Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия и инженерная графика. Ч.1. Начертательная геометрия. Курс лекций по направлениям подготовки 23.03.01 «Технология транспортных
.pdf
На рис. 5 изображена графическая модель четвертей пространства,
выполненная во фронтальной диметрии. По этому наглядному изображению удобно изложить суть построения ортогональных проекций точки.
Более подробное изложение материала по аксонометрическим изображениям приводится в разделе «Проекционное черчение» при изучении
инженерной графике.
1.4. Инвариантные свойства проецирования
Существуют основные, т.е. неопределяемые понятия начертательной
геометрии. К ним относятся точка, прямая, плоскость, множество, рас-
стояние, принадлежность, параллельность и непрерывность.
Прежде чем переходить к изучению изображений прямой, плоскости,
поверхности или их сочетаний, рационально выделить инвариантные свойства геометрических фигур, т.е. те свойства, которые сохраняются после
проецировании
всего восемь, причем инварианты 1, 2, 3 и 4 характерны для любого способа проецирования, а инварианты 5, 6, 7 и 8 только для параллельного проецирования.
1-й инвариант.
Проекция точки есть точка (рис. 6), т.е. точка проецируется в точку
(А→А
). Это инвариантное свойство вытекает из самого определения поня-
π
тия проекции, как точки пересечения проецирующего луча с плоскостью
проекций.
2-й инвариант.
Проекция линии (прямой) есть линия (прямая). Это инвариантное
свойство вытекает из 1-го инварианта. Так как линия – это последовательность точек, то последовательность проекций этих точек даст проекцию
линии. На рис
кость проекций π ([AB]→[A
на любую из плоскостей проекций. Этих основных свойств
. 7 приведен пример проецирования отрезка [AB] на плос-
]).
πBπ
Рис. 6 Рис. 7
11
3-й инвариант.
Инвариант принадлежности. Если фигура Ф1 принадлежит фигуре Ф2,
то проекция фигуры Ф1 будет принадлежать проекции фигуры Ф2. Например, если точка принадлежит прямой (рис. 8), то и проекция этой точки
будет принадлежать проекции этой прямой (C [AB] C
[AπBπ]).
π
4-й инвариант.
Точка пересечения двух линий проецируется как точка пересечения
проекций этих линий. Например (рис. 9), К = [АВ] ∩ [CD] K
[C
]. Этот инвариант является следствием инвариантов 2 и 3.
πDπ
Рис. 8 Рис. 9
=[AπBπ] ∩
π
5-й инвариант.
Деления отрезка в заданном соотношении (теорема Фалеса). Если отрезок делится в каком-либо соотношении, то и его проекция будет делится
точно в том же соотношении. Например (рис. 10), [AВ]:[CB] = [A
[C
]. Этот инвариант вытекает из того, что проецирующие лучи парал-
πBπ
πCπ
] :
лельны между собой.
6-й инвариант.
Если прямые параллельны между собой, то и их проекции тоже будут
параллельны. Например (рис. 11), [AВ] ǁ [CD] [A
] ǁ [CπDπ]. Данный
πBπ
инвариант является следствием инварианта 2 и параллельности проецирующих лучей.
7-й инвариант.
Параллельность переноса объекта. Если объект перемещается параллельно самому себе, то его проекция не меняет своей формы и размеров, а
меняет только свое местоположение на картине. Например (рис. 12),
∆АВС ǁ ∆А
1В1С1
^ ∆АВС = ∆А1В1С1 ⇒ ∆АπВπСπ = ∆А
1
1
В
1
С
. Данный инва-
риант является следствием инварианта 2 и параллельности проецирующих
лучей.
12
8-й инвариант.
Если плоская фигура параллельна картинной плоскости, то ее проекция
является натуральной величиной этой фигуры. Например (рис. 13),
∆АВС
π ⇒ ∆А
πВπСπ
= ∆АВС. Данный инвариант является следствием ин-
варианта 2 и параллельности проецирующих лучей.
Рис. 10 Рис. 11
Рис. 12 Рис. 13
1.5. Контрольные вопросы
1. Что изучает начертательная геометрия?
2. Какие задачи решает начертательная геометрия?
3. Что называется чертежом?
4. Какие специальные символы существуют для обозначения параллель-
ности, перпендикулярности, пересечения, скрещивания? Какие обозначения
вы знаете, кроме этих?
13
5. Основные элементы аппарата проецирования.
6. Виды проецирования.
7. В чем сущность центрального проецирования?
8. В чем сущность параллельного проецирования?
9. Чем отличается ортогональное проецирование от косоугольного?
10. Как проецируются точка и линия?
11. В чем заключается сущность инвариантов «
линий»,
«Принадлежность» и «Параллельность переноса объекта»?
Точка пересечения двух
14
Лекция 2. ТОЧКА НА ЭПЮРЕ МОНЖА
2.1. Аппарат полного проецирования.
2.2. Эпюр точки.
2.3. Характеристика точек.
2.4. Метод двух изображений.
2.5. Конкурирующие точки.
2.6. Контрольные вопросы.
2.1. Аппарат полного проецирования
Выше было указано, что бы обеспечить взаимно-однозначное соответствие между фигурами Ф пространства и их двумерными изображениями
необходимо чтобы аппарат проецирования имел несколько плоскостей
проецирования.
Рассмотрим аппарат полного проецирования (метод трех изображений). Для этого введём три плоскости проекций (рис. 14):
Рис. 14
15
π
– горизонтальная плоскость проекций;
1
π
– фронтальная плоскость проекций;
2
π
– профильная плоскость проекций.
