Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия и инженерная графика. Ч.1. Начертательная геометрия. Курс лекций по направлениям подготовки 23.03.01 «Технология транспортных
.pdf
если g параллельна оси вращения – цилиндрическая поверхность вра-
щения;
если g скрещивается с осью вращения – однополостный гиперболоид
вращения.
7.3. Задание поверхностей на эпюре Монжа
Поверхность на эпюре задается очерком. Очерк поверхности – это линия, разграничивающая проекцию фигуры от остального пространства
чертежа. Для построения очерка необходимо построить крайние граничные очерковые образующие. Очерковые образующие лежат в плоскости,
параллельной плоскости проекций.
На рис. 88 приведены примеры изображения некоторых тал вращения
на эпюре Монжа: прямой круговой конус (рис. 88а); наклонный круговой
конус (рис. 88б); прямой круговой цилиндр (рис.88в); наклонный круговой
цилиндр (рис. 88г).
Рис. 88
Если очерки для тела вращения (кроме сферы) называются в зависимости от плоскости проекций на которую оно спроецировано (горизонтальная, фронтальная и профильная), то для сферы (рис. 89) эти очерки носят
специфические названия (по аналогии с глобусом):
– очерк на π
– очерк на π
– очерк на π
– главный (нулевой) меридиан;
2
– экватор;
1
– профильный меридиан.
3
71
Рис. 89
Для построения точек на поверхностях используются образующие,
проходящие через эти точки.
На рис. 88а задана проекция точки (А
), т.е. точка А располагается на
2
невидимой стороне прямого кругового конуса относительно фронтальной
плоскости проекций. Для нахождения горизонтальной проекции проводит-
ся образующая S-1, на горизонтальной проекции которой и лежит А
На рис. 88б задана проекция В
точки В, лежащей на видимой стороне
1
.
1
наклонного кругового конуса относительно горизонтальной плоскости
проекций. Для нахождения фронтальной проекции проводится образую-
щая S-2, на фронтальной проекции которой и лежит В
.
2
У прямого кругового цилиндра (рис. 88в) боковая поверхность занимает горизонтально-проецирующее положение, поэтому горизонтальные
проекции С
и D1 определяются с помощью вертикальных линий связи на
1
следе боковой поверхности.
На рис. 88г заданы проекции Е
и (F2) точек Е и F расположенных со-
2
ответственно на видимой и невидимой сторонах наклонного цилиндра относительно фронтальной плоскости проекций. Для нахождения горизонтальных проекций проводятся образующие, параллельные очерковым боковой поверхности на которых находятся горизонтальные проекции этих
точек Е
и F1.
1
Для нахождения точек на поверхности сферы используют дополнительные широты и удаления от оси вращения.
На рис. 88 задана проекция G
точки G, лежащей ниже экватора на ви-
2
димой стороне сферы относительно фронтальной плоскости проекций. Для
нахождения горизонтальной проекции: вначале строится дополнительная
72
широта, проходящая через заданную точку, а затем по инварианту принадлежности определяется горизонтальная проекция точки (G
).
1
Рис. 90
Следует отметить, что проекция точки на горизонтальной плоскости
проекций не видима, т.к. точка G располагается ниже экватора.
Профильная проекция точки G
связи и удалению от оси вращения (см. рис. 90). Проекция G
тому, что фронтальная проекция точки G
определяется по горизонтальной линии
3
видима по-
3
находится правей фронтальной
2
проекции профильного меридиана.
7.4. Пересечение поверхности проецирующей плоскостью
При пересечении поверхности плоскостью получается плоская линия –
сечение, которое строят по отдельным точкам.
Каждая точка сечения есть результат пересечения плоскости с какойлибо линией, принадлежащей поверхности. Точки линии сечения подразделяются на опорные
Опорными
точками являются точки, лежащие на ребрах и сторонах основания многогранника, точки, лежащие на очерковых линиях поверхности, на линиях основания. К ним же относят точки, определяющие границы видимости сечения, а также высшая и низшая точки сечения. Если линия сечения этими точками полностью не определяется, то строятся промежуточные (между опорными) точки.
и промежуточные.
