эпюра проводится горизонтальная линия и на ней от произвольной точки откладываются друг за
другом стороны нормального сечения призмы: [1-2]→[2-3]→[3-1].
Рис. 103
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]