Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия и инженерная графика. Ч.1. Начертательная геометрия. Курс лекций по направлениям подготовки 23.03.01 «Технология транспортных
.pdf
7. Недостающая проекция искомой точки (С
) находится по инварианту
2
принадлежности точки прямой.
Если необходимо разделить отрезок профильной прямой [АВ] точкой С
заданной фронтальной проекцией С
построения: из точки А
проводится произвольный вспомогательный луч l.
1
На этом луче последовательно откладываются отрезки [А
[1В
]= [С2В2]. Соединяются точки 2 и В1 и параллельно прямой 2-В1 через
1
точку 1 проводят прямую до пересечения с [А
(рис. 36), то выполняются следующие
2
1]=[А2С2] и
1
] в точке С1. Это и будет
1В1
недостающая проекция точки С.
3.4. Определение длины отрезка прямой общего положения
и углов наклона прямой к плоскостям проекций
Определения натуральной величины отрезка прямой общего положения осуществляется путем построения на эпюре прямоугольный треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на какую-либо
плоскость проекций, а величина другого катета равна разности расстояний
концов отрезка от этой плоскости проекций. Натуральная величина отрезка
прямой будет равна гипотенузе этого треугольника. Угол между
проекцией и гипотенузой равен углу наклона отрезка к этой плоскости
проекций.
На рис. 37 показано проецирование отрезка [АВ]. Через точку А проведена прямая АВ
полученном прямоугольном треугольнике АВВ
ции А
, а ВВ0 равен разности расстояний концов отрезка от плоскости
1В1
проекций π
[АВ]. Угол в треугольнике АВВ
[АВ] к плоскости π
0
, параллельная горизонтальной проекции отрезка А1В1. В
(). Гипотенуза этого треугольника равна длине отрезка
1
.
1
0
является углом наклона отрезка прямой
0
катеты АВ0 равен проек-
катетом–
Рис. 37
31
Для определения угла наклона отрезка прямой [АВ] к фронтальной
плоскости проекций π
строят прямоугольный треугольник (рис. 38) анало-
2
гичным путем, только за катеты принимаются проекция отрезка А
разность расстояний концов отрезка от плоскости проекций π
(∆у).
2
Рис. 38
2В2
и
3.5. Следы прямой линии
Прямая общего положения пересекает все плоскости проекций. Точки
пересечения прямой линии с плоскостями проекций называют следами
прямой (рис. 39). Точка М – горизонтальный след прямой, точка N – фронтальный. Горизонтальная проекция М
падает с самим следом – точкой М, а фронтальная проекция этого следа М
лежит на оси ОХ (рис. 40). Фронтальная проекция N
прямой совпадает с точкой N, а горизонтальная проекция N
ОХ.
горизонтального следа прямой сов-
1
фронтального следа
2
лежит на оси
1
2
Рис. 39 Рис. 40
32
Для построения горизонтального следа М прямой (рис. 39) необходимо
продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью ОХ и
по принадлежности точки прямой определяем недостающею проекцию горизонтального следа.
Для построения фронтального следа N прямой продолжаем горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью ОХ и по принадлежности точки прямой
определяем недостающею проекцию фронтального следа.
3.6. Взаимное расположение прямых
Прямые в пространстве относительно друг друга могут располагаться
тремя способами (рис. 41): быть взаимно параллельными (l
ся (m
∩n=A); скрещиваться (v∸d).
∥k); пересекать-
а) б) в)
Рис. 41
Если прямые общего положения взаимно параллельны, то на основании инварианта параллельности прямых следует признак параллельности
прямых по эпюру (рис. 41а): одноимённые проекции прямых на всех
плоскостях проекций будут взаимно параллельны.
Если прямые пересекаются, то на основании инварианта точки пересечения двух линий следует признак по эпюру (рис. 41б): точки пересече
-
ния одноимённых проекций прямых лежат на общих линиях связи.
Если прямые скрещиваются, то на эпюре (рис. 41в): точке пересече-
ния одноимённых проекций прямых на одной плоскости проекций соответствуют проекции двух разных точек на другой плоскости проек-
ций. Например, общей точке M
≡N1 пересечения горизонтальных проек-
1
ций прямых соответствуют разные точки M
плоскости проекций.
