Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия и инженерная графика. Ч.1. Начертательная геометрия. Курс лекций по направлениям подготовки 23.03.01 «Технология транспортных
.pdf
0Х. Поэтому вначале на фронтальной проекции заданной плоскости строится характерный признак горизонтали. На рис. 53 h
2(С212
)∥0X.
2. По принадлежности прямой плоскости (алгоритм принадлежности
прямой плоскости) достраивается недостающая проекция горизонтали
плоскости h
.
1
Рис. 52 Рис. 53
Следует отметить, что все горизонтали плоскости параллельны между
собой и параллельны горизонтальному следу плоскости.
Фронталь плоскости. Фронталь плоскости – прямая, которая лежит в
этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости проекций. На рис.
54 показана фронталь f плоскости α.
Алгоритм построения фронтали
(рис. 55).
1. Фронталь плоскости как прямая, параллельная фронтальной плоско-
сти проекций, имеет горизонтальную проекцию f
, параллельную оси 0Х.
1
Поэтому вначале на горизонтальной проекции заданной плоскости строится характерный признак фронтали. На рис. 55 f
1(A111
)∥0X.
2. По принадлежности прямой плоскости (алгоритм принадлежности
прямой плоскости) достраивается недостающая проекция горизонтали
плоскости f
.
2
Рис. 54 Рис. 55
41
Линия наибольшего ската. Линия наибольшего ската – прямая, которая лежит в этой плоскости и перпендикулярная горизонталям этой плоскости. Угол α (рис. 56) между линией наибольшего ската и ее горизонтальной проекцией равен углу наклона плоскости к горизонтальной плоскости
проекций. Поэтому линия наибольшего ската характеризует угол наклона
плоскости к горизонтальной плоскости
Рис. 56 Рис. 57
проекций.
Алгоритм построения линии наибольшего ската (рис. 57).
1. В заданной плоскости проводится горизонталь h.
2. Используя теорему о прямом угле, на первой проекции плоскости,
строится проекция линии наибольшего ската l
1(В121
) h1(C111).
3. По принадлежности прямой плоскости достраивается недостающая
проекция l
линии наибольшего ската.
2
Следует отменить, что все линии наибольшего ската параллельны ме-
жду собой и перпендикулярны горизонтальному следу плоскости.
Линия наибольшего наклона. Линия наибольшего наклона – прямая,
которая лежит в этой плоскости и перпендикулярная фронталям этой
плоскости. Угол β (рис. 58) между линией наибольшего наклона и ее фронтальной проекцией равен углу
наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций. Поэтому линия наибольшего наклона характеризует угол
наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций.
Рис. 58 Рис. 59
42
Алгоритм построения линии наибольшего наклона
(рис. 59).
1. В заданной плоскости проводится фронталь f.
2. Используя теорему о прямом угле, на второй проекции плоскости,
строится проекция линии наибольшего наклона f
2(В222
) f2(A212).
3. По принадлежности прямой плоскости достраивается недостающая
проекция l
линии наибольшего наклона.
1
Следует отменить, что все линии наибольшего наклона параллельны
между собой и перпендикулярны фронтальному следу плоскости.
4.6. Контрольные вопросы
1. Перечислите и покажите на примерах способы задания на эпюре
плоскости общего положения.
2. Какие плоскости относятся к плоскостям частного положения?
3. Покажите на эпюре характерные признаки и особенности горизон-
тально-проецирующей и фронтально-проецирующей плоскостей.
4. Какие плоскости относятся к плоскостям уровней?
5. Покажите на эпюре характерные признаки и особенности горизон-
тальных
6. Покажите на примерах, как строят точки и линии в плоскости обще-
го положения.
7. Какие прямые относятся к главным линиям плоскости?
8. Какая прямая называется горизонталью плоскости и как она строит-
ся на эпюре?
9. Какая прямая называется фронталью плоскости и как она строится
на эпюре?
10. Какая
как она строится на эпюре?
11. Какая прямая называется линией наибольшего наклона плоскости и
как она строится на эпюре?
