Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия и инженерная графика. Ч.1. Начертательная геометрия. Курс лекций по направлениям подготовки 23.03.01 «Технология транспортных
.pdf
5.6. Перпендикулярность и параллельность плоскостей
Перпендикулярность плоскостей. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Исходя из этого определения для построения перпендикулярных
плоскостей необходимо вначале построить перпендикуляр к плоскости, а
затем используя его и способы задания плоскостей достроить перпендикулярную плоскость.
Параллельность плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости,
то такие плоскости параллельны между собой. Исходя из этого для построения параллельных плоскостей достаточно использовать характерный
признак параллельности прямых и способы задания плоскостей.
5.7. Контрольные вопросы
1. Как строится линия пересечения плоскости общего положения про-
ецирующей плоскостью?
2. Можно ли провести проецирующую плоскость через прямую общего
положения?
3. Как определяются точки встречи прямой общего положения с плос-
костью общего положения?
4. Как определяется видимость на эпюре прямой относительно плоско-
сти?
5. Как определяются точки встречи проецирующей прямой с плоско-
стью общего положения?
6. Как определяются точки встречи прямой общего положения с плос-
костью частного положения?
7. Покажите на примере построение прямой, параллельной плоскости
общего положения.
8. Расскажите алгоритм построения перпендикуляра к плоскости, про-
ходящего через заданную точку.
9. Сформулируйте, как построить на эпюре плоскость, перпендикуляр-
ную другой плоскости общего положения.
10. Сформулируйте,
другой плоскости.
11. Расскажите, как построить линию пересечения двух плоскостей
общего положения.
12. Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей об-
щего положения?
как построить на эпюре плоскость, параллельную
51
Лекция 6. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
6.1. Общие сведения о метрических задачах.
6.2. Способ замены плоскостей проекций.
6.3. Способ вращения вокруг проецирующей прямой.
6.4. Способ плоско параллельного перемещения.
6.5. Определение натуральных величин геометрических объектов.
6.6. Контрольные вопросы.
6.1. Общие сведения о метрических задачах
Метрическими называются задачи, решение которых связано с нахождением характеристик (натуральных величин элементов) геометрических
фигур, определяемых (измеряемых) линейными и угловыми величинами.
Определение натуральных величин в начертательной геометрии осуществляется путем преобразования эпюра. Для преобразования эпюра существует несколько способов.
Суть этих способов заключается в том, что необходимо преобразовать
эпюр так, чтобы
ние параллельное какой-либо плоскости проекций. Тогда на эту плоскость
проекций он будет проецироваться в натуральную величину.
Такое преобразование эпюра может быть осуществлено следующими
тремя основными группами способов.
1. Способы, в которых объект в пространстве своего положения не ме-
няет, а аппарат проецирования изменяет.
2. Способы
екций, а меняют положение заданного геометрического объекта.
3. Смешанные способы. Суть их заключается в сочетании использования способов первой и второй группы с применением дополнительных
приемов перемещения объекта в пространстве.
рассматриваемый геометрический объект занял положе-
в которых оставляют неизменной систему плоскостей про-
6.2. Способ замены плоскостей проекций
Способ замены плоскостей проекций относится к первой группе спо-
собов преобразования эпюра.
Рассмотрим аппарат проецирования (рис. 68) при использовании этого
способа. В аппарате проецирования обозначим:
– π
– заменяемая (старая) плоскость проекций;
2
– π
– не заменяемая плоскость проекций;
1
– π
– новая (вновь вводимая) плоскость проекций;
4
– Х
– Х
– А – объект проецирования;
=π1 ∩ π2 – заменяемая (старая) ось проекций;
1,2
=π1 ∩ π4 – новая ось проекций;
1,4
52
– А
– не заменяемая проекция объекта;
1
– А
– заменяемая (старая) проекция объекта;
2
– А
– новая проекция объекта;
4
– π
– старая система плоскостей проецирования (старый аппарата
1 /π2
проецирования);
– π
– новая система плоскостей проецирования (новый аппарата
1 /π4
проецирования.
Рис. 68 Рис. 69
Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из основных плоскостей проекций π
плоскостью проекций π
4
или π2 (на рис. 68 это π2) заменяется новой
1
, расположенной нужным образом по отношению
к объекту, но перпендикулярно незаменяемой плоскости проекций (на рис. 68
π
лучаем вместо старой системы плоскостей проекций π
π
). В результате замены старой плоскости проекций π2 на новую π4 по-
4⊥π1
новую систему
1 /π2
. Следовательно при проецировании в новой системе π1 /π4 получаем
1 /π4
новый эпюр точки А (рис. 69).