73
От типа линии на поверхности (прямая, окружность или кривая общего
вида) зависит уровень сложности построения сечения. Обычно, чем проще
эти линии, тем легче построения сечения. Из рис. 91 видно, что:
а) для многогранника достаточно определить точки пересечения ребер
и сторон основания с секущей плоскостью (F=SA∩γ, D=SC∩γ, E=SB∩γ
);
б) для линейчатой поверхности вращения строятся точки пересечения
или прямолинейные образующие, или параллели с секущей плоскостью –
например A=S1∩α;
в) для нелинейчатой поверхности вращения строятся точки пересечения параллелей поверхности с секущей плоскостью – например параллель
радиуса R пересекается с плоскостью в точках E и F.
Рис. 91
Варианты построения сечения. Если плоскость проецирующая, то все,
что принадлежит этой плоскости, проецируется на след-носитель этой
плоскости. Значит, одна из проекций фигуры сечения поверхности такой
плоскостью имеется на следе-носителе.
Вторая проекция сечения строится из условия принадлежности точек
сечения или ребрам и сторонам оснований многогранника (пирамида), или
прямолинейным образующим линейчатой поверхности (конус), или
парал-
лелям нелинейчатой поверхности вращения (часть открытого тора).
Выполним, для примера, построение фигуры сечения конуса фронтально-проецирующей плоскостью δ – рис. 92.
Так как секущая плоскость фронтально-проецирующая, то, следовательно, фронтальная проекция линии сечение конуса совпадает с фронтальной проекцией плоскости.
74
Для построения недостающей горизонтальной проекции линии сечения
назначаются фронтальные проекции опорных точек (точек, принадлежащих очерковым конуса): А
D
. Так как этих точек недостаточно
2
, В2, С2,
2
для точного построения горизонтальной проекции сечения, то необходимо назначить не менее трех
промежуточных точек между каждыми опорными точками. На примере (рис. 90), с целью чтобы не затенять логику построения сечения,
рассматриваются только две промежуточные точки: E
, F2.
2
Построение горизонтальных
проекций почек.
Опорные точки. Горизонтальные
проекции точек А
и В1 определяют-
1
ся непосредственно по вертикальным линиям связи по принадлежности их очерковым. А горизонтальные проекции точек С
и D1 с ис-
1
пользованием подобия линии основания с параллельной линией, проходящей через точки С и D.
Промежуточные точки. Горизонтальные проекции точек Е
и F1
1
Рис. 92
определяются по принадлежности
их образующим S-2 и S-3 соответственно.
По полученным горизонтальным проекциям опорных и промежуточных точек строится горизонтальная проекция сечения конуса фронтальнопроецирующей плоскостью.
7.5. Пересечение прямой с поверхностью
Алгоритм определения точек пересечения прямой с поверхностью является общим для всех видов поверхностей:
1) заданную прямую заключают во вспомогательную (как правило про-
ецирующею) плоскость;
2) строится линия пересечения поверхности со вспомогательной плос-
костью;
3) определяются точки встречи, заданной прямой с поверхностью как
точки пересечения заданной прямой с построенной линией пересечения.
75
Геометрическая интерпретация этого алгоритма показана на примере
определения точек пересечения прямой l с конусом – рис. 93.
Рис. 93
На рис. 93 прямая l заключается во вспомогательную плоскость δ. Точ-
ки пересечения М и N прямой с линией сечения плоскости и поверхности
являются точками встречи, заданной прямой с поверхностью.
Рассмотрим пример определения точек встречи на эпюре прямой l с конусом (рис. 94).
1. Прямая l заключается во
фронтально-проецирующею плоскость δ. Следовательно, вырожденная проекция этой плоскости δ
2
совпадет с фронтальными проекциями прямой l
и линии сечения
2
плоскости с конусом.
2. По вышерассмотренной ме-
тодике строится горизонтальная
проекция линии пересечения вспомогательной плоскости с конусом.
На рис. 92 для построения этой линии использованы опорные точки
1, 2, 3, 4 и промежуточные 5, 6.
Рис. 94
3. Точки пересечения М
проекции прямой l
ной проекцией линией пересечения
с горизонталь-
1
и N1
1
76
являются горизонтальными проекциями точек встречи прямой с конусом.