и фронтальных плоскостей уровней.
прямая называется линией наибольшего ската плоскости и
43
Лекция 5. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
5.1. Построение линии пересечения проецирующей плоскости с плос-
костью общего положения.
5.2. Определение точки встречи прямой с плоскостью.
5.3. Построение перпендикуляра к плоскости, проходящего через за-
данною точку.
5.4. Построение прямой параллельной заданной плоскости.
5.5. Построение линии пересечения плоскостей общего положения.
5.6. Перпендикулярность и параллельность плоскостей.
5.7. Контрольные вопросы.
5.1. Построение линии пересечения проецирующей плоскости
с плоскостью общего положения
Пусть пересекаются две плоскости. Одна из плоскостей проецирующая, а другая плоскость общего положения. Необходимо определить линию пересечения этих плоскостей.
Известно, что на эпюре одна из проекций проецирующей плоскости
вырождается в прямую. Используем этот характерный признак для определения линии пересечения плоскостей.
Так как линия пересечения плоскостей принадлежит проецирующей
плоскости
ецирующей плоскости. Следовательно, решение задачи по определению
линии пересечения плоскостей сводится к определению недостающей проекции этой прямой, как прямой принадлежащей плоскости общего положения.
, то тогда ее проекция совпадет с вырожденной проекцией про-
Рассмотрим решение такой зада-
чи на примере (рис. 60).
Дано
: плоскость общего положения α(∆АВС) и горизонтальнопроецирующая плоскость.
Определить
линию пересечения
плоскостей α∩β=l.
Решение
Рис. 60
1. Так как β(m∩n) π
=>l1≡m1≡n1.
2. l
1∩A1B1=11
3. 1AB=>1
2AС=>2
4. Через полученные точки 1
строится l
44
2A2С2.
2(1222
).
1
и l1∩A1С1=21.
2A2B2
и
и 22
2
5.2. Определение точки встречи прямой с плоскостью
Определение точки встречи прямой общего положения с плоскостью
общего положения.
Эта позиционная задача (как и большинство других позиционных задач) решается с помощью вспомогательной плоскости. Пусть задана прямая n общего положения и плоскость α общего положения. Необходимо
найти их точку пересечения К (рис. 61). Задача решается в следующей последовательности.
1. Заданная прямая n заключается во вспомогательную
плоскость β:
nβ.
2. Строится прямая l пересе-
чения заданной плоскости α со
вспомогательной плоскостью β:
l(1 2)= α∩β.
3. Построенная прямая (1, 2)
и заданная прямая n лежат в одной плоскости β, а значит будут
Рис. 61
пересекаться между собой:
K=l∩n. Их общая точка K является общей для прямой n и плоскостей и
значит, является искомой точкой пересечения прямой n и плоскости α.
В качестве вспомогательной плоскости чаще всего используют про-
ецирующие плоскости.
Рассмотрим пример решения задачи на комплексном чертеже (рис. 62).
Заключаем прямую n во вспомогательную горизонтально проецирую-
щую плоскость β, которую зададим горизонтальным следом β
(горизон-
1
тальная проекция плоскости). Причем след β
должен совпадать с го-
1
ризонтальной проекцией прямой
n
. Далее находим прямую l пере-
1
сечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α.
Сторона АВ пересекается с плоскостью β в точке 1, а сторона АС – в
точке 2. Сначала отмечаем горизонтальные проекции точек 1
1
а затем с помощью вертикальных
линий связи находим фронтальные
проекции точек 1
и 22 соответст-
2
венно на фронтальных проекциях
Рис. 62
сторон треугольника А
Таким образом, плоскости пересе-
и А2С2.
2В2
β, а
и 21,
45
каются по прямой l(1 2). Теперь можно определить фронтальную проекцию К
ных проекций построенной прямой l(1
тальная проекция К
на горизонтальной проекции прямой n
искомой точки. Она будет являться точкой пересечения фронталь-
2
) и заданной прямой n2. Горизон-
222
определяется с помощью вертикальной линии связи
1
.
1
Затем нужно определить видимость прямой n относительно плоскости α.