33
и N2d2 на фронтальной
2v2
3.7. Теорема о прямом угле
Прямой угол проецируется на плоскость без искажения, если одна из
его сторон параллельна этой плоскости (рис. 42).
Рис. 42
Дано: ABC = 90º; AB π1.
Доказать
Доказательство
ABВВ
1
вательно, C
, что В1С1A1B1.
: если ABπ1, то A1B
AB, но ВВ1π1 ВВ1A1B1 значит
1
и AB плоскости (ВВ1 ∩ ВС), тогда и A1B1CВВ1C1. Следо-
1A1A1B1
.
На основании этой теоремы две взаимно перпендикулярные прямые
(пересекающиеся или скрещивающиеся) проецируются на π
в виде взаим-
1
но перпендикулярных прямых (рис. 43а), если одна из них горизонталь, на
π
– если одна из них фронталь (рис. 43б).
2
а) б) в)
Рис. 43
34
Условие перпендикулярности скрещивающихся прямых (рис. 43в) сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся прямых, проведенных через произвольную точку и соответственно параллельных скрещивающимся прямым. Таким образом, понятие перпендикулярности можно
отнести как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым.
3.8. Контрольные вопросы
1. Как получается эпюр прямой?
2. Какие прямые относятся к прямым частного положения?
3. Какие прямые называют линиями уровня?
4. Что такое горизонталь? Характерный признак и особенности изобра-
жения горизонтали на эпюре Монжа.
5. Что такое фронталь? Характерный признак и особенности изображе-
ния фронтали на эпюре Монжа.
6. Какая прямая называется профильной прямой? Характерный
и особенности изображения профильной прямой на эпюре Монжа.
7. Какие прямые называются проецирующими?
8. Как называются прямые перпендикулярные плоскостям проекций π
π
и π3? Характерный признак и особенности изображения этих прямых
2
эпюре Монжа.
9. Что такое следы прямой и как они определяются?
10. Как находится натуральная величина длинны отрезка и угол накло-
на этого отрезка к плоскости проекций?
11. Как производится деление отрезка в заданном соотношение?
12. Характерные признаки определения взаимного расположения пря-
мых по эпюру
Монжа (пересечение, параллельность, скрещиваемость).
13. Сформулируйте теорему о проецировании прямого угла пересе-
кающихся прямых.
14. Сформулируйте условия о проецировании прямого угла двух скре-
щивающихся прямых.
признак
1
,
35
Лекция 4. ПЛОСКОСТЬ НА ЭПЮРЕ МОНЖА
4.1. Способы задание плоскости на эпюре.
4.2. Характеристика плоскостей.
4.3. Принадлежность прямой плоскости.
4.4. Принадлежность точки плоскости.
4.5. Главные прямые плоскости.
4.6. Контрольные вопросы.
4.1. Способы задание плоскости на эпюре
Плоскость на эпюре может быть задана шестью способами (рис. 44):
тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой, не лежащей на прямой; двумя пересекающимися прямыми; двумя параллельными
прямыми; плоской фигурой; следами.
Рис. 44
На рис. 44 плоскость задана: тремя точками А, В и С (рис. 44а); точкой
А и прямой l (рис. 44б); двумя пересекающимися прямыми l и k (рис. 44в);
двумя параллельными прямыми l и k (рис. 44г); плоской фигурой – ∆АВС
(рис. 44г). Эти способы задания плоскости уже знакомы еще со школьной
36
программы. Рассмотрим более подробней способ задания плоскости ее
следами (рис. 45).
Рис. 45
Линия пересечения плоскости с плоскостью проекций называется
следом данной плоскости. На рис. 45 обозначено:
– ?π
– ?π
– π
= 1 – горизонтальный след плоскости , 1 π1;
1
= 2 – фронтальный след плоскости , 2 π2;
2
= 3 – профильный след плоскости , 3 π3.
3
Точки пересечения плоскости с осями проекций называются точками
схода следов: ?0Х=
, ?0Y=y, ?0Z=
х
.
z
Следует помнить, что при решении задач по начертательной геометрии
можно переходить от одного способа задания плоскости к другому т.к. они
взаимозаменяемы.
4.2. Характеристика плоскостей
Все плоскости пространства подразделяются на плоскости общего и
частного положений.