В общем случае методика применения способа замены плоскостей для
точки выглядит следующим образом.
1. На эпюре наносится новая ось проекций: Х
2. Из незаменяемой проекции точки А
перпендикулярно новой оси
1
1,4
.
проводится новая линия связи.
3. На проекции заменяемой плоскости замеряется удаление заменяемой
проекции точки А
4. На новой линии связи от новой оси Х
удаление заменяемой проекции от заменяемой оси z
лучается положение новой проекции точки А
от старой оси Х
2
: zА=А
1,2
х1,2А2
4
.
откладывается замеренное
1,4
А=Ах1,2А2=Ах1,4А2
и по-
.
Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей.
Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в линию уровня.
53
Решение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость
проекций π
или π2 новой плоскостью проекций π4, параллельной отрезку
1
[АВ] и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций.
Для того чтобы отрезок в новой системе плоскостей проекций стала,
например, фронталью (рис. 70), заменяется фронтальная плоскость проекций π
новой плоскостью π4 перпендикулярно π1 и параллельной отрезку
2
[АВ]: π
лельно А
⊥π1 ∧ π4∥[АВ]. Далее проводится новая ось проекций Х
4
на произвольном расстоянии от нее. Такое положение оси Х
1В1
обусловливается тем, что π
параллельна [АВ].
4
Рис. 70
парал-
1,4
1,4
Используя новую ось Х
плоскости π
проекций π
. Таким образом отрезок [АВ] в новой системе плоскостей
4
является фронталью, а, следовательно, отрезок [АВ] и угол
1/π4
его наклона к плоскости π
чину ([А
] = [АB]; угол α – угол наклона отрезка [АB] к плоскости π1).
4В4
струятся новые проекции точек А4 и В4 на
1,4
проецируется на плоскость π4 в истинную вели-
1
Задача 2. Получение проецирующей прямой.
Решение. Задача решается двумя заменами. При первой замене
прямая общего положения переводится в прямую уровня, а при второй замене прямая уровня переводится в проецирующей положение.
Рассмотрим решение задачи на примере рис. 71. Здесь при замене
плоскости π
ся в прямую уровня (π
на плоскость π4 прямая общего положения т(А,В) переводит-
2
→ π1 /π4).
1 /π2
При второй замене прямая уровня переводится в проецирующие положение. Для этого плоскость π
стью π
плоскости π
новой системы π4/π5 одновременно перпендикулярно прямой т и
5
: π5⊥т ∧ π5⊥π4. Таким образом в новой системе прямая т ста-
4
нет проецирующей относительно плоскости π
в старой системе π1/π4 заменяется плоско-
1
.
5
54
Рис. 71
Построения на эпюре, при второй замене, заключаются в следующем.
Новая ось проекций Х
проводится перпендикулярно натуральной вели-
4,5
чине прямой т
жение оси Х
4,5
на произвольном расстоянии от нее: Х
4
обусловливается тем, что плоскость π5 перпендикулярна
⊥т4. Такое поло-
4,5
прямой т(А,В). Учитывая, что расстояния точек А и В до плоскости π
наковы, то проекции их на плоскости π
ецирующей т
5(А5≡В5
).
совпадут, т. е. прямая станет про-
5
Задача 3. Преобразование плоскости общего положения в проецирую-
щую.
Решение. Для решения задачи
необходимо заменить плоскость π
исходной системы π
стью π
, перпендикулярной плоскости
4
новой плоско-
1 /π2
или π2
1
λ(∆АВС). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит
через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости λ, преобразовать в проецирующую, то плоскость λ в новой системе
плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой
цели восполь-
зоваться линией уровня (см. задачу 2).
На эпюре (рис. 72) плоскость
λ(∆АВС) преобразована во фронтально-
Рис. 72
оди-
4
55
проецирующую путем преобразования горизонтали h(h
, h2), принадлежа-
1
щей плоскости λ, во фронтально проецирующую прямую (см, основная задача 2). В новой системе плоскостей проекций π
фронтально-проецирующей, и поэтому ее проекция на π
прямую линию λ
, В4, С4). На рис. 72 величина угла α является нату-
4(А4
ральной величиной угла наклона плоскости λ к плоскости π
плоскость λ является
1/π4
вырождается в
4
.
1
3адача 4. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость
уровня.
Решение. Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале заданную плоскость необходимо преобразовать в проецирующую плоскость, а затем проецирующую плоскость
преобразовать в плоскость уровня.