Для определения видимости на необходимо воспользоваться горизонтально
конкурирующими точками 2 и 3 (точка 2 лежит на стороне АС треугольника, а точка 3 – на прямой n). Видимость прямой на π
определяем с помо-
2
щью фронтально конкурирующих точек 4 и 5 (точка 5 лежит на стороне ВС,
а точка 4 – на прямой n). Направление взгляда при определении видимости
проекций конкурирующих точек на эпюре показана символом (⇩).
Определение точки встречи прямой общего положения с проецирующей плоскостью.
Постановка задачи. Пусть задана горизонтально-проецирующая плоскость α треугольником ∆АВС и прямая n общего положения (рис. 63). Необходимо определить точку встречи К прямой n с плоскость α: К =n∩α.
Решение. Проекция точки встречи К
прямой n с плоскостью α одно-
1
значно определяется как точка пересечения горизонтальной проекции
плоскости (вырожденной в прямую) с одноименной проекцией прямой:
К
1=l1∩α1
(∆A1B1C1).
Недостающая фронтальная
проекция точки встречи К
на-
2
ходится по принадлежности точ-
Рис. 63
ка К прямой n: Кn => К
n1.
1
Видимость прямой n относительно плоскости α определяется только для фронтальной
плоскости проекций, т.к. на π
обе проекции видны. Видимость
определяется с помощью фронтально конкурирующих точек 1
и 2 (точка 2 лежит на стороне
ВС треугольника, а точка 1 – на
прямой n). Направление взгляда
при определении видимости проекций конкурирующих точек на
эпюре показана символом (⇧).
В задачах, где используется
фронтально-проецирующая пло-
1
46
скость, при определении точки встречи последовательность решения аналогична выше указанному, только в них известной является фронтальная
проекция искомой точки.
Определение точки встречи проецирующей прямой с плоскостью об-
щего положения.
Постановка задачи. Пусть задана горизонтально-проецирующая прямая
n (рис. 64) и плоскость общего положения α(∆АВС). Необходимо определить точку встречи
Решение. Очевидно проекция точки встречи К
К прямой n с плоскость α: К =n∩α.
прямой с плоскостью α
1
совпадает с вырожденной проекцией прямой n
: К1 ≡n1: Учитывая то, что
1
точка К принадлежит плоскости α, то задача сводится к определению недостающей проекции точки принадлежащей плоскости. Для этого, вначале,
через вырожденную проекцию n
прямой l
lα => l
этой прямой l
вспомогательной l
в предположении, что эта прямая l принадлежит плоскости α:
1
α1. Затем, достраивается недостающая фронтальная проекция
1
. Точка пересечения фронтальных проекций заданной n2 и
2
прямых является искомой проекцией точки встречи К2.
2
проводится проекция вспомогательной
1
Видимость прямой n относительно плоскости α определяется
только для фронтальной плоскости проекций, т.к. на π
обе проек-
1
ции видны. Видимость определяется с помощью фронтально конкурирующих точек 2 и 3 (точка 2
лежит на стороне АС треугольника, а точка 3 – на прямой n). Направление взгляда при определении видимости проекций конкурирующих точек на эпюре показа-
на символом (⇧).
В задачах, где используется
фронтально-проецирующая пря
-
мые, при определении точки
Рис. 64
встречи последовательность решения аналогична выше указанному, только в них известной является
фронтальная проекция искомой точки.
5.3. Построение перпендикуляра к плоскости,
проходящего через заданною точку
При решении геометрических задач часто бывает необходимо строить
перпендикуляры к плоскости. Известно, что прямая перпендикулярна к
47
плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым
этой плоскости. В качестве этих двух пересекающихся прямых плоскости
приходится использовать линии уровня плоскости, т.к. согласно теоремы о
проецировании прямого угла, именно с этими прямыми сохраняется прямой угол на плоскостях проекциях. Условия перпендикулярности прямой и
плоскости устанавливаются следующей теоремой.
Теорема.
Для того, чтобы прямая была бы перпендикулярна к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой
была бы перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а
фронтальная проекция – перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.