3
Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π
π2 π3),
1
а их линии пересечения образуют оси:
– пересечение плоскостей π
– пересечение плоскостей π
– пересечение плоскостей π
и π2 образуют ось 0Х (π1 ∩ π2 = 0Х);
1
и π3 образуют ось 0Y (π1 ∩ π3 = 0Y);
1
и π3 образуют ось 0Z (π2 ∩ π3 = 0Z).
2
Точка пересечения осей считается точкой начала отсчета (точка 0).
Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат
аналогичен декартовой системе координат.
Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на
рис. 14 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I октанте.
Проецирование ортогональное
с центрами проецирования S1, S2 и S3
соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций.
Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А.
Из центров проецирования S
и l
. Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проек-
3
, S2 и S3 выходят проецирующие лучи l1, l2
1
ций образуют ее проекции:
– А
– горизонтальная проекция точки А;
1
– А
– фронтальная проекция точки А;
2
– А
– профильная проекция точки А.
3
Точка в пространстве характеризуется своими координатами A(x,y,z).
Точки A
, Ay и Az соответственно на осях 0X, 0Y и 0Z показывают координа-
x
ты x, y и z точки А. На рис. 14 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А пространства, её проекциями и координатами.
2.2. Эпюр точки
Чтобы получить чертёж точки А (рис. 15), в аппарате проецирования
(рис. 14) плоскость π
вой стрелке вокруг оси 0Х, до совмещения её с плоскостью π
кость π
с проекцией точки А3, вращают против часовой стрелки вокруг оси
3
0Z, до совмещения её с плоскостью π
π
и π3 показано на рис. 13 стрелками. Полученный таким образом чертёж
2
называется эпюром. При этом прямые А
общем к оси 0Х перпендикуляре А
лагаться на общем к оси 0Z перпендикуляре А
шем будем называть соответственно вертикальной
ниями связей.
с полученной проекцией точки А1 вращают по часо-
1
. Затем плос-
2
. Направление поворотов плоскостей
2
и А2Ах станут располагаться на
1Ах
, а прямые А2Ах и А3Ах станут распо-
1А2
. Эти прямые в дальней-
2А3
и горизонтальной ли-
16
Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.
На практике построение эпюра точки А(x
численным значениям ее координат x
, yA и zA в следующей последова-
A
, yA, zA) осуществляется по
A
тельности (рис. 15). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.
1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.
2. На оси OX откладывается численное значение координаты x
и получают положение точки А
3. Через точку А
перпендикулярно оси OX проводится вертикальная
х
.
х
точки А
A
линия связи.
4. На вертикальной линии связи от точки А
откладывается численное значение координаты y
положение горизонтальной проекции точки А
5. На вертикальной линии связи от точки А
откладывается численное значение координаты z
положение фронтальной проекции точки А
на эпюре.
2
по направлению оси OY
х
точки А и определяется
A
на эпюре.
1
по направлению оси OZ
х
точки А и определяется
A
Рис. 15
17
6. Через точку А
ния связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки А
7. На горизонтальной линии связи от точки А
откладывается численное значение координаты y
положение профильной проекции точки А
параллельно оси OX проводится горизонтальная ли-
2
.
z
по направлению оси OY
z
точки А и определяется
A
на эпюре.
3
2.3. Характеристика точек
Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего
положений.
Точки частного положения
рования, называются точками частного положения. К ним относятся точки,
принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам
проецирования. Характерные признаки точек частного положения приведены в табл. 1 и на рис. 16–19.
Математические признаки точек частного положения
плоскости π
плоскости π
плоскости π
оси 0X ≠0 =0 =0
оси 0Y =0 ≠0 =0
оси 0Z =0 =0 ≠0
точки 0 =0 =0 =0
центру S
центру S2 ≠0 ∞ ≠0
центру S3 ∞ ≠0 ≠0
1
2
3
1
На рис. 16 приведены характерные признаки принадлежности точек
. Точки, принадлежащие аппарату проеци-
Таблица 1
Численные значения координат точки Точка принадлежит
x y z
≠0 ≠0 =0
≠0 =0 ≠0
=0 ≠0 ≠0
≠0 ≠0 ∞
плоскостям проекций на эпюре Монжа: точка А π
(рис 16а); точка В π
1
(рис 16б); точка С π3 (рис 16в). Такими признаками являются принадлеж-
ность двух проекций точки осям.
Рис. 16
18
2
На рис. 17 приведены характерные признаки принадлежности точек
осям на эпюре Монжа: точка А 0X (рис 17а); точка В
0Y (рис 17б); точ-
ка С 0Z (рис 17в). Такими признаками являются принадлежность двух
тождественно совпадающих проекций точки осям эпюра.
На рис 18 на эпюре Монжа показан характерный признак точки А при-
надлежащей началу координат, т.е. все три проекции точки тождественно
совпадают и принадлежат началу координат.
На рис. 19 приведены характерные
признаки принадлежности точек
центрам проецирования на эпюре Монжа: точка А S
В S
(рис 19б); точка С S3 (рис 19в). Такими признаками являются при-
2
(рис 19а); точка
1
надлежность двух проекций точки проекциям центров проецирования.
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 19
Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точ-
ки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка на рис. 13.
В общем случае численные значения координат точки характеризует ее
удаление от плоскости проекций: координата х от плоскости
та y от плоскости π
; координата z от плоскости π1. Следует отметить, что
2
π
; координа-
3
19
знаки при численных значениях указывают на направление удаления точки
от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится
(табл. 2).
Таблица 2
Определение номера октана от знаков координат
Номер октана
I + + +
II + - +
III + - -
IV + + -
V - + +
VI - - +
VII - - -
VIII - + -
x y
Знак при координате
z
Расположение проекций точки, относительно осей, на эпюре зависит от
того в каком октане она находится (рис. 20).
Рис. 20
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]