4. Недостающие фронтальные проекции М
и N2 определяются по при-
2
надлежности точек М и N прямой l.
5. Для определения видимости проекций прямой относительно конуса
используется положение этих точек относительно очерковых линий.
7.6. Контрольные вопросы
1. Как образуются многогранники?
2. Перечислите основные элементы многогранников.
3. Перечислите основные виды многогранников.
4. Как изображаются многогранники на эпюре?
5. Как определяются точки на поверхности многогранника?
6. Перечислите элементы аппарата получения поверхностей.
7. Как образуются поверхности вращения?
8. Как изображаются поверхности на эпюру?
9. Как называются очерки сферы на эпюре?
10. Как определяются точки и
11. Как строится линия сечения поверхности проецирующей плоско-
стью?
12. Каков алгоритм решения задач по определению точек встречи пря-
мой с поверхностью?
13. Как определяется на эпюре видимость прямой относительно по-
верхности?
линии на поверхностях?
77
Лекция 8. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
8.1. Общие сведения.
8.2. Пересечение многогранников.
8.3. Пересечение многогранника с поверхностью второго рода.
8.4. Пересечение двух поверхностей второго порядка.
8.5. Контрольные вопросы.
8.1. Общие сведения
При решении задачи по пересечению поверхностей прежде всего необходимо определить характер линии пересечения, который зависит от вида
пересекающихся поверхностей и их взаимного расположения.
В данном разделе рассматриваются только три основных случая пересекающихся поверхностей:
– пересечение многогранников;
– пересечение многогранника с поверхностью второго рода;
– пересечение поверхностей второго рода.
В каждом
ностей применяются свои способы и приемы ее построения, но суть их
общая и сводится к следующему (рис. 95): обе заданные поверхности пересекают вспомогательной поверхностью или плоскостью-посредником а.
Затем находят линии пересечения каждой из поверхностей с посредником
b* и b. Точки пересечения этих
поверхностей.
из этих случаев для определения линии пересечения поверх-
линий М и N составят линию пересечения
Рис. 95
78
В качестве посредников выбирают удобно расположенные плоскости
(общего положения, проецирующие плоскости, плоскости уровней) или
поверхности (сферические, цилиндрические, конические и т.д.).
Следует отметить, что этот прием не используется при определении
линии пересечения многогранников.
8.2. Пересечение многогранников
По своей форме линия пересечения многогранников будет замкнутая
пространственная ломаная, состоящая из отрезков прямых, по которым пересекаются плоскости граней. Точки излома будут принадлежать ребрам
многогранников.
Рассмотрим построение линии пересечения на примере шестигранной
пирамиды SKLMNPR с трехгранной призмой ABCDEF (рис. 96).
Рис. 96
Для ее построения необходимо выделить ребра и грани, участвующие в
пересечении. Здесь это ребра пирамиды (SK, SL, SM, SN, SP, SR) и грани
79
призмы (ABFE, EFCD). Кроме того, следует отметить, что ребра SK и SN
пирамиды пересекаются только с ребром EF призмы.
Определение положения точек излома сводится к определению положения точек встречи прямых с плоскостями (точки 1, 2, 4 и 5) и точек пересечения пересекающихся прямых (точки 3 и 6). В первом случае за плоскости
принимают грани призмы, а за прямые – ребра пирамиды, через ко-
торые проводится вспомогательная проецирующая плоскость-посредник а.
Во втором случае за прямые принимают пересекающиеся ребра многогранников.
При определении положения точек излома целесообразно выбирать
направление их обхода по часовой или против часовой стрелки (в примере –
по часовой стрелке), что позволяет
избежать ошибок в построениях.
Видимость линии пересечения определяется с помощью конкурирующих точек.
8.3. Пересечение многогранника с поверхностью второго рода
В этом случае линией пересечения будет пространственная ломаная,
состоящая из дуг кривых, по которым поверхность второго рода пересекается с плоскостями граней. Точки излома будут принадлежать ребрам многогранника.
Рассмотрим порядок построения линии пересечения на примере пересечения конуса с трехгранной призмой (рис. 97).
Рис. 97
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]