На рис. 73 показано преобразование
λ(∆АВС) в фронтально-проецирующею путем замены плоскости π
плоскость π
(задача 3). Затем эта плоскость переводится в горизонтальную
4
плоскости общего положения
на
2
плоскость уровня следующим образом.
Вначале, проводится новая ось проекций Х
ной проекции плоскости λ
Такое положение оси проекций Х
, В4, С4) на произвольном от нее расстоянии.
4(А4
обусловливается тем, что π5 парал-
4,5
параллельно вырожден-
4,5
лельна плоскости
Затем, строятся проекции точек А
отметить, что треугольник ∆А
5В5С5
угольника ∆АВС, т.к. плоскость λ(∆АВС) параллельна плоскости π
, В5 и С5 на плоскость π5. Следует
5
является натуральной величиной тре-
5
:
λ(∆АВС)∥π
=> ∆А5В5С5=∆АВС.
5
Рис. 73
56
6.3. Способ вращения вокруг проецирующей прямой
Способ вращения вокруг проецирующей прямой относится ко второй
группе способов преобразования эпюра.
Рассмотрим суть данного способа.
Дана ось i, перпендикулярная к плоскости проекций π1, и точка А, вращающаяся вокруг нее в плоскости β, параллельной плоскости π1 и одновременно перпендикулярной к оси вращения i (рис. 74).
При вращении точка А перемещается по окружности в плоскости вращения β. Центр окружности является точкой пересечения оси вращения с
плоскостью вращения и называется центром 0 вращения, а расстояние от
точки А до центра вращения – радиусом вращения. Траектория точки А на
плоскость π1 проектируется окружностью, а на плоскость π2 – отрезком
прямой, параллельным оси 0Х (рис. 75).
Следует отметить, если ось вращения будет перпендикулярна плоскости проекций π2, тогда траектория точки на плоскость π2 будет проектиро-
ваться окружностью, а на плоскость π1 – отрезком прямой, параллельным
оси 0Х.
Отсюда общее правило, если точка вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то проекция точки на этой плоскости перемещается по окружности, а другая проекция – по прямой, перпендикулярной к проекции оси вращения (или параллельно оси проекций).
Рис. 74 Рис. 75
Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей.
Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в линию уровня
Определение натуральной величины отрезка.
Решение. Если прямая параллельна плоскости проекций π
или π1,
1
то одна из ее проекций должна быть параллельна оси 0Х. Для того чтобы
57
прямую общего положения l(l
) преобразовать, например, во фронталь
1,l2
(рис. 76), ее необходимо вращать вокруг оси i ⊥π
Для этого:
1. Выбираются две точки А(А
В(В
), принадлежащие прямой l.
1В2
2. Проводится ось вращения i(i
пендикулярно π
мой l(l
1,l2
).
1
3. Вращается прямая l вокруг оси i до
параллельности ее плоскости π
1
∥0Х). При этом точка В прямой останется
l
1
неподвижной (В
принадлежит оси, а точка А будет вращать-
ся по правилам, рассмотренным выше
(А
→А
1
1
и А2→А
1
1
Таким образом отрезок [АВ], принад-
лежащий прямой l, в новом положении является частью фронтали, а, следовательно,
Рис.76
истинную величину ([А
1
2
отрезок [АВ] и угол его наклона к плоско-
сти π
1
В
] = [АB];
2
проецируется на плоскость π2 в
1
угол α – угол наклона отрезка [АB] к
плоскости π
).
1
Задача 2. Преобразовать прямую
общего положения проецирующую прямую.
Решение. Преобразование проводится двумя вращеньями. При первом
вращении прямая общего положения
переводится в положение прямой уровня, т.е. решается задача 1. При втором
вращении прямая уровня переводится в
проецирующее положение.
Рассмотрим решение на примере
рис. 77.
При первом вращении прямая l
стала прямой уровня, т.е. фронталью. Значит, при втором вращении, ее можно
преобразовать вращением вокруг оси j
перпендикулярной π
в горизонтально-
2
проецирующую прямую. При вращении
.
1
) и
1А2
) пер-
1,i2
через точку В(В1В2) пря-
(l∥π2 =
2
2
≡В
1
.
1
и В2≡В
1
Рис. 77
1
), так как
2
58
фронтали вокруг оси j она сохраняет параллельность плоскости π
быть повернута в положение, перпендикулярное π
. На эпюре (рис. 77) это
1
и может
2
показано следующим образом.
1. Проводится ось вращения j(j
1
A(A
1
A
) прямой l(l
1
2
1
1
,l
).