Плоскости общего положения. Плоскости не перпендикулярные ни к
одной из плоскостей проекций называются плоскостями общего положения. Примеры изображения таких плоскостей приведены на рис. 44 и 45.
Плоскости частного положения. Плоскости перпендикулярные и параллельные плоскостям проекций относятся к плоскостям частного положения
плоскостей проекций называются проецирующими плоскостями. Характерным признаком таких плоскостей на эпюре является то что одна из ее
проекций вырождается в прямую.
проецирующей плоскостью (рис. 46). Характерным признаком такой плос-
.
Проецирующие плоскости.
Плоскости перпендикулярные к одной из
Плоскость перпендикулярная плоскости π
называются горизонтально-
1
37
кости является то, что ее горизонтальная проекция вырождается в прямую.
Кроме того, следует отметить, что угол между вырожденной проекцией
плоскости и осью 0Х есть угол наклона проецирующей плоскости к фронтальной плоскости проекций (β).
Рис. 46 Рис. 47
Плоскость перпендикулярная плоскости π
называются фронтально-
2
проецирующей плоскостью (рис. 46). Характерным признаком такой плоскости является то, что ее фронтальная проекция вырождается в прямую.
Кроме того, следует отметить, что угол между вырожденной проекцией
плоскости и осью 0Х есть угол наклона проецирующей плоскости к гори-
зонтальной плоскости проекций (α).
Плоскости уровней
. Плоскости параллельные плоскостям проекций на-
зываются плоскостями уровней (рис. 48, 49).
Плоскость параллельная плоскости π
называются горизонтальной
1
плоскостью уровня (рис. 48). Характерным признаком такой плоскости является то, что ее фронтальная проекция вырождается в прямую параллельную оси 0Х. Кроме того, следует отметить, что геометрические фигуры,
принадлежащие такой плоскостям на горизонтальную плоскость проекций,
проецируются в натуральную величину.
Плоскость параллельная плоскости π
называются фронтальной плос-
2
костью уровня (рис. 49). Характерным признаком такой плоскостей является то, что ее горизонтальная проекция вырождается в прямую параллельную оси 0Х. Кроме того, следует отметить, что геометрические фигуры, принадлежащие такой плоскости на фронтальную плоскость проекций,
проецируются в натуральную величину.
38
Рис. 48 Рис. 49
4.3. Принадлежность прямой плоскости
Прямая принадлежит плоскости если она проходит через две точки,
лежащих в этой плоскости.
Дано: задана плоскость α(∆АВС) и одна из проекций прямой l
принадлежит этой плоскости (рис. 50).
Определить недостающею проекцию прямой l
мая l α(∆АВС).
Алгоритм решения
1. Выбираются проекции
двух точек одновременно
принадлежащие заданным
плоскости и прямой
(А
1В1∩l1=11
и А1С1∩l1=21).
2. По принадлежности
.
которая
1
при условии, что пря-
2
точки 1АВ и 2АС опреде-
ляются недостающие проекции точек 1
и 22.
2
3. Через полученные проекции точек 1
и 22 достраи-
2
вается недостающая проекция
прямой l
принадлежащей
2
плоскости α.
Рис. 50
39
4.4. Принадлежность точки плоскости
Дано: задана плоскость α(∆АВС) и одна из проекций точки К которая
принадлежит этой плоскости (рис. 51).
Определить недостающею проекцию прямой точки А.
Рис. 51
Алгоритм решения.
1. Через известную проекцию точки К
проводим проекцию прямой l1 в
1
предположение, что эта прямая принадлежит заданной плоскости (l α).
2. По вышеуказанному алгоритму определяется недостающая проекция
прямой l
.
2
3. По принадлежности точки К прямо l достраивается искомая проек-
ция точки К
.
2
4.5. Главные прямые плоскости
Основными главными линиями плоскости являются: горизонтали плоскости; фронтали плоскости; линии наибольшего ската; линии наибольшего
наклона.
Горизонталь плоскости. Горизонталь плоскости – прямая, которая
лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости проекций. На рис. 52 показана горизонталь h плоскости α.
Алгоритм построения горизонтали
1. Горизонталь плоскости как прямая, параллельная горизонтальной
плоскости проекций, имеет фронтальную проекцию h
(рис. 53).
, параллельную оси
2
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]