Доказательство. Необходимость. Допустим, что прямая перпендику-
лярна к плоскости. Тогда она перпендикулярна к любым прямым
этой
плоскости, в том числе горизонталям и фронталям плоскости. Согласно
теоремы о проецировании прямого угла, перпендикулярность прямой и горизонтали сохраняется на горизонтальной плоскости проекций, а перпендикулярность прямой и фронтали – на фронтальной плоскости проекций.
Что и требовалось доказать.
Достаточность.
Пусть на комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а
фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальной проекции
фронтали плоскости. Тогда в соответствии с теоремой о проецировании
прямого угла, прямая в пространстве будет перпендикулярна к горизонтали и фронтали плоскости. А это значит, что прямая и плоскость взаимно
перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Установленные теоремой
признаки позволяют строить на
комплексном чертеже прямые,
перпендикулярные к плоскости.
Пример построения перпендикуляра к плоскости, проходящего через заданною точку
(рис. 65).
Постановка задачи. Задана
плоскость α треугольником
∆АВС и точка К.
Построить перпендикуляр т
к плоскости α, проходящей через точку К.
Решение
1. В плоскости α проводится
Рис. 65
горизонталь h: hα и h
π1.
48
2. Используя теорему о прямом угле строится первая проекция перпен-
дикуляра m: m
3. В плоскости α проводится фронталь f: fα и f
1⊥h1
и К1⊂m1.
π
.
2
4. Используя теорему о прямом угле строится вторая проекция перпен-
дикуляра m: m
и К2⊂m2.
2⊥f2
5.4. Построение прямой параллельной заданной плоскости
Известно, что если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Построение прямой параллельно заданной плоскости основывается на использовании
этого утверждения и инварианта
параллельности прямых.
Пример построения (рис. 66).
Постановка задачи. Задана
плоскость α треугольником
∆АВС и точка К не принадлежащая этой плоскости.
Построить прямую l параллельную плоскости α, проходящую через точку К.
Решение
1. В заданной плоскости α
выбирают или строят прямую,
которая принадлежит этой плоскости (в примере выбрана сторона АС треугольника ∆АВС
2. Используя инвариант параллельности прямых через проекции точки
Рис. 66
).
К проводят проекции искомой прямой l: K
и l1∥A1C1; K1⊂l1 и l1∥A1C1.
1⊂l1
5.5. Построение линии пересечения плоскостей
общего положения
Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её
построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей.
Для нахождения таких точек используется методика по определению
точки встречи прямой с плоскостью, только при этом в качестве плоскости
49
выбирается одна из заданных плоскостей, а в качестве прямой – прямая,
принадлежащая другой плоскости.
Рассмотрим, как это делается, на следующем примере (рис. 67).
Рис. 67
Постановка задачи. Даны две плоскости общего положения α, заданная
треугольником ∆АВС и β – двумя параллельными прямыми m и n.
Построить прямую l пересечения плоскостей α и β: l=α∩β и определить
видимость плоскостей, ограниченных ∆АВС и параллельными прямыми m и n.
Решение
1. Определяем первую точку М принадлежащею линии пересечения
плоскостей l, как точку встречи прямой m с плоскость α: M⊂l; М=m∩α.
2. Определяем вторую точку N принадлежащею линии пересечения
плоскостей l, как точку встречи прямой n с плоскость α: N⊂l; N=n∩α.
3. Через точки M и N проводим прямую пересечения плоскостей α и β:
l=α∩β
.
4. Устанавливаем видимость плоскостей α и β относительно друг друга.
Для горизонтальной плоскости проекций с помощью горизонтально конкурирующих точек 5 и 6 (точка 6 лежит на стороне АС треугольника, а точка 5 –
на прямой т). Для фронтальной плоскости проекций с помощью фронтально
конкурирующих точек 1 и 7 (точка 1 лежит на стороне АС треугольника, а точка
7 – на прямой п). Направление взгляда при определении видимости проекций
конкурирующих точек на эпюре показана символами (⇧) и (⇩).
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]