1
2
) перпендикулярно π2 через точку
1,j2
2. Вращается прямая l вокруг оси j до перпендикулярности ее с плоско-
1
2
2
⊥0Х). При этом точка А прямой останется неподвижной
2
2
≡А
), так как принадлежит оси j, а точка В будет вращаться
2
1
1
проекция прямой l
1
→В
2
и В
1
1
2
→В
1
2
). Кроме того, следу-
2
2
2
1
2
≡B
) вырождается
1
(A
сти π
(А
(l⊥π1 => l
1
≡А
2
1
1
1
и А
по правилам, рассмотренным выше (В
ет отметить, что на плоскости π
в точку, а это характерный признак горизонтально-проецирующей прямой.
Задача 3. Преобразование плоскости общего положения в проецирую-
щую.
Решение. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из
них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости
λ(∆АВС), преобразовать в проецирующую, то
плоскость λ(∆АВС) тоже ста-
нет проецирующей (рис. 78).
Проще всего для этой цели воспользоваться линиями
уровня (см. задачу 2). Если
плоскость λ(∆АВС) вращать
вокруг оси i⊥π
, то горизон-
1
таль h(А1), принадлежащая
плоскости, может быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости π
(см. задачу 2), при этом
плоскость λ(∆АВС) становится фронтально-проецирующей. Для упрощения построений на эпюре горизонталь h(А
щения i(i
, А212) и ось вра-
111
) проведены че-
1,i2
рез вершину А треугольника
АВС.
Для построения новой
горизонтальной проекции
1
1
В
1
С
треугольника АВС можно воспользоваться одним из следующих
1
1
А
1
соображений:
2
Рис. 78
59
1) так как угол наклона плоскости треугольника АВС к плоскости π
1
1
при вращении вокруг оси i⊥π
2) величина угла поворота точек В
не изменяется, то ∆А
1
и С1 равна величине угла поворота
1
горизонтальной проекции горизонтали h
→h
1
1
1
. Точка А1 неподвижна, так
1
В
1
С
=∆А1В1С1;
1
1
1
как она принадлежит оси вращения. Остальные построения основаны на
правилах, изложенных ранее, и понятны из эпюра (рис. 78).
1
1
1
В
С
Треугольник А
проекция А
1
1
1
1
В
С
2
вырождается в прямую линию. Учитывая то, что плос-
2
2
перпендикулярен π2 и поэтому его фронтальная
1
1
кость λ вращалась вокруг оси i⊥π
денной проекцией плоскости λ
мой плоскости λ к плоскости проекций π
, следовательно, угол α между вырож-
1
1
1
В
1
С
) и осью 0Х есть угол наклона са-
2
2
.
1
2
(А
2
Для того чтобы плоскость преобразовать в горизонтально проецирую-
щую, ее необходимо вращать вокруг оси i⊥π
, а в качестве вспомогатель-
2
ной линии уровня взять фронталь. Проще всего для этой цели воспользоваться линиями уровня (см. задачу 2). Если плоскость λ(∆АВС) вращать
вокруг оси i⊥π
быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости π
, то горизонталь h(А1), принадлежащая плоскости, может
1
(см. задачу 2),
2
при этом плоскость λ(∆АВС) становится фронтально-проецирующей. Для
упрощения построений на эпюре горизонталь h(А
i(i
) проведены через вершину А треугольника АВС.
1,i2
, А212) и ось вращения
111
Задача 4. Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать
в плоскость уровня, необходимо выполнить два последовательных преобразования: вначале преобразовать ее в проецирующую плоскость (решить
задачу 3), а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость
уровня.
Рассмотрим преобразование фронтально-проецирующей плоскости в
горизонтальную плоскость уровня (рис. 79).
Для
этого фронтально-проецирующую плоскость (∆А
вращая вокруг оси j, перпендикулярной плоскости π
вершину B
раллельно плоскости π
жение (А
1
треугольника А1В1С1. И когда плоскость λ1 расположится па-
ее фронтальная проекция (А
1
2
2
2
В
С
2
), параллельное оси 0Х. Остальные построения основаны на
2
2
1
В
С
1
1
1
, проведенной через
2
1
1
1
В
С
2
) займет поло-
2
2
, ∆А
1
1
1
В
С
2
)
2
2
1
1
правилах, изложенных ранее, и понятны из эпюра (рис. 79).
2
2
2
В
С
Следует отметить, что проекция треугольника ∆А
1
ральной величиной треугольника ∆АВС , так как плоскость λ
2
2
плоскости проекций π
: λ2∥π1 => ∆А
1
1
В
2
С
1
1
=∆АВС.
является нату-
1
1
2
параллельна
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]